洛伦茨吸引子

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转到：导航，搜索ρ=28、σ=10、β=8/3时的洛伦兹系统轨迹洛伦茨吸引子是洛伦茨振子（Lorenz oscillator）的长期行为对应的分形结构，以爱德华·诺顿·洛伦茨的姓氏命名。洛伦茨振子是能产生混沌流的三维动力系统，以其双纽线形状而著称。映射展示出动力系统（三维系统的三个变量）的状态是如何以一种复杂且不重复的模式，随时间的推移而演变的。目录[隐藏]1 简述2 洛伦茨方程3 瑞利数4 源

代码4.1 GNU Octave4.2 Borland C4.3 Borland Pascal4.4 Fortran4.5

QBASIC/FreeBASIC(\-lang qb\参见6 参考文献7 外部链接简述

洛伦茨方程的一条轨迹被描绘成金属线，以展现方向以及

三维结构洛伦茨吸引子及其导出的方程组是由爱德华·诺顿·洛伦茨于1963年发表，最初是发表在《大气科学杂志》（Journal of the Atmospheric Sciences）杂志的论文《Deterministic Nonperiodic Flow》中提出的，是由大气方程中出现的对流卷方程简化得到的。这一洛伦茨模型不只对非线性数学有重要性，对于气候和天气预报来说也有着重要的含义。行星和恒星大气可能会表现出多种不同的准周期状态，这些准周期状态虽然是完全确定的，但却容易发生突变，看起来似乎是随机变化的，而模型对此现象有明确的表述。从技术角度看来，洛伦茨振子具有非线性、三维性和确定性。2001年，沃里克·塔克尔（Warwick Tucker）证明出在一组确定的参数下，系统会表现出混沌行为，显示出人们今天所知的奇异吸引子。这样的奇异吸引子是豪斯多夫维数在2与3之间的分形。彼得·格拉斯伯格（Peter Grassberger）已于1983年估算出豪斯多夫维数为2.06 ± 0.01，而关联维数为2.05 ± 0.01。此系统也会出现在单模激光（Haken 1975）和发电机（Knobloch 1981）的简化模型中。除此之外，闭环对流、水轮转动等物理模型也有此系统的应用。

洛伦茨方程

标出刻度的轨迹洛伦茨方程是基于纳维－斯托克斯方程、

热传导方程和连续性方程简化得出，最初的形式为：

——流速，T——流体温度，

T0——上限温度（也可以写成T0 + ΔT），ρ——密度，p——压强，——重力，γ、χ、ν——依次为热膨胀系数、热扩散率和动黏滞系数。简化后的形式称为洛伦茨方程，是决

定洛伦茨振子状态的方程为一组常微分方程：

含时间参数的形式：σ称为

普兰特尔数 ，ρ称为瑞利数。所有的σ，ρ，β > 0，但通常σ=10，β=8/3，ρ不定。若ρ<1，则吸引子为原点，没有任何其他稳定点。1≤ρ<13.927时，螺线轨迹接近两点（这相当于存在阻尼振子），两点的位置由下列式子决定：

、

、

。系统在ρ=28时表现出混沌特性，但ρ为其他值时

会显示出具纽结的周期轨道。例如，当ρ= 99.96时，图像变为一个T(3,2)环面纽结。初始

条件的敏感依赖性时间t=1（放大）时间t=2 （放大）

时间t=3 （放大）

这三幅图是在ρ=28，σ = 10，β = 8/3的条件下生成的，展示出洛伦茨吸引子中的两条轨迹（蓝色、黄色各一）的三维演变的三个时段， 这两条轨迹的初始点只在x坐标上相差10-5。开始时，两条轨迹似乎是重合的（蓝色轨迹被黄色遮盖，因此只能看到黄色轨迹），但一段时间后，分离就变得明显了。 洛伦茨吸引子的Java动画展示了振子状态连续不断的演变

瑞利数

不同ρ值时的洛伦茨吸引子

ρ=14, σ=10, β=8/3 （放大）

ρ=13, σ=10, β=8/3 （放大）

ρ=15, σ=10, β=8/3 （放大）