2017年普通高等学校招生全国统一考试理科数学一卷

2017年普通高等学校招生全国统一考试 全国卷一

理科数学

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合A={x|x<1}，B={x|3x?1}，则( ) A．AIB?{x|x?0}

D．AIB??

B．AUB?R

C．AUB?{x|x?1}

2．如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是( )

A．

1 4π4

B．

π8

C．

1 2

D．

3．设有下面四个命题

1p1：若复数z满足?R，则z?R；

z

p2：若复数z满足

z2?R，则z?R；

p3：若复数z1,z2满足z1z2?R，则z1?z2；

p4：若复数z?R，则

z?R.

其中的真命题为( ) A．p1,p3

B．p1,p4

C．p2,p3

D．p2,p4

4．记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a4?a5?24，S6?48，则{an}的公差为( )

A．1

D．8

B．2

C．4

5．函数f(x)在(??,??)单调递减，且为奇函数．若f(1)??1，则满足

?1?f(x?2)?1的x的取值范围是

A．[?2,2]

D．[1,3]

B．[?1,1]

C．[0,4]

6．(1?126x)(1?x)展开式中的系数为( )

x2 D．35

B．20

C．30

A．15

7．某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为( )

A．10

B．12

C．14

D．16

8．右面程序框图是为了求出满足3n?2n>1000的最小偶数n，那么在白框中，可以分别填入

和两个空

A．A>1 000和n=n+1

B．A>1 000和n=n+2

C．A?1 000和n=n+1

D．A?1 000和n=n+2

9．已知曲线C1：y=cos x，C2：y=sin (2x+

2π)，则下面结论正确的是( ) 3π个单位长度，6A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移

得到曲线C2

B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移

得到曲线C2

π12个单位长度，

C．把C1

1上各点的横坐标缩短到原来的

2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移

π6个单位长度，

得到曲线C2

D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的

得到曲线C2

12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移

π12个单位长度，

10．已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与

C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为( )

A．16

D．10

B．14

C．12

xyz11．设xyz为正数，且2?3?5，则( )

A．2x<3y<5z

B．5z<2x<3y C．3y<5z<2x

D．3y<2x<5z

12．几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件。为激发大家学习数学的

兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是2，接下来的两项是2，2，再接下来的三项是2，2，2，

0

0

1

0

1

2

依此类推。求满足如下条件的最小整数N：N>100且该数列的前N项和为2的整数幂。那么该款软件的激活码是( ) A．440

B．330

C．220

D．110

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知向量a，b的夹角为60°，|a|=2，|b|=1，则| a +2 b |= _______ .

?x?2y?1?14．设x，y满足约束条件?2x?y??1，则z?3x?2y的最小值为_________ .

?x?y?0?x2y215．已知双曲线C：2?2?1（a>0，b>0）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径做

ab圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点。若∠MAN=60°，则C的离心率为________。

16．如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5 cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O。

D、E、F为圆O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等

腰三角形。沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D、E、F重合，得到三棱锥。当△ABC的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm3）的最大值为_______。

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必

考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共60分。

17．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为

a2

3sinA（1）求sinBsinC;

（2）若6cosBcosC=1，a=3，求△ABC的周长.

18.（12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，AB//CD，且?BAP??CDP?90.

o

（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；

（2）若PA=PD=AB=DC，?APD?90，求二面角A-PB-C的余弦值.

o

19．（12分）

为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状

2态下生产的零件的尺寸服从正态分布N(?,?)．

（1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在

(??3?,??3?)之外的零件数，求P(X?1)及X的数学期望；

（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(??3?,??3?)之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查． （ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：

10.12 10.01 10.04 9.95 9.96 9.96 9.92 9.98 10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95 116经计算得x??xi?9.97，

16i?111611622s?(xi?x)?(?xi?16x2)2?0.212，其中xi为抽取的第i个零件的尺?16i?116i?1寸，i?1,2,???,16．

