A级：“四基”巩固训练
一、选择题 1．不等式
9
＋(x－2)≥6(其中x>2)中等号成立的条件是( ) x－2
B．x＝－3 D．x＝－5
9
＝x－2，即x＝5(x＝－1舍去)． x－2
A．x＝3 C．x＝5 答案 C
解析 由基本不等式知等号成立的条件为
2．若a，b∈R，且ab＞0，则下列不等式中恒成立的是( ) A．a2＋b2＞2ab 112C.a＋b＞
ab答案 D 解析 根据条件，当a，b均小于0时，B，C不成立；当a＝b时，A不成ba立；因为ab＞0，所以a＋b≥21A.ab≥8 1C.ab≥2 答案 B
1
解析 ∵a>0，b>0，∴a＋b≥2ab，又a＋b＝1，∴2ab≤1，即ab≤2，11
∴ab≤4.∴ab≥4.故A不正确，C也不正确．
1
对于选项D，∵a＋b＝(a＋b)－2ab＝1－2ab，由ab≤可得a2＋b2＝1－
4
2
2
2
B．a＋b≥2ab baD.a＋b≥2
baa·b＝2，故D成立． 11B.a＋b≥4 D.11≤ a2＋b223．已知a>0，b>0，且a＋b＝1，则下列各式恒成立的是( )
1
2ab≥2.所以1
≤2.故D不正确． a2＋b2
11?11?ba
对于选项B，∵a＞0，b＞0，a＋b＝1，∴a＋b＝?a＋b?(a＋b)＝1＋a＋b＋1≥4，
??1
当且仅当a＝b＝2时，等号成立．故选B.
4．已知x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8, 则x＋2y的最小值是( )
911
A．3 B．4 C.2 D.2 答案 B
解析 解法一：∵x＋2y＋2xy＝8，∴y＝8－x92·＝(x＋1)＋－2≥2 2x＋2x＋1
当且仅当x＋1＝
8－x
>0.∴0 9 ?x＋1?·－2＝4. x＋1 9 ，即x＝2时，取“＝”号， x＋1 此时x＝2，y＝1. 解法二：由x＋2y＋2xy＝8得(x＋1)(2y＋1)＝9， 又x＋2y＝x＋1＋2y＋1－2≥2?x＋1??2y＋1?－2＝4，当且仅当x＋1＝2y＋1时“＝”成立， 又x＋2y＋2xy＝8，∴x＝2，y＝1时，取“＝”． z 5．设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0.则当xy取得最小值时，x＋2y－z的最大值为( ) 99A．0 B.8 C．2 D.4 答案 C zx2－3xy＋4y2x4y解析 xy＝＝y＋x－3≥2xy二、填空题 a－c 6．已知a＞b＞c，则?a－b??b－c?与2的大小关系是________． 答案 a－c ?a－b??b－c?≤2 x4yy·x－3＝1，当且仅当x＝2y时等 号成立，因此z＝4y2－6y2＋4y2＝2y2，所以x＋2y－z＝4y－2y2＝－2(y－1)2＋2≤2. 解析 ∵a＞b＞c，∴a－b＞0，b－c＞0. a－c?a－b?＋?b－c? ∴2＝≥?a－b??b－c?，当且仅当a－b＝b－c，即2b＝a＋ 2c时取等号． 21 7．已知a＞0，b＞0，a＋2b＝3，则a＋b的最小值为________． 8 答案 3 解析 ∵a＞0，b＞0，a＋2b＝3， 4ba4＋a＋b 21?21?1∴a＋b＝?a＋b?(a＋2b)×3＝ 3??42 ≥3＋3 4ba8a·b＝3， 4ba33 当且仅当a＝b，即a＝2，b＝4时取等号， 218∴a＋b的最小值为3. 8 故答案为3. 8．如图，在半径为4(单位：cm)的半圆形(O为圆心)铁皮上取一块矩形材料ABCD，其顶点A，B在直径上，顶点C，D在圆周上，则矩形ABCD面积的最大值为________(单位：cm2)． 