2.4 幂函数与二次函数
1．(2019·济南质检)若f (x)是幂函数，且满足11
A．3 B．－3 C. D．－
33答案 C
4α解析 设f (x)＝x，则α＝2＝3，
2
ααf ?4?
＝3，则f f ?2?
?1?等于( ) ?2???
?1??1?α1∴f ??＝??＝. ?2??2?3
2．函数
y=x的图象是( )
13
答案 B
?11?解析 由函数图象上的特殊点(1,1)，可排除A，D；由特殊点(8,2)，?，?，可排除C，故选?82?
B.
m－6m＋83．若幂函数f (x)＝(m－4m＋4)·x在(0，＋∞)上为增函数，则m的值为( )
2
2A．1或3 C．3 答案 B
B．1 D．2
解析 由题意得m－4m＋4＝1，m－6m＋8>0， 解得m＝1.
22
4．已知a，b，c∈R，函数f (x)＝ax＋bx＋c.若f (0)＝f (4)>f (1)，则( ) A．a>0,4a＋b＝0 C．a>0,2a＋b＝0 答案 A
解析 由f (0)＝f (4)，得f (x)＝ax＋bx＋c图象的对称轴为x＝－＝2，∴4a＋b＝0，
2a又f (0)>f (1)，f (4)>f (1)，∴f (x)先减后增，于是a>0，故选A. 5．已知函数f (x)＝ax＋x＋5的图象在x轴上方，则a的取值范围是( ) 1??A.?0，? ?20?C.?
1??B.?－∞，－? 20??
2
2
2
B．a<0,4a＋b＝0 D．a<0,2a＋b＝0
b?1，＋∞?
?
?20??1?D.?－，0?
?20?
答案 C
??a>0，
解析 由题意知?
??Δ<0，
??a>0，
即???1－20a<0，
1
得a>. 20
?1?2
6．(2020·福州模拟)若二次函数y＝x＋ax＋1对于一切x∈?0，?恒有y≥0成立，则a的最
?2?
小值是( )
5
A．0 B．2 C．－ D．－3
2答案 C
?1?则g(x)≥0在x∈?0，1?上恒成立，即a≥－?x＋1?在2
解析 设g(x)＝x＋ax＋1，x∈?0，?，?2??x?
?2?????
x∈?0，?上恒成立．又h(x)＝－?x＋?在x∈?0，?上为单调递增函数，当x＝时，h(x)max
2x2
??
1??
??
1?
?
??
1??
12
5?1??1?＝h??，所以a≥－?＋2?即可，解得a≥－. 2?2??2?
7．(多选)由于被墨水污染，一道数学题仅能见到如下文字，已知二次函数y＝ax＋bx＋c的图象过点(1,0)，…，求证：这个二次函数的图象关于直线x＝2对称．根据现有信息，题中的二次函数可能具有的性质是( ) A．在x轴上截得的线段的长度是2 B．与y轴交于点(0,3) C．顶点是(－2，－2) D．过点(3,0) 答案 ABD
2
a＋b＋c＝0，??
解析 由已知得?b－＝2，??2a2
解得b＝－4a，c＝3a，
所以二次函数为y＝a(x－4x＋3)，其顶点的横坐标为2，所以顶点一定不是(－2，－2)，故选ABD.
8．(多选)已知函数f (x)＝2x，g(x)＝x－ax，对于不相等的实数x1，x2，设m＝
2
f?x1?－f?x2?
，x1－x2
g?x1?－g?x2?n＝，现有如下说法，其中正确的是( )
x1－x2
A．对于不相等的实数x1，x2，都有m＞0
B．对于任意实数a及不相等的实数x1，x2，都有n＞0 C．对于任意实数a及不相等的实数x1，x2，都有m＝n D．存在实数a，对任意不相等的实数x1，x2，都有m＝n 答案 AD
解析 任取x1≠x2，则m＝
f?x1?－f?x2?2x1－2x2
＝＝2＞0，A正确；
x1－x2x1－x2
aa????由二次函数的单调性可得g(x)在?－∞，?上单调递减，在?，＋∞?上单调递增，可取x1＝0，
2???2?
g?x1?－g?x2?g?0?－g?a?0－0
x2＝a，则n＝＝＝＝0，B错误；
x1－x20－a0－a2
g?x1?－g?x2?x21－ax1－x2＋ax2
m＝2，n＝＝ x1－x2x1－x2
＝
?x1－x2??x1＋x2－a?
x1－x2
＝x1＋x2－a，则m＝n不恒成立，C错误；
m＝2，n＝x1＋x2－a，若m＝n，则x1＋x2－a＝2，
只需x1＋x2＝a＋2即可，D正确．
9．若二次函数y＝8x－(m－1)x＋m－7的值域为[0，＋∞)，则m＝________. 答案 9或25 解析 y＝8?x－
2
??
m－1?2
?m－1?2，
＋m－7－8·???16??16?
?m－1?2＝0，
??16?
∵值域为[0，＋∞)，∴m－7－8·?∴m＝9或25.
10．已知函数f (x)＝x＋mx－1，若对于任意x∈[m，m＋1]，都有f (x)<0成立，则实数m的取值范围是____________．
2
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