19．（本小题满分13分）
某装修公司根据客户要求装饰一个墙角，施工设计时，在墙面交线AB与天花板ACD之
间拉一条“定位线”EF（如图），已知墙面交线AB、AC、AD两两垂直，且AB=2，AC=AD=3。（单位：分米）
（Ⅰ）若点E、F分别为AB、CD的中点，请指出此时直线EF与直线BC的位置关系（直
接写出结论）；
（Ⅱ）若E、F分别在AB、天花板ACD上运动时，始终保持“定位线”EF的长为定值2，
记EF的中点为G，试探究线段AG的长是否也为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，客户提出在点G处安装一盏装饰灯，为了美观和更好地散热，
需将灯安装在与天花板ACD的距离为3且与另两墙距离之和最大处，求此时直线．．．．．．．3AG平与面BCD所成角的正弦值。
20．（本小题满分14分）
已知函数f(x)?lnx?ax?1,a?R.
（Ⅰ）求f(x)在x?1处的切线方程；
（Ⅱ）若不等式f(x)?0恒成立，求a的取值范围；
（Ⅲ）数列{an}中,a1?2,2an?1?an?1，数列{bn}满足bn?nlnan,记{bn}的前n项
和为Tn，求证：Tn?4?n?2. 2n?1
21．本题有（1）、（2）、（2）三个选答题，每小题7分，请考生任选2题作答，满分14分，
如果多2做，则按所做的前两题计分，作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中。 （1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换
已知a,b?R，若矩阵A????1?ba??所对应的变换TA把直线l:2x?y?3变换为它3?
自身。
（Ⅰ）求矩阵A；
（Ⅱ）求矩阵A的逆矩阵。
（2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐
标方程为?sn(???4)??x??1?cos?2，（?为参数，a，曲线C2的参数方程为?2?y??1?sin?0????）。
（Ⅰ）求C1的直角坐标方程；
（Ⅱ）当C1与C2有两个公共点时，求实数a的取值范围。
（3）（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲
已知函数f(x)?log2(|x?1|?|x?5|?a).
（Ⅰ）当a?5时，求函数f(x)的定义域；
（Ⅱ）当函数f(x)的定义域为R时，求实数a的取值范围。
参考答案
一、选择题：本题考查基础知识和基本运算．每题5分，满分50分． 1～5 ADCBC 6～10 DBCBA
二、填空题：本题考查基础知识和基本运算．每题4分，满分20分． 11．5 12．a?a?3 13．
2?11 14．322 15． 33
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．本题主要考查三角函数图象性质、图象的平移、定积分运算等基础知识；考查运算求解
能力及数形结合思想．满分13分．
解：（Ⅰ）由函数图象及函数模型f(x)?Asin(?x??)知A?2； -------1分 由T?由
122?71?????，得T?2?， 66??2?得??1； ---------------------------3分
由2sin???1得???∴
所
求
?6． ----------------------5分
函
数
解
析
式
为
y?(
f)??6x． ---------------------------------62?sxin()分
（Ⅱ）将y?f(x)?2sin(x??6)图象向左平移
?6个单位长度，
得到函数y?g(x)?2sinx的图象， --------------8分 ∵
???? -----------------10分 g(x)dx??2sinxdx??2cosx|?????2cos??2cos??2?2cos??3， ------------------------11分
1?∴cos??，又0????， 解得??． ---------13分
2317．本题主要考查椭圆、圆与直线等基础知识，考查运算求解能力，推理论证能力及探究能
力；考查函数与方程思想，数形结合思想，化归与转化思想．满分13分．
解：（Ⅰ）由题意，yP?1时，直线CD方程为y?x?2， 直线BP方程为y??1x?2, --------------2分 4 由方程组
?y?x?2??1y??x?2??4 解得
16?x???5??y?6?5?，
-----------------------------------3分
?16??6????5?1695???+??=+=1，
2525164∴点（22166 , ）在椭圆上， 552∴直线 CD 与BP的交点在椭圆上． --------------------5分
22（Ⅱ）∵a?16,b?4,∴c?12，∴c?23，
∴焦点F，F． -----------6分 （，0）（，0）1-23223设P(4,y1),Q(4,y2)，PF1?QF2，
??????????????????-------8分
PF1?QF2?0PF1?(?23?4,?y1),QF2?(23?4,?y2), ?????????PF1?QF2??12?16?y1y2?0，
y1y2??4 ，
y1?y2|y?y2|），半径为r?1， 22线段PQ为直径的圆圆心是PQ的中点（4，圆的方程为?x?4?2
y1?y22y?y)?(12)2, -----10分 2211x2?8x?16?y2?(y1?y2)y?(y1?y2)2?(y1?y2)2?0,
44+(y?
x2?8x?16?y2?(y1?y2)y?y1y2?0,x2?8x?16?y2?(y1?y2)y?4?0,------------------------------------------12分
?x?2?x?6?令y?0，得x?8x?12?0 ∴ ?或，
y?0y?0??
2以线段PQ为直径的圆恒过定点(2,0),(6,0)． ------------------13分
18．本题主要考查统计、概率、随机变量的分布列及数学期望等基础知识；考查运算求解能
力，分析与解决问题能力及应用意识；考查函数最值思想，必然与或然思想，分类与整合思想．满分13分．
解：（Ⅰ）由题意知，同一年龄段中回答问题一与回答问题二的人数是相同的，
30b1512?? 且 ---------------2分 0.60.8a0.41解得：a? , b?40． ----------------------4分
215103?（Ⅱ）又由表知： 可得 c?． ---------------5分 c0.5434∴42岁大人回答问题一、二的正确率分别为,，
553113岁孩子回答问题一、二的正确率分别为,． -------------6分
42∴
（ⅰ）当大人回答第一个问题，小孩回答第二个问题时，记这个家庭所获奖品价值为?元，
则?的可取值为 0，20，30，50 ．其分布列为
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