直线和圆的方程
一、知识导学
1．两点间的距离公式:不论A(x1，y1)，B(x2，y2)在坐标平面上什么位置，都有
22d=|AB|=(x1?x2)?(y1?y2)，特别地，与坐标轴平行的线段的长|AB|=|x2－x1|或
|AB|=|y2-y1|.
2．定比分点公式:定比分点公式是解决共线三点A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x，y)之间数量关系的一个公式，其中λ的值是起点到分点与分点到终点的有向线段的数量之比.这里起点、分点、终点的位置是可以任意选择的，一旦选定后λ的值也就随之确定了.若以
?x???A为起点，B为终点，P为分点，则定比分点公式是??y???x1?x2?x???2λ=1，此时中点坐标公式是?.
y?y2?y?1?2?x1??x21??.当P点为AB的中点时，y1??y21??3．直线的倾斜角和斜率的关系
（1）每一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率.
（2）斜率存在的直线，其斜率k与倾斜角α之间的关系是k=tanα.
4．确定直线方程需要有两个互相独立的条件。直线方程的形式很多，但必须注意各种形式的直线方程的适用范围. 名称 斜截式 方程 说明 适用条件 倾斜角为90°的直线不能用此式 倾斜角为90°的直线不能用此式 与两坐标轴平行的直线不能用此式 过（0，0）及与两坐标轴平行的直线不能用此式 A、B不全为零 y?kx?b k为直线的斜率 b为直线的纵截距 (x0,y0) 为直线上的已知点，k为直线的斜率 点斜式 y?y0?k(x?x0) y?y1x?x1= y2?y1x2?x1xy+=1 ab两点式 (x1,y1)，(x2,y2)是直线上两个已知点 截距式 a为直线的横截距 b为直线的纵截距 一般式 Ax?By?C?0 ?ACC，?，?分别BAB为斜率、横截距和纵截距 k2≠ -1时，5．两条直线的夹角。当两直线的斜率k1,k2都存在且k1·tanθ=
k2?k1，
1?k1k2当直线的斜率不存在时，可结合图形判断.另外还应注意到：“到角”公式与“夹角”公式的
1
区别.
6．怎么判断两直线是否平行或垂直？判断两直线是否平行或垂直时，若两直线的斜率都存在，可以用斜率的关系来判断；若直线的斜率不存在，则必须用一般式的平行垂直条件来判断.
（1）斜率存在且不重合的两条直线l1∶y?k1x?b1， l2∶y?k2x?b2，有以下结论： ①l1∥l2?k1=k2，且ｂ1＝ｂ2 ②l1⊥l2?k1·k2= -1
（2）对于直线l1∶A1x?B1y?C1?0，l2 ∶A2x?B2y?C2?0，当A1，A2，B1，
B2都不为零时，有以下结论：
①l1∥l2?A1B1C=≠1 A2B2C2②l1⊥l2?A1A2+B1B2 = 0 ③l1与l2相交?A1B≠1 A2B2A1B1C1== A2B2C2④l1与l2重合?7．点到直线的距离公式.
（1）已知一点P（x0,y0）及一条直线l：Ax?By?C?0，则点P到直线l的距离
d=
|Ax0?By0?C|A?B22；
（2）两平行直线l1: Ax?By?C1?0， l2: Ax?By?C2?0之间的距离
d=
|C1?C2|A?B22.
8．确定圆方程需要有三个互相独立的条件。圆的方程有两种形式，要知道两种形式之间的相互转化及相互联系
（1）圆的标准方程：(x?a)2?(y?b)2?r2，其中（a，b）是圆心坐标，r是圆的半径；
22（2）圆的一般方程：x2?y2?Dx?Ey?F?0（D?E?4F＞0），圆心坐标
DED2?E2?4F为（-，-），半径为r=.
2222
二、疑难知识导析
1．直线与圆的位置关系的判定方法.
（1）方法一 直线：Ax?By?C?0；圆：x2?y2?Dx?Ey?F?0.
?Ax?By?C?0判别式消元????一元二次方程?????222△?b?4ac?x?y?Dx?Ey?F?0?△?0?相交??△?0?相切 ?△?0?相离?（2）方法二 直线: Ax?By?C?0；圆：(x?a)2?(y?b)2?r2，圆心（a，b）到直线的距离为 d=
|Aa?Bb?C|A2?B2?d?r?相离?????d?r?相切
?d?r?相交?
2．两圆的位置关系的判定方法.
