在△ADE和△CED中， ，
∴△ADE≌△CED(SSS)． (2)由(1)得△ADE≌△CED，
∴∠DEA=∠EDC，即∠DEF=∠EDF， ∴EF=DF，
∴△DEF是等腰三角形．
23．(9分)如图，已知顶点为C(0，﹣3)的抛物线y=ax2+b(a≠0)与x轴交于A，B两点，直线y=x+m过顶点C和点B． (1)求m的值；
(2)求函数y=ax2+b(a≠0)的解析式；
(3)抛物线上是否存在点M，使得∠MCB=15°？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【考点】HF：二次函数综合题．
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【分析】(1)把C(0，﹣3)代入直线y=x+m中解答即可；
(2)把y=0代入直线解析式得出点B的坐标，再利用待定系数法确定函数关系式即可； (3)分M在BC上方和下方两种情况进行解答即可． 【解答】解：(1)将(0，﹣3)代入y=x+m， 可得：m=﹣3；
(2)将y=0代入y=x﹣3得：x=3， 所以点B的坐标为(3，0)，
将(0，﹣3)、(3，0)代入y=ax2+b中，
可得： ，
解得： ，
所以二次函数的解析式为：y=x2﹣3；
(3)存在，分以下两种情况：
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①若M在B上方，设MC交x轴于点D，则∠ODC=45°+15°=60°， ∴OD=OC?tan30°= ，
设DC为y=kx﹣3，代入( ，0)，可得：k= ， 联立两个方程可得： ，
解得： ， ，
所以M1(3 ，6)；
②若M在B下方，设MC交x轴于点E，则∠OEC=45°﹣15°=30°， ∴OE=OC?tan60°=3 ，
设EC为y=kx﹣3，代入(3 ，0)可得：k=联立两个方程可得： ，
，
解得： ，
所以M2( ，﹣2)，
综上所述M的坐标为(3 ，6)或( ，﹣2)．
24．(9分)如图，四边形ABCD中，AB=AD=CD，以AB为直径的⊙O经过点C，连接AC、OD交于点E． (1)证明：OD∥BC；
(2)若tan∠ABC=2，证明：DA与⊙O相切；
(3)在(2)条件下，连接BD交⊙O于点F，连接EF，若BC=1，求EF的长．
，
【考点】MR：圆的综合题．
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【分析】(1)连接OC，证△OAD≌△OCD得∠ADO=∠CDO，由AD=CD知DE⊥AC，再由AB为直径知BC⊥AC，从而得OD∥BC；
(2)根据tan∠ABC=2可设BC=a、则AC=2a、AD=AB= = ，证OE为中位线知OE=a、AE=CE=AC=a，进一步
求得DE= =2a，再△AOD中利用勾股定理逆定理证∠OAD=90°即可得；
(3)先证△AFD∽△BAD得DF?BD=AD2①，再证△AED∽△OAD得OD?DE=AD2②，由①②得DF?BD=OD?DE，即合∠EDF=∠BDO知△EDF∽△BDO，据此可得【解答】解：(1)连接OC，
=，结=，结合(2)可得相关线段的长，代入计算可得．
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在△OAD和△OCD中，
∵ ，
∴△OAD≌△OCD(SSS)， ∴∠ADO=∠CDO， 又AD=CD， ∴DE⊥AC，
∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB=90°，
∴∠ACB=90°，即BC⊥AC， ∴OD∥BC；
(2)∵tan∠ABC=
=2，
∴设BC=a、则AC=2a， ∴AD=AB= = ， ∵OE∥BC，且AO=BO，
∴OE=BC=a，AE=CE=AC=a，
在△AED中，DE= =2a， 在△AOD中，AO2+AD2=(∴AO2+AD2=OD2， ∴∠OAD=90°， 则DA与⊙O相切；
2
)+( a)2=a2，OD2=(OE+DE)2=(a+2a)2=a2，
(3)连接AF，
∵AB是⊙O的直径， ∴∠AFD=∠BAD=90°， ∵∠ADF=∠BDA， ∴△AFD∽△BAD， ∴
=
，即DF?BD=AD2①，
又∵∠AED=∠OAD=90°，∠ADE=∠ODA， ∴△AED∽△OAD， ∴
=，即OD?DE=AD2②，
由①②可得DF?BD=OD?DE，即又∵∠EDF=∠BDO， ∴△EDF∽△BDO， ∵BC=1，
=，
∴AB=AD= 、OD=、ED=2、BD= 、OB=∴
=
，即 =
，
，
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解得：EF=．
25．(9分)已知Rt△OAB，∠OAB=90°，∠ABO=30°，斜边OB=4，将Rt△OAB绕点O顺时针旋转60°，如图1，连接BC． (1)填空：∠OBC= 60 °；
(2)如图1，连接AC，作OP⊥AC，垂足为P，求OP的长度；
(3)如图2，点M，N同时从点O出发，在△OCB边上运动，M沿O→C→B路径匀速运动，N沿O→B→C路径匀速运动，当两点相遇时运动停止，已知点M的运动速度为1.5单位/秒，点N的运动速度为1单位/秒，设运动时间为x秒，△OMN的面积为y，求当x为何值时y取得最大值？最大值为多少？
【考点】RB：几何变换综合题．
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【分析】(1)只要证明△OBC是等边三角形即可；
(2)求出△AOC的面积，利用三角形的面积公式计算即可；
(3)分三种情形讨论求解即可解决问题：①当0＜x≤时，M在OC上运动，N在OB上运动，此时过点N作NE⊥OC且交OC于点E．②当＜x≤4时，M在BC上运动，N在OB上运动．
③当4＜x≤4.8时，M、N都在BC上运动，作OG⊥BC于G． 【解答】解：(1)由旋转性质可知：OB=OC，∠BOC=60°， ∴△OBC是等边三角形， ∴∠OBC=60°． 故答案为60．
(2)如图1中，
∵OB=4，∠ABO=30°，
∴OA=OB=2，AB= OA=2 ，
∴S△AOC=?OA?AB=×2×2 =2 ， ∵△BOC是等边三角形，
∴∠OBC=60°，∠ABC=∠ABO+∠OBC=90°， ∴AC= =2 ， ∴OP=
△ ==．
(3)①当0＜x≤时，M在OC上运动，N在OB上运动，此时过点N作NE⊥OC且交OC于点E． 则NE=ON?sin60°=
x，
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