连接HP，则HP⊥BC，cosC=sinC=
33，则sinC=， 55HPR440==，解得：R=； CP10?R593， 5（2）在△ABC中，AC=BC=10，cosC=
设AP=PD=x，∠A=∠ABC=β，过点B作BH⊥AC，
则BH=ACsinC=8， 同理可得：
CH=6，HA=4，AB=45，则：tan∠CAB=2BP=82??x?4?=x2?8x?80， DA=22525x，则BD=45-x，
55如下图所示，
PA=PD，∴∠PAD=∠CAB=∠CBA=β，
tanβ=2，则cosβ=12，sinβ=， 551225x）×=4-x，
555EB=BDcosβ=（45-∴PD∥BE，
24?xEBBF∴＝，即：5?PDPFxx2?8x?80?y，
y25xx?8x?80整理得：y=?0?x?10?；
3x?20（3）以EP为直径作圆Q如下图所示，
两个圆交于点G，则PG=PQ，即两个圆的半径相等，则两圆另外一个交点为D，GD为相交所得的公共弦， ∵点Q时弧GD的中点， ∴DG⊥EP， ∵AG是圆P的直径， ∴∠GDA=90°， ∴EP∥BD，
由（2）知，PD∥BC，∴四边形PDBE为平行四边形， ∴AG=EP=BD，
∴AB=DB+AD=AG+AD=45， 设圆的半径为r，在△ADG中， AD=2rcosβ=2r4r，DG=，AG=2r， 552r20+2r=45，解得：2r=， 55?1则：DG=4r=10-25， 5相交所得的公共弦的长为10-25． 【点睛】
本题考查的是圆知识的综合运用，涉及到解直角三角形、勾股定理等知识，其中（3），要关键是根据题意正确画图，此题用大量的解直角三角形的内容，综合难度很大．
12．抛物线y=ax2+bx+4（a≠0）过点A(1, ﹣1)，B(5, ﹣1)，与y轴交于点C． （1）求抛物线表达式；
（2）如图1，连接CB，以CB为边作?CBPQ，若点P在直线BC下方的抛物线上，Q为坐标平面内的一点，且?CBPQ的面积为30， ①求点P坐标;
②过此二点的直线交y轴于F, 此直线上一动点G,当GB+2GF最小时,求点G坐标. 2（3）如图2，⊙O1过点A、B、C三点，AE为直径，点M为 上的一动点（不与点A，E重合），∠MBN为直角，边BN与ME的延长线交于N，求线段BN长度的最大值
【答案】（1）y=x2﹣6x+4（2）①P(2, -4)或P(3, -5) ②G(0, -2)（3）313 【解析】 【分析】
（1）把点A（1，-1），B（5，-1）代入抛物线y=ax2+bx+4解析式，即可得出抛物线的表达式；
（2）①如图，连接PC，过点P作y轴的平行线交直线BC于R，可求得直线BC的解析式为：y=-x+4，设点P（t，t2-6t+4），R（t，-t+4），因为?CBPQ的面积为30，所以S△PBC=
1 2×(?t+4?t2+6t?4)×5＝15，解得t的值，即可得出点P的坐标；②当点P为（2，-4）时，求得直线QP的解析式为：y=-x-2，得F（0，-2），∠GOR=45°，因为GB+
2 2GF=GB+GR，所以当G于F重合时，GB+GR最小，即可得出点G的坐标；当点P为（3，-5）时，同理可求；
（3）先用面积法求出sin∠ACB=
2213，tan∠ACB=，在Rt△ABE中，求得圆的直径，
313MB23＝，所以BN=MB，当MB为BN32因为MB⊥NB，可得∠N=∠AEB=∠ACB，因为tanN=直径时，BN的长度最大． 【详解】
(1) 解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+4（a≠0）过点A（1，-1），B（5，-1），
1?a＝， 解得??b＝?6∴抛物线表达式为y=x2﹣6x+4．
∴?＝a?b?4??1＝25a?5b?4??1，
(2)①如图，连接PC，过点P作y轴的平行线交直线BC于R，
设直线BC的解析式为y=kx+m， ∵B（5，-1），C（0，4），
＝5k?m??1?k＝?1∴? ，解得?4＝m??m＝4∴直线BC的解析式为：y=-x+4，
，
设点P（t，t2-6t+4），R（t，-t+4）， ∵?CBPQ的面积为30，
1 ×(?t+4?t2+6t?4)×5＝15， 2解得t=2或t=3， 当t=2时，y=-4 当t=3时，y=-5，
∴S△PBC=
∴点P坐标为（2，-4）或（3，-5）； ②当点P为（2，-4）时，
∵直线BC解析式为：y=-x+4， QP∥BC， 设直线QP的解析式为：y=-x+n， 将点P代入，得-4=-2+n，n=-2， ∴直线QP的解析式为：y=-x-2， ∴F（0，-2），∠GOR=45°， ∴GB+
2GF=GB+GR 2当G于F重合时，GB+GR最小，此时点G的坐标为（0，-2）， 同理，当点P为（3，-5）时，直线QP的解析式为：y=-x-2， 同理可得点G的坐标为（0，-2）， (3) ）∵A（1，-1），B（5，-1）C（0，4）， ∴AC=26 ，BC=52，
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