大连理工大学《矩阵与数值分析》学习指导与课后参考答案第三章、逐次逼近法

?(x)?x??(x)f(x)?x??(x)(x3?x2?x?1)，?'(x)?1??'(x)f(x)??(x)(3x2?2x?1)如果平方收敛，则x??时，应有?'(?)?0，而?'(?)?1??'(?)f(?)??(?)(3?2?2??1)1?1??(?)(3?2?2??1)?0，所以?(?)?(3?2?2??1)

8） 用二分法求x3-2x-5=0在[2，3]内的根，并要求xk????10，需要迭代（18）步。 9） 求f(x)=5x-ex=0在[0，1的根，迭代函数?(x)?12?51?x； e的简单迭代公式收敛阶为（线性）

55x?exNewton迭代公式的函数（?(x)?x?）；其收敛阶为（二阶）。 x5?e10） 给定方程组?SOR法收敛。 解：超松弛迭代格式 xk?1?1?a??x1??b1?，且0

现A对称，再加上正定就一定收敛，

由?I?A?0解出??1?a，??1??a，??1?a，由于A正定??0所以1?a?0，a?1

?1.150.42100.71???193.7???，b=?2.28?

0.332、用列主元消去法解方程组Ax=b，其中A=1.190.55???????1.000.351.50????0.68??对所求的结果x，使用三次迭代改善后，解的精度能否有明显提高？

4、设有线性方程组

?3.3330015.920?10.333??2.222016.7109.6120?????1.56115.17911.6853??元消去法，得到的近似解x

5、设方程组为?（1）?x1??15.913??x?=?28.544?，其精确解x*=(1,1,1)T，现用Gauss列主

??2????8.4254???x3???=(1.2001,0.99991,0.92538)T，试用迭代改善法改善其精度。

?a11?a21a12?a22???x??b1??x?=?b? , a11a22?0 ?2??2?a12a21?1

a11a22证明：（1）用Jacobi迭代和Gauss-Seidel迭代法收敛的充要条件为

（2）Jacobi迭代和Gauss-Seidel迭代法同时收敛或者发散

证明：（1）先作矩阵变换 A?D?L?U

Jacobi迭代公式的矩阵形式 x?1(L?U)x?1n?1?Dn?Db

??0?a12?其中B?1aJ?D(L?U)??11???,由?I?B2aaJ?0解出??1221??a21?a0?aa

22?1122?而

?2??2?a12a21a，由迭代收敛的充要条件?(BJ)?1，11a22??1,?2?1,a12a21a?1

11a22Gauss-Seidel迭代公式的矩阵形式 x?1D?L)?1n?1?(D?L)Uxn?(b

其中

?1??a12?B?L)?1U???a110??0?a12??0aG?(D?a????21a22??00???aa11??,1221?0??a

11a22??由?I?B(??a12a21a12a21G?0得?aa)?0，?1?0，?2?1122a11a22而 max(?1,?2)??2，由迭代收敛的充要条件?(B21G)??2?1于是

a12aa?111a22（2）显然，

a12a21aa?1，两者都收敛，反之都发散。

1122?6、设A=?371??04t?1??1?，b=?1?，t?t?1?1?为实参数

????0????0?? （1）求用Jacobi迭代法解Ax=b的迭代矩阵

（2）t在什么范围内时Jacobi迭代法收敛

解：（1）Jacobi迭代公式的矩阵形式 x?D?1(L?U)x?1n?1n?Db，其中

于是

71???0???0?733??1?????1t?1????00?(t?1)??0?,0???44??? ?0t?10?1??0?t?10??????????t2?1t2?122由?I?BJ?0解出?(??)?0,?1?0,?2,3?44?1?3??1BJ?D(L?U)??????t2?1（2）由????，迭代收敛的充要条件?(BJ)?1，

422t2?1于是??1,??1,?1，t2?1?4,?4?t2?1?4,?3?t2?5,t2?5,t?5

42

???t11??0??1??，t为实参数

1t0?，b=?7、设A=????t???2???10t????t? 用Gauss-Seidel迭代法解Ax=b时，t在什么范围内收敛

?1?1解：Gauss-Seidel迭代公式的矩阵形式 xn?1?(D?L)Uxn?(D?L)b，其中

1???0??t??0?1?1??t???11??0BG?(D?L)?1U??t00??????t3?t??0?1???10t??0????t?t3?112由?I?BG?0得?(??3)2??6?0，?1,2?0，?3?3ttt由迭代收敛的充要条件?(BG)?1，于是?3??11???t1??3t?1? t3??233?1，2?t?t,t?32 3t?2?11??1???，b=?1?，

18、（1）设A=?11??????1?2??1??1??试证：Jacobi迭代求解发散，而Gauss-Seidel迭代法收敛，并求解。

?1?22??1???，b=?1?，

?1（2）设A=?11???????1????2?21??试证：Jacobi迭代求解收敛，而Gauss-Seidel迭代法发散，并求解。

证明：先作矩阵变换 A?D?L?U

?1?1（1）Jacobi迭代公式的矩阵形式 xn?1?D(L?U)xn?Db

其中BJ?D(L?U),由?I?BJ?0解出????135?0,?1?0,?2,3?1 4由迭代收敛的充要条件?(BJ)?1，于是Jacobi迭代求解发散。

?1?1Gauss-Seidel迭代公式的矩阵形式 xn?1?(D?L)Uxn?(D?L)b

其中BG?(D?L)U,由?I?BG?0解出?(??)?0，?1?0，?2，3??由迭代收敛的充要条件?(BG)??1?2,31 221?1于是Gauss-Seidel迭代法收敛。x?(,,0)T

33212（2）与（1）解法类似，Jacobi迭代公式中

BJ?D?1(L?U),由?I?BJ?0解出?3?0,?1,2,3?0

由迭代收敛的充要条件?(BJ)?1，于是Jacobi迭代求解收敛。 而在Gauss-Seidel迭代公式中

BG?(D?L)?1U,由?I?BG?0解出?1?0，?2，3??2(1?2)， 由迭代收敛的充要条

件应有?(BG)?1，而现在?(BG)?1，于是Gauss-Seidel迭代法发散。x?(?3,7,9)

T?3?10?9、设方程组为???9?4??x???7??x?=?5? ?2???证明：（1）用Jacobi迭代和Gauss-Seidel迭代法是否收敛？

（2）交换两个方程次序，再用Jacobi迭代和Gauss-Seidel迭代是否收敛？ 证明：（1）先作矩阵变换 A?D?L?U

?1?1Jacobi迭代公式的矩阵形式 xn?1?D(L?U)xn?Db

其中BJ?D(L?U),由?I?BJ?0解出???1215?0,??1,?(BJ)?1 2不满足迭代收敛的充要条件，于是Jacobi迭代求解发散。

?1?1Gauss-Seidel迭代公式的矩阵形式 xn?1?(D?L)Uxn?(D?L)b

其中BG?(D?L)U,由?I?BG?0解出?(???11515)?0，?1?0，?2? 22?(BG)??2?1不满足迭代收敛的充要条件，于是Gauss-Seidel迭代将发散。

（2）交换方程次序后，系数矩阵变为??9?4?，它严格对角占优，因此Jacobi迭代和??3?10?