?，用样本标准差s作为?的估计值??，利用估用样本平均数x作为?的估计值???3??,???3??)之外的数据，用剩计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除(?下的数据估计?和?（精确到0.01）．

2附：若随机变量Z服从正态分布N(?,?)，则

P(??3??Z???3?)?0.997 4， 0.997 416?0.959 2，0.008?0.09．

x2y220.（12分）已知椭圆C：2?2=1（a>b>0），四点P1（1,1），P2（0,1），P3（–

ab1，33），P4（1，）中恰有三点在椭圆C上. 22（1）求C的方程；

（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点。若直线P2A与直线P2B的斜率的和为–1，证明：l过定点.

fx)?ae2x+(a﹣2) ex﹣x. 21.（12分）已知函数（（1）讨论f(x)的单调性；

（2）若f(x)有两个零点，求a的取值范围.

2017年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的。

1. A 2．B 3．B 4．C 5．D 6．C

7．B 8．D 9．D 10．A 11．D 12．A

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．23 14．-5 15．23 3

316．15cm

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必

考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共60分。

17．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为

a2

3sinA（1）求sinBsinC;

（2）若6cosBcosC=1，a=3，求△ABC的周长. 解：（1）

由题意可得S?ABC1a2?bcsinA?， 23sinA22化简可得2a?3bcsinA，

22根据正弦定理化简可得：2sinA?3sinBsinCsinA?sinBsinC?2。 3（2）

由

2?sinBsinC??12??3?cosA??cosA?B?sinBsinC?cosBcosC??A???， ?123?cosBcosC??6?因此可得B??3?C，

将之代入sinBsinC?231???sinCcosC?sin2C?0， 中可得：sin??C?sinC?322?3?化简可得tanC?3???C?,B?， 366a31sinB???3， sinA322利用正弦定理可得b?同理可得c?3，

故而三角形的周长为3?23。 18.（12分）

如图，在四棱锥P-ABCD中，AB//CD，且?BAP??CDP?90.

o

（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；

（2）若PA=PD=AB=DC，?APD?90，求二面角A-PB-C的余弦值. （1）证明：

oQAB//CD,CD?PD?AB?PD,

又?AB?PA,PA?PD?P,PA、PD都在平面PAD内， 故而可得AB?PAD。

又AB在平面PAB内，故而平面PAB⊥平面PAD。 （2）解：

不妨设PA?PD?AB?CD?2a，

以AD中点O为原点，OA为x轴，OP为z轴建立平面直角坐标系。 故而可得各点坐标：P0,0,2a,A????2a,0,0,B??2a,2a,0,C?2a,2a,0，

???uuur因此可得PA??uuur2a,0,?2a,PB??uuur2a,2a,?2a,PC??2a,2a,?2a，

???uruur假设平面PAB的法向量n1??x,y,1?，平面PBC的法向量n2??m,n,1?，

uruuur?ur?n1?PA?2ax?2a?0?x?1故而可得?u，即n1??1,0,1?， ruuur??n1?PB?2ax?2ay?2a?0?y?0uuruuur?n2?PC??2am?2an?2a?0?m?0uur??2?同理可得?u。 0,,1?uruuur2，即n2????2?n2?PB?2am?2an?2a?0?n????2uruur因此法向量的夹角余弦值：cos?n1,n2??12?32?3。 3很明显，这是一个钝角，故而可得余弦为?3。 319．（12分）

为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正

2常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N(?,?)．

（1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在

(??3?,??3?)之外的零件数，求P(X?1)及X的数学期望；

（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(??3?,??3?)之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．

（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性； （ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：

10.12 10.01 10.04 9.95 9.96 9.96 9.92 9.98 10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95 116经计算得x??xi?9.97，

16i?111611622s?(xi?x)?(?xi?16x2)2?0.212，其中xi为抽取的第i个零件的尺?16i?116i?1寸，i?1,2,???,16．

