D，点 E 为 C 延长线上一点，且∠CDE＝ ∠BAC．
（1） 求证：DE 是⊙O 的切线；
（2） 若 AB＝3BD，CE＝2，求⊙O 的半径．
【分析】（1）根据圆周角定理得出∠ADC＝90°，按照等腰三角形的性质和已知的 2 倍角关系，证明∠ODE 为直角即可；
（2）通过证得△CDE∽△DAE，根据相似三角形的性质即可求得．
【解答】解：（1）如图，连接 OD，AD，
∵AC 是直径，
∴∠ADC＝90°，
∴AD⊥BC，
∵AB＝AC，
∴∠CAD＝∠BAD＝ ∠BAC， ∵∠CDE＝∠BAC． ∴∠CDE＝∠CAD，
∵OA＝OD，
∴∠CAD＝∠ADO，
∵∠ADO+∠ODC＝90°，
∴∠ODC+∠CDE＝90°
∴∠ODE＝90°
又∵OD 是⊙O 的半径
∴DE 是⊙O 的切线；
（2）解：∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝CD，
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∵AB＝3BD，
∴AC＝3DC，
设 DC＝x，则 AC＝3x，
∴AD＝ ＝2x，
∵∠CDE＝∠CAD，∠DEC＝∠AED，
∴△CDE∽△DAE， ∴∴DE＝4
＝
，即
＝，
＝
，x＝
∴AC＝3x＝14，
∴⊙O 的半径为 7．
【点评】本题考查了圆的切线的判定定理、圆周角定理、等腰三角形的性质、三角形相似的判定和性质，解题的关键是作出辅助线构造直角三角形或等腰三角形．
2. （2019?湖北十堰?12 分）已知抛物线 y＝a（x﹣2）2+c 经过点 A（2，0）和 C（0，），与 x 轴交于另一点 B，顶点为 D．
（1） 求抛物线的解析式，并写出 D 点的坐标；
（2） 如图，点 E，F 分别在线段 AB，BD 上（E 点不与 A，B 重合），且∠DEF＝∠A，
则△DEF 能否为等腰三角形？若能，求出 BE 的长；若不能，请说明理由；
（3） 若点 P 在抛物线上，且 ＝m，试确定满足条件的点 P 的个数．
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【分析】（1）利用待定系数法，转化为解方程组即可解决问题．
（2） 可能．分三种情形①当 DE＝DF 时，②当 DE＝EF 时，③当 DF＝EF 时，分别求
解即可．
（3） 如图 2 中，连接 BD，当点 P 在线段 BD 的右侧时，作 DH⊥AB 于 H，连接 PD，
PH，PB．设 P[n，﹣
（n﹣2）2+3]，构建二次函数求出△PBD 的面积的最大值，再
根据对称性即可解决问题．
【解答】解：（1）由题意：
，
解得
，
∴抛物线的解析式为 y＝﹣∴顶点 D 坐标（2，3）．
（x﹣2）2+3，
（2） 可能．如图 1，
∵A（﹣2，0），D（2，3），B（6，0），
∴AB＝8，AD＝BD＝5，
①当 DE＝DF 时，∠DFE＝∠DEF＝∠ABD，
∴EF∥AB，此时 E 与 B 重合，与条件矛盾，不成立．
②当 DE＝EF 时，
又∵△BEF∽△AED，
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∴△BEF≌△AED，
∴BE＝AD＝5
③当 DF＝EF 时，∠EDF＝∠DEF＝∠DAB＝∠DBA，
△FDE∽△DAB， ∴∴
＝＝
， ＝，
∵△AEF∽△BCE ∴
＝
＝，
，
时，△CFE 为等腰三角形．
∴EB＝ AD＝
答：当 BE 的长为 5 或
（3） 如图 2 中，连接 BD，当点 P 在线段 BD 的右侧时，作 DH⊥AB 于 H，连接 PD，
PH，PB．设 P[n，﹣
（n﹣2）2+3]，
则 S△PBD＝S△PBH+S△PDH﹣S△BDH＝×4×[﹣4×3＝﹣（n﹣4）2+， ∵﹣＜0，
∴n＝4 时，△PBD 的面积的最大值为，
2+3]+×3×（n﹣2）（n﹣2）﹣×
∵ ＝m，
∴当点 P 在 BD 的右侧时，m 的最大值＝＝ ，
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