设两圆圆心分别为O1、O2，半径分别为r1，r2，|O1O2|为圆心距，则两圆位置关系如下： |O1O2|>r1+r2?两圆外离； |O1O2|=r1+r2?两圆外切；
| r1-r2|<|O1O2| ［例1］直线l经过P（2,3）,且在x,y轴上的截距相等,试求该直线方程. 错解：设直线方程为: xy23??1,又过P(2,3),∴??1,求得a=5 ababxy??1的条件是:a≠0且b≠0,本题忽略了a?b?0这一情ab3?03?, 2?02 ∴直线方程为x+y-5=0. 错因：直线方程的截距式: 形. 正解：在原解的基础上,再补充这样的过程:当直线过(0,0)时,此时斜率为:k?∴直线方程为y= 3x 23x . 2综上可得:所求直线方程为x+y-5=0或y= ［例2］已知动点P到y轴的距离的3倍等于它到点A(1,3)的距离的平方,求动点P的轨迹方程. 错解：设动点P坐标为(x,y).由已知3x?(x?1)?(y?3), 化简3x=x-2x+1+y-6y+9 . 2 2 22 当x≥0时得x-5x+y-6y+10=0 . ① 22 3 当x＜0时得x+ x+y-6y+10=0 . ② 错因：上述过程清楚点到y轴距离的意义及两点间距离公式,并且正确应用绝对值定义将方程分类化简,但进一步研究化简后的两个方程,配方后得 52211232 2 (x- )+(y-3)= ① 和 (x+ )+(y-3)= - ② 2424两个平方数之和不可能为负数,故方程②的情况不会出现. 5221122 2 正解： 接前面的过程,∵方程①化为(x- )+(y-3)= ,方程②化为(x+ )+(y-3)= - 242352212 ,由于两个平方数之和不可能为负数,故所求动点P的轨迹方程为: (x- )+(y-3)= 424(x≥0) 2222 ［例3］m是什么数时，关于x,y的方程（2m+m-1）x+（m-m+2）y+m+2=0的图象表示一个 圆？ 22 错解：欲使方程Ax+Cy+F=0表示一个圆，只要A=C≠0， 222 得2m+m-1=m-m+2，即m+2m-3=0，解得m1=1，m2=-3， 22 ∴当m=1或m=-3时，x和y项的系数相等，这时，原方程的图象表示一个圆 22 错因：A=C，是Ax+Cy+F=0表示圆的必要条件，而非充要条件，其充要条件是： F A=C≠0且 ＜0. A 正解：欲使方程Ax+Cy+F=0表示一个圆，只要A=C≠0， 222 得2m+m-1=m-m+2，即m+2m-3=0，解得m1=1，m2=-3， 22 (1) 当m=1时，方程为2x+2y=-3不合题意，舍去. 22221 (2) 当m=-3时，方程为14x+14y=1,即x+y= ,原方程的图形表示圆. 14 2 2 22 ［例4］自点A(-3，3)发出的光线L射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在直线与圆22 x+y-4x-4y+7＝0相切，求光线L所在的直线方程. 错解：设反射光线为L′,由于L和L′关于x轴对称，L过点A(-3，3)，点A关于x轴的对称点A′(-3，-3)，于是L′过A(-3，-3). 设L′的斜率为k，则L′的方程为y-(-3)＝k［x-(-3)］，即kx-y+3k-3＝0， 22 已知圆方程即(x-2)+(y-2)＝1，圆心O的坐标为(2，2)，半径r＝1 因L′和已知圆相切，则O到L′的距离等于半径r＝1 2k?2?3k?32?5k?52?1 k?1k?1 即 2 整理得12k-25k+12＝0 解得k＝ 44 L′的方程为y+3＝(x+3) 33 即4x-3y+3＝0 因L和L′关于x轴对称 故L的方程为4x+3y+3＝0. 错因：漏解 正解：设反射光线为L′,由于L和L′关于x轴对称，L过点A(-3，3)，点A关于x轴的对称点A′(-3，-3)， 于是L′过A(-3，-3). 设L′的斜率为k，则L′的方程为y-(-3)＝k［x-(-3)］，即kx-y+3k-3＝0， 22 已知圆方程即(x-2)+(y-2)＝1，圆心O的坐标为(2，2)，半径r＝1 因L′和已知圆相切，则O到L′的距离等于半径r＝1 4 2k?2?3k?32?5k?52?1 k?1k?1 即 2 整理得12k-25k+12＝0 解得k＝ 43或k＝ 3443 L′的方程为y+3＝(x+3);或y+3＝(x+3)。 34 即4x-3y+3＝0或3x-4y-3＝0 因L和L′关于x轴对称 故L的方程为4x+3y+3＝0或3x+4y-3＝0. ［例5］求过直线x?2y?4?0和圆x2?y2?2x?4y?1?0的交点，且满足下列条件之一的圆的方程： （1） 过原点；（2）有最小面积. 解：设所求圆的方程是：x?y?2x?4y?1???x?2y?4??0 22 即：x?y??2???x?2?2???y?1?4??0 22（1）因为圆过原点，所以1?4??0，即???故所求圆的方程为：x?y?221 477x?y?0. 422（2） 将圆系方程化为标准式，有： 2???5?2?4?2?x????y?2????????? 2?4?5?5?当其半径最小时，圆的面积最小，此时???222为所求. 524??8?4?故满足条件的圆的方程是?x????y???. 5??5?5?点评：（1）直线和圆相交问题，这里应用了曲线系方程，这种解法比较方便；当然也可以待 定系数法。（2）面积最小时即圆半径最小。也可用几何意义，即直线与相交弦为直径时圆面积最小. ［例6］（06年辽宁理科）已知点A(x1,y1)，B(x2,y2)（x1x2≠0）是抛物线y?2px(p?0)上的两个动点，O是坐标原点，向量OA,OB满足｜OA?OB｜＝｜OA?OB｜.设圆C的方程为x?y?(x1?x2)x?(y1?y2)y?0 （1）证明线段AB是圆C的直径； （2）当圆C的圆心到直线x?2y?0的距离的最小值为 22225时，求p的值. 55
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