高等数学上册第四章小结

适用情形 被积函数含有a2?x2或x2?a2． 代换目的 去掉根式．

代换形式 若被积函数含有a?x则可令x?asint或x?acost； 若被积函数含有a?x则可令x?atant或x?acott； 若被积函数含有x?a则可令x?asect或x?acsct． (2)根式代换 适用情形

222222?R(x,n??ax?b)dx； ?R(nx,mx)dx． cx?d代换目的 去掉根式． 代换形式 对于R(x,nax?bax?b＝t； )dx，令ncx?dcx?dp 对于R(nx,mx)dx，令x?t（其中p为m,n的最小公倍数）． (3)倒代换

适用情形 被积函数的分母中含有变量因子x． 代换目的 去掉分母中的变量因子． 代换形式 令x?1．

t4．分部积分法

?udv?uv??vdu ——分部积分公式

【注】使用分部积分法时应将被积函数视为两个函数的乘积，按“反、对、幂、指、三”

的优先顺序选择u．其中

反——反三角函数 对——对数函数 幂——幂函数 指——指数函数 三——三角函数

五、有理函数的积分法

1．一般方法

先分解成最简分式，再逐项积分． 2．特殊方法

(1) 换元积分法；(2) 分部积分法．

六、三角函数有理式的积分法

1．一般方法——万能代换法

x2t21?t2dx?dt．于是， cosx?令tan?t，则sinx?，，

21?t21?t21?t2?2t1?t2?2dt． ,22?2?R(sinx,cosx)dx???R?1?t1?t1?t??2．特殊方法

1）对于R(sinx,cosx)dx，

（1）若R(?sinx,cosx)＝－R(sinx,cosx)，则可令t?cosx； （2）若R(sinx,?cosx)＝－R(sinx,cosx)，则可令t?sinx； （3）若R(?sinx,?cosx)＝R(sinx,cosx)，则可令t?tanx．

xtan?t2?2）对于三角线性分式的积分

?A1sinx?B1cosxdx可用待定系数法：

A2sinx?B2cosx

?A1sinx?B1cosx?(A2sinx?B2cosx)??(A2sinx?B2cosx)?dx＝?dx

A2sinx?B2cosxA2sinx?B2cosx ＝?x??lnA2sinx?B2cosx?C．