高考数学专题突破：三角形的五心与向量【精编版】

高考数学专题突破：三角形的五心与向量

一、 外心

1.定义：三角形的三条边的垂直平分线交于一点,这点称为三角形的外心(外接圆圆心)．

三角形的外心到三角形的三个顶点距离相等，都等于三角形的外接圆半径．

A

OBC2.性质：

? 锐角三角形的外心在三角形内；直角三角形的外心在斜边中点；钝角三角形的外心在三角形外．

②三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合。 ③OA=OB=OC=R

④∠BOC=2∠BAC，∠AOB=2∠ACB，∠COA=2∠CBA ⑤S△ABC=abc/4R ?|OA|?|OB|?|OC|(或

OA?OB?OC222)

⑦S?BOC：S?AOC：S?AOB?sin?BOC：sin?AOC：sin?AOB?sin2A:sin2B:sin2C

故sin2AOA?sin2BOB?sin2COC?0

二、内心

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1.定义：三角形的三条内角平分线交于一点,这点称为三角形的内心(内切圆圆心)．

三角形的内心到三边的距离相等,都等于三角形内切圆半径．

AMIBDHEKCF

2.性质：?内切圆半径r的计算：设三角形面积为S，r=2S/(a+b+c)

1

特别的，在直角三角形中,有 r=2(a+b－c)．

②∠BOC = 90 °+∠A/2 ∠BOA = 90 °+∠C/2 ∠AOC = 90 °+∠B/2 ③S△ABC=[(a+b+c)r]/2 (r是内切圆半径) ④O是内心?ABC的充要条件是

OA?(AB|AB|?ACAC)?OB?(BA|BA|?BC|BC|)?OC?(CA|CA|?CB|CB|)?0引进单位向量，使条

件变得更简洁。如果记AB,BC,CA的单位向量为e,e,e，则刚才O是?ABC内心的充要条

123件可以写成 OA?(e?e)?OB?(e?e)?OC?(e?e)?0

131223⑤O是?ABC内心的充要条件也可以是aOA?bOB?cOC?0 ⑥若O是?ABC的内心，则S?BOC：S?AOC：S?AOB?a：b：c

故 aOA?bOB?cOC?0或sinAOA?sinBOB?sinCOC?0;

??????????????????????⑦|???AB|PC?|BC|PA?|CA|PB?0?P?ABC的内心; ⑧向量线)；

三、垂心

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????????所在直线过?ABC的内心(是?BAC的角平分线所在直ACAB??????)(??0)?(???|AB||AC|

1.定义：三角形的三条高交于一点,这点称为三角形的垂心． 2.性质：

?锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶点上；钝角三角形的垂心在三角形外

② 垂心O关于三边的对称点，均在△ABC的外接圆上

③△ABC中，有六组四点共圆，有三组(每组四个)相似的直角三角形，且AO·OD=BO·OE=CO·OF

④ H、A、B、C四点中任一点是其余三点为顶点的三角形的垂心(并称这样的四点为一—垂心组)。

⑤△ABC，△ABO，△BCO，△ACO的外接圆是等圆。

?在非直角三角形中，过O的直线交AB、AC所在直线分别于P、Q，则 AB/AP·tanB+ AC/AQ·tanC=tanA+tanB+tanC

?三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的2倍。

⑧设O，H分别为△ABC的外心和垂心，则∠BAO=∠HAC，∠ABH=∠OBC，∠BCO=∠HCA。 ⑨锐角三角形的垂心到三顶点的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和的2倍。 ⑩锐角三角形的垂心是垂足三角形的内心；锐角三角形的内接三角形(顶点在原三角形的边上)中，以垂足三角形的周长最短。

⑩三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心；

⑩O是?ABC的垂心?OA?OB?OB?OC?OC?OA;

⑩若O是?ABC(非直角三角形)的垂心，则S?BOC：S?AOC：S?AOB?tanA：tanB：tanC

故tanAOA?tanBOB?tanCOC?0

四、重心

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1.定义：三角形的三条中线交于一点,这点称为三角形的重心． 2.性质：

?三角形的重心到边的中点与到相应顶点的距离之比为 1∶ 2． ②重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。

③在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其坐标为((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3)；

④重心和三角形3个顶点的连线的任意一条连线将三角形面积平分。 ⑤重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。 ?重心是三角形内到三边距离之积最大的点。 ?O是?ABC的重心?OA?OB?OC?0;

⑧若O是?ABC的重心，则S?BOC?S?AOC?S?AOB?1S?ABC故OA?OB?OC?0;

3??????????????G为?ABC的重心. ⑨???1PG?(PA?PB?PC)3

五、旁心

1.定义：三角形的一条内角平分线与另两个外角平分线交于一点,称为三角形的旁心(旁切圆圆心)．

每个三角形都有三个旁切圆．

ABFDC

EIa

一、单选题（共31题；共62分）

1.点P为△ABC所在平面外一点，PO⊥平面ABC，垂足为O，若PA=PB=PC，则点O是△ABC的（ ）

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