第十章 曲线积分与曲面积分
教学目的： 1. 2. 3. 4. 5.
理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系。 掌握计算两类曲线积分的方法。
熟练掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件，会求全微分的原函数。
了解两类曲面积分的概念、性质及两类曲面积分的关系，掌握计算两类曲面积分的方法，了解高斯公式、斯托克斯公式，会用高斯公式计算曲面积分。 知道散度与旋度的概念，并会计算。
6． 会用曲线积分及曲面积分求一些几何量与物理量。 教学重点:
1、两类曲线积分的计算方法； 2、格林公式及其应用； 3、两类曲面积分的计算方法； 4、高斯公式、斯托克斯公式；
5、两类曲线积分与两类曲面积分的应用。 教学难点：
1、两类曲线积分的关系及两类曲面积分的关系； 2、对坐标的曲线积分与对坐标的曲面积分的计算； 3、应用格林公式计算对坐标的曲线积分； 4、应用高斯公式计算对坐标的曲面积分； 5、应用斯托克斯公式计算对坐标的曲线积分。
§10.1 对弧长的曲线积分
一、 对弧长的曲线积分的概念与性质 曲线形构件的质量
设一曲线形构件所占的位置在xOy面内的一段曲线弧L上 已知曲线形构件在点(x,
y)处的线密度为(x, y). 求曲线形构件的质量.
把曲线分成n小段, s1, s2, 任取(xi , hi)
, sn(
si也表示弧长);
si, 得第i小段质量的近似值(xi , hi)si;
整个物质曲线的质量近似为M???(?i,?i)?si;
i?1n 令l=max{s1, s2,
n , sn}0, 则整个物质曲线的质量为
M?lim??(?i,?i)?si.
??0i?1 这种和的极限在研究其它问题时也会遇到.
定义 设L为xOy面内的一条光滑曲线弧, 函数f(x, y)在L上有界. 在L上任意插入一点列M1, M2, , Mn1把L分在n个小段. 设第i个小段的长度为si, 又(xi,
hi)为第i个小段上任意取定的一点, 作乘积f(xi, hi)si, (i=1, 2, , n ), 并
作和?f(?i,?i)?si, 如果当各小弧段的长度的最大值l0, 这和的极限总存在, 则称此
i?1n极限为函数f(x, y)在曲线弧L上对弧长的曲线积分或第一类曲线积分, 记作
n?Lf(x,y)ds,
即
lim?f(?i,?i)?si. ?Lf(x,y)ds???0i?1其中f(x, y)叫做被积函数, L 叫做积分弧段.
设函数f(x, y)定义在可求长度的曲线L上, 并且有界.
将L任意分成n个弧段: s1, s2, , sn, 并用si表示第i段的弧长;
在每一弧段si上任取一点(xi, hi), 作和?f(?i,?i)?si;
i?1n 令l=max{s1, s2, , sn}, 如果当l0时, 这和的极限总存在, 则称
此极限为函数f(x, y)在曲线弧L上对弧长的 曲线积分或第一类曲线积分, 记作
n?Lf(x,y)ds, 即
lim?f(?i,?i)?si. ?Lf(x,y)ds???0i?1其中f(x, y)叫做被积函数, L 叫做积分弧段.
曲线积分的存在性: 当f(x, y)在光滑曲线弧L上连续时, 对弧长的曲线积分
?Lf(x,y)ds是存在的. 以后我们总假定f(x, y)在L上是连续的.
根据对弧长的曲线积分的定义,曲线形构件的质量就是曲线积分中
(x, y)为线密度.
?L?(x,y)ds的值, 其
对弧长的曲线积分的推广:
lim?f(?i,?i,?i)?si. ??f(x,y,z)ds???0i?1)上的曲线积分等于函数在光滑的
n 如果L(或)是分段光滑的 则规定函数在L(或
各段上的曲线积分的和 例如设L可分成两段光滑曲线弧L1及L2, 则规定
?L?L12f(x,y)ds??f(x,y)ds??f(x,y)ds.
L1L2 闭曲线积分: 如果L是闭曲线, 那么函数f(x, y)在闭曲线L上对弧长的曲线积分记作
?Lf(x,y)ds.