答案 16 解析 如图所示，连接OC，设OB＝x(0 三、解答题 9．已知x＞0，y＞0，z＞0，且x＋y＋z＝1，求证：x＋y＋z≤ 3. 证明 ∵x＞0，y＞0，z＞0， ∴x＋y≥2xy，x＋z≥2xz，y＋z≥2yz， ∴2(x＋y＋z)≥2(xy＋xz＋yz)． ∵x＋y＋z＝1，∴xy＋xz＋yz≤1成立． ∵x＋y＋z＋2(xy＋xz＋yz)≤3， 即(x＋y＋z)2≤3. ∴x＋y＋z≤3. 1 当且仅当x＝y＝z＝3时，等号成立． 10．某游泳馆出售冬季游泳卡，每张240元，其使用规定：不记名，每卡每次只限一人，每天只限一次．某班有48名同学，老师打算组织同学们集体去游泳，除需购买若干张游泳卡外，每次游泳还需包一辆汽车，无论乘坐多少名同学，每次的包车费均为40元．若使每名同学游8次，每人最少应交多少元钱？ 解 设买x张游泳卡，总开支为y元，则每批去x名同学，共需去总开支又分为：①买卡所需费用240x，②包车所需费用 ∴y＝240x＋ 48×8 x×40(0 64 x×x＝3840， 48×8 x×40. 48×8x批， ?64?∴y＝240?x＋x?≥240×2?? 643840 当且仅当x＝x，即x＝8时取等号．故每人最少应交48＝80(元)． B级：“四能”提升训练 1．已知a＞0，b＞0，a＋b＝1，求证： 111(1)a＋b＋ab≥8； 1??1??(2)?1＋a??1＋b?≥9. ????11111a＋b?11?证明 (1)a＋b＋ab＝a＋b＋ab＝2?a＋b?， ??∵a＋b＝1，a＞0，b＞0， 11a＋ba＋bab ∴a＋b＝a＋b＝2＋b＋a≥2＋2＝4， 1111?? ∴a＋b＋ab≥8?当且仅当a＝b＝2时，等号成立?. ??(2)证法一：∵a＞0，b＞0，a＋b＝1， a＋b1b ∴1＋a＝1＋a＝2＋a， 1a 同理，1＋b＝2＋b， 1??1??1＋1＋?∴? a?b?????b??a?? ＝?2＋a??2＋b? ???? ?ba? ＝5＋2?a＋b?≥5＋4＝9. ?? 1??1?1??? ∴?1＋a??1＋b?≥9?当且仅当a＝b＝2时，等号成立?. ??????1??1?111? 证法二：?1＋a??1＋b?＝1＋＋＋. abab????111 由(1)知，a＋b＋ab≥8， 1??1?1111? 故?1＋a??1＋b?＝1＋a＋b＋ab≥9，当且仅当a＝b＝2时，等号成立． ????2．某产品原来的成本为1000元/件，售价为1200元/件，年销售量为1万件，由于市场饱和，顾客要求提高，公司计划投入资金进行产品升级．据市场调查，3x 若投入x万元，每件产品的成本将降低4元，在售价不变的情况下，年销售量将2 减少x万件，按上述方式进行产品升级和销售，扣除产品升级资金后的纯利润记为z(单位：万元)．(纯利润＝每件的利润×年销售量－投入的成本) (1)求z的函数解析式； (2)求z的最大值，以及z取得最大值时x的值． 3x??1000－?解 (1)依题意，产品升级后，每件产品的成本为元，每件产品的4???3x?2???利润为?200＋4?元，年销售量为?1－x?万件， ????3x??2?4000?400x??故z＝?200＋4??1－x?－x＝198.5－x－4?2 (2)z＝198.5－x－4≤198.5－2× 400xx×4＝178.5， 400x 当且仅当x＝4，即x＝40时取到等号，即z的最大值是178.5，当z取得最大值时x的值为40.
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