?，用样本标准差s作为?的估计值??，利用估用样本平均数x作为?的估计值???3??,???3??)之外的数据，用剩计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除(?下的数据估计?和?（精确到0.01）．

2附：若随机变量Z服从正态分布N(?,?)，则

P(??3??Z???3?)?0.997 4， 0.997 416?0.959 2，0.008?0.09．

解：（1）P?X?1??1?P?X?0??1?0.997416?1?0.9592?0.0408

由题意可得，X满足二项分布X~B?16,0.0016?， 因此可得EX?16,0.0016???16?0.0016?0.0256 （2）

1由（1）可得P?X?1??0.0408?5%，属于小概率事件， ○

故而如果出现

(??3?,??3?)的零件，需要进行检查。

μ?9.97,?μ?0.212??μ?3?μ?9.334,?μ?3?μ?10.606， 2由题意可得?○

故而在?9.334,10.606?范围外存在9.22这一个数据，因此需要进行检查。

此时：??x?9.97?16?9.22?10.02，

15115??x?x?0.09。 ?15i?1??20.（12分）

3x2y2已知椭圆C：2?2=1（a>b>0），四点P1（1,1），P2（0,1），P3（–1，），2abP4（1，3）中恰有三点在椭圆C上. 2（1）求C的方程；

（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点。若直线P2A与直线P2B的斜率的和为–1，证明：l过定点. 解：（1）

根据椭圆对称性可得，P1（1,1）P4（1，3）不可能同时在椭圆上， 2P3（–1，33），P4（1，）一定同时在椭圆上， 2233），P4（1，）， 22因此可得椭圆经过P2（0,1），P3（–1，代入椭圆方程可得：b?1,13??1?a?2， a24x2?y2?1。 故而可得椭圆的标准方程为：4（2）由题意可得直线P2A与直线P2B的斜率一定存在，

不妨设直线P2A为：y?kx?1,P2B为：y??1?k?x?1.

?y?kx?1?联立?x2??4k2?1?x2?8kx?0， 2??y?1?4假设A?x1,y1?，B?x2,y2?此时可得：

2??8k1?4k2??8?1?k?1?4?1?k??A?2,2,?， ?,B?22?4k?14k?1???4?1?k??14?1?k??1??1?4?1?k?此时可求得直线的斜率为：kAB?y2?y1?x2?x11?4k2?224?1?k??14k?18?1?k?4?1?k??122??8k4k2?1，

化简可得kAB??1?1?2k?2，此时满足k??1。 21当k??○

1时，AB两点重合，不合题意。 2118k?1?4k2?2当k??x?2○时，直线方程为：y??， ??22?24k?14k?1??1?2k??4k?即y??2?4k?1?x?2?1?2k?，当x?2时，y??1，因此直线恒过定点

?2,?1?。

21.（12分）

2xx已知函数（fx)?ae+(a﹣2) e﹣x.

（1）讨论f(x)的单调性；

（2）若f(x)有两个零点，求a的取值范围. 解：

2xxxx（1）对函数进行求导可得f'?x??2ae??a?2?e?1?ae?1e?1。

????1当a?0时，f'?x??ae?1e?1?0恒成立，故而函数恒递减 ○

xx????2当a?0时，f'?x??ae?1e?1?0?x?ln○

xx????1，故而可得函数在a1???1???,lnln,??上单调递减，在????上单调递增。

aa????（2）函数有两个零点，故而可得a?0，此时函数有极小值f?ln??1?1?lna??1， ?a?a要使得函数有两个零点，亦即极小值小于0，

故而可得lna?11?1?0?a?0?，令g?a??lna??1， aaa?1?0，故而函数恒递增， a2对函数进行求导即可得到g'?a??又g?1??0，?g?a??lna?1?1?0?a?1， a因此可得函数有两个零点的范围为a??0,1?。