则
对弧长的曲线积分的性质: 性质1 设c1、c2为常数
[c1f(x,y)?c2g(x,y)]ds?c1?L?Lf(x,y)ds?c2?Lg(x,y)ds;
性质2 若积分弧段L可分成两段光滑曲线弧L1和L2 则
?Lf(x,y)ds??L1f(x,y)ds??f(x,y)dsL2 性质3设在L上f(x y)g(x y)
则
?Lf(x,y)ds??Lg(x,y)ds
特别地 有 |?Lf(x,y)ds|??L|f(x,y)|ds
二、对弧长的曲线积分的计算法
根据对弧长的曲线积分的定义 如果曲线形构件L的线密度为f(x, y) 则曲线形构件L的质量为
?Lf(x,y)ds.
xj(t), yy (t) (atb),
另一方面, 若曲线L的参数方程为
则质量元素为
f(x,y)ds?f[?(t), ?(t)]曲线的质量为 即
??2(t)???2(t)dt,
???f[?(t), ?(t)]??2(t)???2(t)dt.
f(x,y)ds??f[?(t), ?(t)]??2(t)???2(t)dt.
???L 定理 设f(x y)在曲线弧L上有定义且连续, L的参数方程为
x=j(t), y=y(t) (atb),
2
其中j(t)、y(t)在[a, b]上具有一阶连续导数, 且j(t)+y2
(t)0, 则曲线积分
?Lf(x,y)ds存在, 且
?Lf(x,y)ds??f[?(t),?(t)]??2(t)???2(t)dt(a ?? 证明（略） 应注意的问题: 定积分的下限a一定要小于上限b. 讨论: (1)若曲线L的方程为y=y(x)(axb), 则提示: L的参数方程为x=x, y=y(x)(a ?Lf(x,y)ds=? xb), ?Lf(x,y)ds??f[x,?(x)]1???2(x)dx. ab (2)若曲线L的方程为x=j(y)(cyd), 则提示: L的参数方程为x=j(y), y=y(c ?Lf(x,y)ds=? yd), ?Lf(x,y)ds??f[?(y),y]??2(y)?1dy. cd (3)若曲G的方程为x=j(t), y=y(t), z=w(t)(atb), 则 ??f(x,y,z)ds=? ??f(x,y,z)ds??f[?(t),?(t),?(t)]??2(t)???2(t)???2(t)dt. ??提示: 例1 计算 ?Lyds, 其中L是抛物线y=x2上点O(0, 0)与点B(1, 1)之间的一段弧. 解 曲线的方程为y=x (0 2 x1), 因此 ?Lyds??101x21?(x2)?2dx??x1?4x2dx?1(55?1). 012 例2 计算半径为R、中心角为2a的圆弧L对于它的对称轴的转动惯量I(设线密度为 1) 解 取坐标系如图所示, 则I??Ly2ds. 曲线L的参数方程为 x=Rcosq, y=Rsinq (-aq ?? ?R3???sin2?d?=R(a-sina cosa). 3 ? 例3 计算曲线积分 ??(x2?y2?z2)ds, 其中G为螺旋线x=acost、y=asint、z=kt上 2 2 2 2 2 2 2 2 相应于t从0到达2的一段弧. 解 在曲线上有x+y+z=(a cos t)+(a sin t)+(k t)=a+kt, 并且 ds?(?asint)2?(acost)2?k2dt?a2?k2dt, 于是 2 ??(x2?y2?z2)ds??(a2?k2t2)a2?k2dt 02? ?2?a2?k2(3a2?4?2k2). 3 小结: 用曲线积分解决问题的步骤: (1)建立曲线积分; (2)写出曲线的参数方程 ( 或直角坐标方程) , 确定参数的变化范围; (3)将曲线积分化为定积分; (4)计算定积分. §10. 2 对坐标的曲线积分 一、对坐标的曲线积分的概念与性质 变力沿曲线所作的功: 设一个质点在xOy面内在变力F(x, y)=P(x, y)i+Q(x, y)j的作用下从点A沿光滑曲
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