第二讲 空间点、直线、平面的位置关系
1．点、线、面的位置关系
(1)公理1 ∵A∈α，B∈α，∴AB?α.
(2)公理2 ∵A，B，C三点不共线，∴A，B，C确定一个平面． (3)公理3 ∵P∈α，且P∈β，∴α∩β＝l，且P∈l. 三个推论：①过两条相交直线有且只有一个平面． ②过两条平行直线有且只有一个平面． ③过一条直线和直线外一点有且只有一个平面． (4)公理4 ∵a∥c，b∥c，∴a∥b. (5)等角定理 ∵OA∥O1A1，OB∥O1B1， ∴∠AOB＝∠A1O1B1或∠AOB＋∠A1O1B1＝180°. 2．直线、平面平行的判定及其性质
(1)线面平行的判定定理 ∵a?α，b?α，a∥b，∴a∥α. (2)线面平行的性质定理 ∵a∥α，a?β，α∩β＝b，∴a∥b.
(3)面面平行的判定定理 ∵a?β，b?β，a∩b＝P，a∥α，b∥α，∴α∥β. (4)面面平行的性质定理 ∵α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，∴a∥b. 3．直线、平面垂直的判定及其性质
(1)线面垂直的判定定理 ∵m?α，n?α，m∩n＝P，l⊥m，l⊥n，∴l⊥α. (2)线面垂直的性质定理 ∵a⊥α，b⊥α，∴a∥b. (3)面面垂直的判定定理 ∵a?β，a⊥α，∴α⊥β.
(4)面面垂直的性质定理 ∵α⊥β，α∩β＝l，a?α，a⊥l，∴a⊥β.
1． (2013·安徽)在下列命题中，不是公理的是
A．平行于同一个平面的两个平面相互平行 B．过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面
C．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内 D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 答案 A
解析 B、C、D选项是公理．
2． (2013·广东)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是
( )
( )
A．若α⊥β，m?α，n?β，则m⊥n B．若α∥β，m?α，n?β，则m∥n C．若m⊥n，m?α，n?β，则α⊥β D．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β 答案 D
解析 A中，m与n可垂直、可异面、可平行；B中m与n可平行、可异面；C中若α∥β，仍然满足m⊥n，m?α，n?β，故C错误；故D正确．
3． (2013·课标全国Ⅱ)已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β.直线l满足l⊥m，l⊥n，
l?α，l?β，则 A．α∥β且l∥α B．α⊥β且l⊥β
C．α与β相交，且交线垂直于l D．α与β相交，且交线平行于l 答案 D
解析 假设α∥β，由m⊥平面α，n⊥平面β，则m∥n，这与已知m，n为异面直线矛盾，么α与β相交，设交线为l1，则l1⊥m，l1⊥n，在直线m上任取一点作n1平行于n，那么l1和l都垂直于直线m与n1所确定的平面，所以l1∥l.
4． (2012·安徽)设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b在平面β内，
且
b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的 A．充分不必要条件 C．充分必要条件 答案 A
解析 当α⊥β时，由于α∩β＝m，b?β，b⊥m，由面面垂直的性质定理知，b⊥α. 又∵a?α，∴b⊥a.∴“α⊥β”是“a⊥b”的充分条件． 而当a?α且a∥m时，∵b⊥m，∴b⊥a. 而此时平面α与平面β不一定垂直，
∴“α⊥β”不是“a⊥b”的必要条件，故选A.
5． (2013·浙江)在空间中，过点A作平面π的垂线，垂足为B，记B＝fπ(A)．设α、β是两个
不同的平面，对空间任意一点P，Q1＝fβ[fα(P)]，Q2＝fα[fβ(P)]，恒有PQ1＝PQ2，则( ) A．平面α与平面β垂直
B．平面α与平面β所成的(锐)二面角为45° C．平面α与平面β平行
( )
( )
B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
D．平面α与平面β所成的(锐)二面角为60° 答案 A
解析 本题关键是理解B＝fπ(A)的含义． 若平面α与平面β不垂直．
在其中一个平面α上取一点P.则PQ1≠PQ2. 所以平面α与平面β垂直，故选A.
