2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。
1．已知集合A?{(x,y)|x，y?N*，yx}，B?{(x,y)|x?y?8}，则A为( ) A．2 2．复数
B．3
C．4
D．6
1的虚部是( ) 1?3i31A．? B．?
1010B中元素的个数
C．
1 10D．
3 104i?13．在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为p1，p2，p3，p4，且?pi?1，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是( ) A．p1?p4?0.1，p2?p3?0.4 C．p1?p4?0.2，p2?p3?0.3
B．p1?p4?0.4，p2?p3?0.1 D．p1?p4?0.3，p2?p3?0.2
4．Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立
K了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天）的Logistic模型：I(t)?，
1?e?0.23(t?53)其中K为最大确诊病例数．当I(t*)?0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则t*约为( )(ln19?3)
A．60 B．63 C．66 D．69
5．设O为坐标原点，直线x?2与抛物线C:y2?2px(p?0)交于D，E两点，若OD?OE，则C的焦点坐标为( )
11A．(，0) B．(，0) C．(1,0) D．(2,0)
426．已知向量a，b满足|a|?5，|b|?6，ab??6，则cos?a，a?b??( )
31191719A．? B．? C． D．
3535353527．在?ABC中，cosC?，AC?4，BC?3，则cosB?( )
31112A． B． C． D．
93238．如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是( )
A．6?42
B．4?42 C．6?23 第1页（共18页）
D．4?23
9．已知2tan??tan(??)?7，则tan??( )
4A．?2 B．?1 C．1 D．2
110．若直线l与曲线y?x和圆x2?y2?都相切，则l的方程为( )
51111A．y?2x?1 B．y?2x? C．y?x?1 D．y?x?
222222xy11．设双曲线C:2?2?1(a?0,b?0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为5．P是Cab上一点，且F1P?F2P．若△PF1F2的面积为4，则a?( ) A．1 A．a?b?c
B．2 B．b?a?c
C．4 C．b?c?a
D．8 D．c?a?b
12．已知55?84，134?85．设a?log53，b?log85，c?log138，则( ) 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
?x?y0,?13．若x，y满足约束条件?2x?y0,则z?3x?2y的最大值为 ．
?x1,??214．(x2?)6的展开式中常数项是 （用数字作答）．
x15．已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为 ．
116．关于函数f(x)?sinx?有如下四个命题：
sinx①f(x)的图象关于y轴对称．
②f(x)的图象关于原点对称．
?③f(x)的图象关于直线x?对称．
2
④f(x)的最小值为2． 其中所有真命题的序号是 ．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共60分。
17．（12分）设数列{an}满足a1?3，an?1?3an?4n． （1）计算a2，a3，猜想{an}的通项公式并加以证明； （2）求数列{2nan}的前n项和Sn．
18．（12分）某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）: 锻炼人次 空气质量等级 1（优) 2（良) 3（轻度污染） 2 5 6 第2页（共18页）
[0，200] (200，400] (400，600] 16 10 7 25 12 8
4（中度污染） 7 2 0 （1）分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率； （2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
（3）若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”．根据所给数据，完成下面的2?2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？
空气质量好 空气质量不好 n(ad?bc)2附：K?
(a?b)(c?d)(a?c)(b?d)2人次400 人次?400 P(K2k) k 2DE?ED1，BF?2FB1．
0.050 3.841 0.010 6.635 0.001 10.828 19．（12分）如图，在长方体ABCD?A1B1C1D1中，点E，F分别在棱DD1，BB1上，且（1）证明：点C1在平面AEF内；
（2）若AB?2，AD?1，AA1?3，求二面角A?EF?A1的正弦值．
x2y21520．（12分）已知椭圆C:?2?1(0?m?5)的离心率为，A，B分别为C的左、
425m右顶点．
（1）求C的方程；
（2）若点P在C上，点Q在直线x?6上，且|BP|?|BQ|，BP?BQ，求?APQ的面积．
1121．（12分）设函数f(x)?x3?bx?c，曲线y?f(x)在点(，f())处的切线与y轴垂直．
22（1）求b；
（2）若f(x)有一个绝对值不大于1的零点，证明：f(x)所有零点的绝对值都不大于1． （二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第
第3页（共18页）
一题计分。
[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
?x?2?t?t2,22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为?(t为参数且t?1)，2?y?2?3t?tC与坐标轴交于A，B两点．
（1）求|AB|；
（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB的极坐标方程． [选修4-5：不等式选讲]（10分）
23．设a，b，c?R，a?b?c?0，abc?1． （1）证明：ab?bc?ca?0；
（2）用max{a，b，c}表示a，b，c的最大值，证明：max{a，b，c}34．
第4页（共18页）
2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ）
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。
1．已知集合A?{(x,y)|x，y?N*，yx}，B?{(x,y)|x?y?8}，则A为( ) A．2 元素的个数．
【解析】：集合A?{(x,y)|x，y?N*，yx}，B?{(x,y)|x?y?8}， ?A?AB中元素的个数
B．3 C．4 D．6
B中
【思路分析】利用交集定义求出AB?{(7,1)，(6,2)，(5,3)，(4,4)}．由此能求出A?yxB?{(x，y)|?x,y?N*}?{(7,1)，(6,2)，(5,3)，(4,4)}．
?x?y?8,B中元素的个数为4．故选：C．
【总结与归纳】本题考查交集中元素个数的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
12．复数的虚部是( )
1?3i3113A．? B．? C． D．
10101010【思路分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．
11?3i1313【解析】：的虚部是．故选：D． ???i，?复数
1?3i(1?3i)(1?3i)10101?3i10【总结与归纳】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题． 3．在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为p1，p2，p3，p4，且?pi?1，则
i?14下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是( ) A．p1?p4?0.1，p2?p3?0.4 C．p1?p4?0.2，p2?p3?0.3
B．p1?p4?0.4，p2?p3?0.1 D．p1?p4?0.3，p2?p3?0.2
【思路分析】根据题意，求出各组数据的方差，方差大的对应的标准差也大．
【解析】：法一：（通解）选项A:E(x)?1?0.1?2?0.4?3?0.4?4?0.1?2.5，所以
D(x)?(1?2.5)2?0.1?(2?2.5)2?0.4?(3?2.5)2?0.4?(4?2.5)2?0.1?0.65； 同理选项B:E(x)?2.5，D(x)?1.85； 选项C:E(x)?2.5，D(x)?1.05；
选项D:E(x)?2.5，D(x)?1.45；故选：B．
法二：（光速解）（四川代尔宁补解）标准差是反映数据波动的大小，波动越大，则方差越大，根据四个选项概率分布可知B偏离平均值较大，所以标准差最大.
【总结与归纳】本题考查了方差和标准差的问题，记住方差、标准差的公式是解题的关键． 4．Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立
第5页（共18页）
相关推荐：
loading