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2019年普通高等学校招生全国统一考试模拟卷（2）
文科数学
本试题卷共6页，23题（含选考题）。全卷满分150分。考试用时120分钟。
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。
1．设i是虚数单位，若复数z?i1?i，则z的共轭复数为（ ） A．
112?2i B．1?1i C．1?122i D．
12?12i 【答案】D 【解析】复数z?ii?111?i?2，根据共轭复数的概念得到，z的共轭复数为：2?12i．故答案为：D．
2．设z?i?1i?1，f?x??x2?x?1，则f?z??（ ）
A．i B．?i
C．?1?i
D．?1?i
【答案】A
【解析】Qf?x??x2?x?1，z?i?1?i?1???1?i??2ii?1??i?1???1?i??2??i，
?f?z??f??i????i?2???i??1?i，故选A．
3．已知函数f?x??lnx，若f?x?1??1，则实数x的取值范围是（ ） A．???,e?1? B．?0,??? C．?1,e?1?
D．?e?1,???
【答案】C
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【解析】已知函数f?x??lnx，若f?x?1??1，则f?x?1??lne?f?e?，由函数为增函数，故：0?x?1?e?1?x?1?e，故选C．
x4．函数f?x????1??2?，?x??0,???的值域为D，在区间??1,2?上随机取一个数x，则x?D的概率是（ ）
A．
12 B．
13 C．
14 D．1
【答案】B
?x【解析】Qx?0，?0??1??2???1，即值域D??0,1?，若在区间??1,2?上随机取一个数x，
x?D1?0?1开始的事件记为A，则P?A??2???1?3，故选B． 输入tS?0,a?2,n?05．执行如图所示的程序框图，如果输入的t?100，则输出的n?（ ） S?S?aA．5 B．6
C．7
D．8
a?3a?1,n?n?1是k≤t否【答案】A
输出n结束【解析】S?2+5+14+41+122?100，故输出n?5．
6．《九章算术》卷5《商功》记载一个问题“今有圆堡瑽，周四丈八尺，高一丈一尺．问积几何？答曰：二千一百一十二尺．术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一”．这里所说的圆堡瑽就是圆柱体，它的体积为“周自相乘，以高乘之，十二而一”．就是说：圆堡瑽（圆柱体）的体积为V?112?（底面圆的周长的平方?高），则由此可推得圆周率π的取值为（ ）
A．3 B．3.1
C．3.14
D．3.2
【答案】A
【解析】设圆柱体的底面半径为r，高为h，由圆柱的体积公式得体积为：V?πr2h．
学习资料 由题意知V?112??2πr?2?h．所以πr2h?1212??2πr??h，解得π?3．故选A． 7．已知向量a??3,?4?，b?2，若a?b??5，则向量a与b的夹角为（ ）
A．
π2π6 B．
π4 C．
π3 D．
3 【答案】D
【解析】由题可知：cos??a?ba?b??510??12，所以向量a与b的夹角为2π3． 8．已知点P在圆C：x2?y2?4x?2y?4?0上运动，则点P到直线l：x?2y?5?0的距离的最小值是（ ）
A．4 B．5 C．5?1 D．5?1
【答案】D
【解析】圆C：x2?y2?4x?2y?4?0化为?x?2?2??y?1?2?1，圆心C?2,1?半径为1，
先求圆心到直线的距离2?2?5?5?0的距离的最小值是
12?22?5，则圆上一点P到直线l：x?2y5?1．选D．
?3x?y?6?09．设x，y满足约束条件??x?y?2?0，若目标函数z?ax?y?a?0?的最大值为18，
??x?0,y?0则a的值为（ ）
A．3 B．5
C．7
D．9
【答案】A
【解析】根据不等式组得到可行域是一个封闭的四边形区域，目标函数化为y??ax?z，当直线过点?4,6?时，有最大值，将点代入得到z?4a?6?18?a?3，故答案为：A．
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x2a?y210．双曲线2b2?1(a?0,b?0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1作倾斜角为60?的
直线与y轴和双曲线的右支分别交于A，B两点，若点A平分线段F1B，则该双曲线的离心率是（ ）
A．3 B．2?3
C．2 D．2?1
【答案】B
【解析】双曲线x2y2a2?b2?1(a?0,b?0)的左焦点F为??c,0?，直线l的方程为
y?3?x?c?，令x?0，则y?3c，即A?0,3c?，因为A平分线段F1B，根据中点坐标公式
可得B?c,23c?，代入双曲线方程可得c212c2ab1，由于e?ca?e?1?，则e?12e222?2?e2?1?1，化
简可得e4?14e2?1?0，解得e2?7?43，由e?1，解得e?2?3，故选B．
11．已知函数f?x??ex?x2??3a?2?x在区间??1,0?有最小值，则实数a的取值范围是（ ）
A．???1,?1???e??3?1??e? B．???1,?3??
C．???e,?1??
D．????1,?3e?? 【答案】D
【解析】由f?x??ex?x2??3a?2?x可得，f??x??ex?2x?3a?2，
Q函数f?x??ex?x2??3a?2?x在区间??1,0?上有最小值，
?函数f?x??ex?x2??3a?2?x在区间??1,0?上有极小值，
而f??x??ex?2x?3a?2?0在区间??1,0?上单调递增，
?f??x??ex?2x?3a?2?0在区间??1,0?上必有唯一解，
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由零点存在定理可得???f???1??e?1?2?3a?2?0，解得??1?f??0??1?3a?2?01?a??3e，
?实数a的取值范围是??1???1,?3e??，故选D．
12．若关于x的不等式kex?1x?x?1在???，0?U?0，???上恒成立，则实数k的取值范围为（ ）
A．???，?e?U??5??e2，???? B．???，?2e?U??3??e2，???? C．????，?1??U??5?e??e2，????? D．????，?2??e??U??3?e2，????? 【答案】A
kex?1kex【解析】依题意，?1?x?0?x?0x?x?1?x?x?1???x2?x?1或??x2?x?1，令??k?ex??k?exf?x??x2?x?1?2x?1?ex?ex?x2?x?1??x2?x?2?x?1??x?2?ex，则f??x??e2x?ex??ex， 所以当x????,?1?时，f??x??0，当x???1,0?时，f??x??0， 当x??0,2?时，f??x??0，当x??2,???时，f??x??0，
所以k?f?2?或k?f??1?，即k?5e2或k??e，故选A．
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第(13)~(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答。第(22)~(23)题为选考题，考生根据要求作答。
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。
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13．已知x，y?R，则“a?1”是直线ax?y?1?0与直线x?ay?1?0平行的__________条件（从“充分不必要”“必要不充分”“充分必要”“既不充分也不必要”中选择一个）
【答案】充要
【解析】若直线ax?y?1?0与直线x?ay?1?0平行，则有a2?1，即a??1，且当a??1时，两直线重合，舍去，因此a?1，即a?1是直线ax?y?1?0与直线x?ay?1?0平行的充要条件，故答案为充分必要．
14．某四棱锥的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的侧面积是________cm2．
【答案】27
【解析】由三视图得到几何体如图：
侧面积为
12?3?4?12?3?4?12?3?5?12?5?3?27；故答案为：27． 15．函数y?x2?x?1πxx与y?3sin2?1的图象有n个交点，其坐标依次为?x1,y1?，
?nx2,y2?，…，?xn,yn?，则??xi?yi??__________．
i?1【答案】4
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