题型一 空间点、线、面的位置关系
例1 对于四面体ABCD，下列命题正确的是________(写出所有正确命题的编号)．
①相对棱AB与CD所在的直线是异面直线；②由顶点A作四面体的高，其垂足是△BCD三条高线的交点；③若分别作△ABC和△ABD的边AB上的高，则这两条高的垂足重合；④任何三个面的面积之和都大于第四个面的面积；⑤分别作三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点．
审题破题 可以画出四面体ABCD的直观图，根据图形分析点、线、面的位置关系． 答案 ①④⑤
解析 若AB与CD共面，ABCD就成了平面图形，故①对； 若垂足为△BCD高线的交点，必推出对棱垂直，故②错； 只有当以AB为底的三角形是等腰三角形时，垂足才能重合， 故③错；
设垂足为O，过O作OE⊥CD于E，连接AE，则OE 1 ∴S△COD＝CD·OE 2 1 ＝CD·AE. 2同理可得S△ABD>S△BOD，S△ABC>S△BOC， ∴S△ACD＋S△ABC＋S△ABD>S△BCD.故④对． 如图，点E、F、G、H、M、N为各边中点，这样可得到?EFGH和 ?ENGM它们的对角线EG和FH互相平分，EG和MN也互相平分． 因此，三条线段EG，FH，MN交于一点，故⑤对． 反思归纳 准确画出相应的几何体，结合该几何体来研究各命题的真假．若判定一个命题为假，只需举一反例(特殊状态、特殊位置、特殊图形)即可．有时用反证法来判断也可以． 变式训练1 (1)给出下列关于互不相同的直线m，n，l和平面α、β的四个命题： ①m?α，l∩α＝A，A?m，则l与m不共面； ②l、m是异面直线，l∥α，m∥α，且n⊥l，n⊥m，则n⊥α； ③若l?α，m?α，l∩m＝A，l∥β，m∥β，则α∥β； ④若l∥α，m∥β，α∥β，则l∥m. 其中假命题的序号是__________． 答案 ④ 解析 命题①可用反证法证明成立；命题②利用线面平行的性质，过l、m分别作平面γ、δ交平面α于l′，n′，易知n⊥l′，n⊥m′且m′，n′相交，故n⊥α；命题③即为面面平行的判定定理；命题④中l，m可以平行、相交，也可以异面． (2)若P是两条异面直线l，m外的任意一点，则下列命题中假命题的序号是________． ①过点P有且仅有一条直线与l，m都平行；②过点P有且仅有一条直线与l，m都垂直；③过点P有且仅有一条直线与l，m都相交；④过点P有且仅有一条直线与l，m都异面． 答案 ①③④ 解析 可以利用模型进行判断． 题型二 平行关系与垂直关系 例2 在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，MA⊥平面ABCD，PD∥MA，E、 G、F分别为MB、PB、PC的中点，且AD＝PD＝2MA. (1)求证：平面EFG∥平面PMA； (2)求证：平面EFG⊥平面PDC； (3)求三棱锥P－MAB与四棱锥P－ABCD的体积之比． 审题破题 (1)证明EG、FG都平行于平面PMA.(2)证明GF⊥平面PDC.(3)设MA为1，从而其他边的长度都可表示，问题可求解． (1)证明 ∵E、G、F分别为MB、PB、PC的中点， ∴EG∥PM，GF∥BC. 又∵四边形ABCD是正方形， ∴BC∥AD，∴GF∥AD. ∵EG、GF在平面PMA外，PM、AD在平面PMA内， ∴EG∥平面PMA，GF∥平面PMA. 又∵EG、GF都在平面EFG内且相交， ∴平面EFG∥平面PMA. (2)证明 由已知MA⊥平面ABCD，PD∥MA， ∴PD⊥平面ABCD. 又BC?平面ABCD，∴PD⊥BC. ∵四边形ABCD为正方形，∴BC⊥DC. 又PD∩DC＝D，∴BC⊥平面PDC. 在△PBC中，∵G、F分别为PB、PC的中点， ∴GF∥BC，∴GF⊥平面PDC. 又GF?平面EFG，∴平面EFG⊥平面PDC. (3)解 ∵PD⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，不妨设MA＝1，则PD＝AD＝2. ∵DA⊥平面MAB，且PD∥MA， ∴DA即为点P到平面MAB的距离， 11 ∴VP－MAB∶VP－ABCD＝S△MAB·DA∶S正方形ABCD·PD 331?＝S△MAB∶S正方形ABCD＝??2×1×2?∶(2×2)＝1∶4. 反思归纳 垂直、平行关系的基础是线线垂直和线线平行，常用方法如下： (1)证明线线平行常用的方法：一是利用平行公理，即证两直线同时和第三条直线平行；二是利用平行四边形进行平行转换；三是利用三角形的中位线定理证线线平行；四是利用线面平行、面面平行的性质定理进行平行转换． (2)证明线线垂直常用的方法：①利用等腰三角形底边中线即高线的性质；②勾股定理；③线面垂直的性质：即要证两线垂直，只需证明一线垂直于另一线所在平面即可，l⊥α，a?α?l⊥a. 变式训练2 (2013·北京)如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平 面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD.E和F分别为CD、PC的中点．求证： (1)PA⊥底面ABCD； (2)BE∥平面PAD； (3)平面BEF⊥平面PCD. 证明 (1)平面PAD∩平面ABCD＝AD. 又平面PAD⊥平面ABCD，且PA⊥AD. ∴PA⊥底面ABCD. (2)∵AB∥CD，CD＝2AB，E为CD的中点， ∴AB∥DE，且AB＝DE. ∴ABED为平行四边形．∴BE∥AD.
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