2020-2021 备战中考数学专题题库∶相似的综合题及答案解析
一、相似
1．在等腰直角三角形 ABC 中 ,∠ ACB＝ 90°,AC＝ BC,D 是 AB 边上的中点， Rt△ EFG 的直角顶点 E在 AB边上移动 .
（1）如图 1，若点 D 与点 E 重合且 EG⊥ AC、DF⊥ BC，分别交 AC、 BC于点 M、 N，
易证 EM＝ EN；如图 2，若点 D 与点 E 重合，将 △ EFG绕点 D 旋转，则线段 EM 与 EN 的长度还
相等吗 ?若相等请给出证明，不相等请说明理由；
°
°
（2）将图 1
中的 Rt△ EGF绕点 D 顺时针旋转角度 α(0＜ α＜45
°
). 如图 2，在旋转过程中 ,当
∠MDC＝ 15 时，连接 MN ，若 AC＝ BC＝ 2，请求出线段
MN 的长；
（3）图 3, 旋转后 ,若 Rt△ EGF的顶点 E 在线段 AB 上移动 (不与点 D、 B 重合 )，当 AB＝ 3AE 时，
线段 EM 与 EN 的数量关系是 ________；当 AB＝ m·AE 时，线段 EM 与 EN 的数量关系 是________.
【答案】 （1）解： EM＝ EN;原因如下： ∵∠ ACB＝ 90 °AC＝BC D是 AB 边上的中点 ∴DC＝DB ∠ACD＝ ∠ B＝45 °∠ CDB＝90 ° ∴∠ CDF＋ ∠ FDB＝ 90 °
∵∠ GDF＝ 90 °∴ ∠ GDC＋∠ CDF＝ 90 °∴ ∠ CDM＝∠ BDN 在△ CDM 和 △BDN 中
∠MCD＝ ∠B， DC＝ DB， ∠CDM＝ ∠BDN， ∴△ CDM≌△ BDN ∴ DM＝DN 即 EM＝ EN
（2）解：作 DP⊥ AC 于 P,则
∠CDP＝45 °CP＝ DP＝ AP＝ 1
∵∠ CDG＝ 15 °∴∠ MDP＝30 °
∵ cos∠ MDP＝
∴DM ＝
， DM＝DN，
∵△ MND 为等腰直角三角形
∴MN ＝
（ 3） NE＝ 2ME； EN＝ (m －1)ME
【解析】 【解答】解： (3)NE＝2ME,EN＝ (m－ 1)ME
证明：如图 3，过点 E作 EP⊥ AB 交 AC 于点 P
则△ AEP为等腰直角三角形， ∠ PEB＝ 90°
∴AE＝ PE ∵ AB＝ 3AE ∴ BE＝ 2AE ∴ BE＝ 2PE 又∵ ∠ MEP＋ ∠ PEN＝ 90° ∠PEN＋ ∠ NEB＝ 90 °
∴∠ MEP＝ ∠ NEB
又∵ ∠ MPE＝ ∠ B＝ 45°
∴△ PME∽ △ BNE
∴
，即 EN＝ 2EM
AB＝ m·AE 时， EN＝ (m－ 1) ·ME
DC＝ DB ∠ ACD＝ ∠ B＝
由此规律可知，当
【分析】（ 1） EM＝ EN;原因如下：根据等腰直角三角形的性质得出 45° ∠CDB＝ 90°根据同角的余角相等得出 ∠CDM＝ ∠BDN，然后由
ASA 判断出
△CDM≌ △BDN 根据全等三角形的对应边相等得出
DM ＝ DN 即 EM＝ EN；
DM
（ 2 ）根据等腰直角三角形的性质得出
∠ CDP＝ 45° CP＝ DP＝ AP＝ 1 ，根据角的和差得出
∠MDP ＝30 °，根据余弦函数的定义及特殊角的三角函数值，由
cos∠MDP＝ 得出
的
长，又 DM ＝ DN，故 △MND 为等腰直角三角形
，根据等腰直角三角形的性质即可得出 MN
的长；
(3)NE＝ 2ME,EN＝(m－ 1)ME，如图 3，过点 E 作 EP⊥ AB 交 AC 于点 P，则 △AEP 为等腰直角 三角形，∠PEB＝90°，根据同角的余角相等得出∠MEP＝∠NEB 然后判断出 △PME∽△ BNE，根据相似三角形对应边成比例即可得出
u 结论，由此规律可知，当
AB＝
m·AE 时， EN＝ (m－1) ·ME
2．如图 1，在矩形 ABCD 中， AB=6cm， BC=8cm， E、 F 分别是 点，连接 EF，
AB、 BD 的中
DB 方
点 P 从点 E 出发，沿 EF方向匀速运动，速度为
1cm/s ，同时，点 Q 从点 D 出发，沿
向匀速运动，速度为
2cm/s ，当点 P 停止运动时，点 Q 也停止运动．连接 PQ，设运动时间
为 t （0＜ t＜ 4） s，解答下列问题：
（ 1）求证： △ BEF∽△ DCB；
（ 2）当点 Q 在线段 DF 上运动时，若 △ PQF的面积为 0.6cm2 ， 求 t 的值；
（3）如图 2 过点 Q 作 QG⊥ AB，垂足为 G，当 t 为何值时，四边形 EPQG 为矩形，请说明理由；
（4）当 t 为何值时， △ PQF为等腰三角形？试说明理由．
【答案】 （ 1）解： ∵四边形 是矩形，
在 中，
分别是
的中点，
（2）解：如图 1，过点 作 于 ，
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