八年级数学同步讲义第二讲 等腰三角形阶段性复习之易错题
阶段易错题、典型题、综合题归类 一、常见的两解或多解问题（分类讨论的数学思想） 1、平方根、平方、绝对值都要强调“正负”
（1）25的平方根是 （同时注意两步运算） （2）25(x?2)2?36?0，求x
2、等腰三角形
（1）等腰三角形的边（是腰还是底边的讨论）
例、等腰三角形的周长为13，其中一边长为3，则该等腰三角形的底边长为 .
（2）等腰三角形的角（是顶角还是底角的讨论）
例1、在等腰三角形中，有一个角是50°，它的一条腰上的高与底边的夹角是_______； 例2、已知等腰三角形的一个外角是100°，则它的底角度数为 ； 例3、若△ABC是等腰三角形，且∠A＝70°，则∠B＝__________________．
（3）等腰三角形（三条边是哪两条相等，一般分三种情况讨论，当顶角是直角或钝角则只有一种可能）
例、如图，△ABC中，∠ACB=90°，AB=5cm，BC=3cm，若点P从点A出发，以每秒2cm的速度沿折线A－C－B－A运动，设运动时间为t秒（t＞0）.
A 在运动过程中，当t为何值时，△BCP为等腰三角形．
P ·
B C
（4）根据一条已知线段，利用分类讨论画等腰三角形
例、如图，直线m⊥直线n于点O，点A到m、n的距离相等，在直线m或n上确定一点
m
P，使△OAP为等腰三角形．试回答： （1）符合条件的点P共有_________个； （2）若符合条件的点P在直线m上，请直接写出 ∠OAP的所有可能的度数．
A
O
n
3、遇到三角形的高，在没有图形的时候，一般要分锐角三角形（高在内部）、钝角三角形（高在外部）讨论
例1、等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是28°，则顶角是_______. 例2、△ABC中AB=15，AC=13，高AD=12，则△ABC的周长为_________.
初二数学试卷 第1页 共6页
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4、直角三角形：
（1）直角三角形的两条边（两条直角边或一直角边、一斜边）
例、已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长是 （2）讨论直角三角形，则要讨论哪个角是直角？
例、如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOC＝100°，∠BOC＝α，以OB为边作等边△OBD，连结AD．当α＝__________________时，△AOD是直角三角形． A D
O
C B 5、全等三角形对应关系不确定需讨论
例、如图，CA⊥AB，垂足为点A，AB=12，AC=6，射线BM⊥AB,垂足为点B，一动点E从A点出发以2厘米/秒沿射线AN运动，点D为射线BM上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持ED=CB，当点E经过____________秒时，△DEB与△BCA全等。
二、几何问题中的常规辅助线： （1）角平分线两侧构造全等。
例1、如图，BD是∠ABC平分线，DE?AB于E，AB＝36cm，BC＝24cm，S△ABC ＝144cm2，DE长是__________。 C D
A
E
B （第1题） 第 2题
例2、如图，在△ABC中AD是∠A的外角平分线，P是AD上一动点且不与点A、D重合，记PB＋PC＝a，AB＋AC＝b，则a、b的大小关系是 （ ） A．a＞b B．a＝b C．a＜b D．不能确定 O （2）等腰直角三角形两侧构造全等。
BF如图，AO?OM，OA＝82，点B为射线OM上的一个动点，分别以OB，AB为直角边，B为直角顶点，在OM两侧作等腰Rt△OBF、等腰Rt△ABE，连接EF交OM于P点，当点B在射线OM上移动时，PB的长度（ ） P A．4 B．42 C．62 D．BP的长度随B点的运动而变化
E M （3）遇中线（倍长中线法）或遇中点（延长构造全等）
例1、已知在△ABC中，AC＝5，中线AD＝4，则边AB的取值范围是（ ） A．1＜AB＜9 B．3＜AB＜13 C．5＜AB＜13 D．9＜AB＜13
O A 初二数学试卷 第2页 共6页
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例2、已知，点P是直角三角形ABC斜边AB上一动点（不与A，B重合），分别过A、B向直线CP作垂线，垂足分别为E、F，Q为斜边AB的中点．
（1）如图1，当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系是 ，QE与QF的数量关系式 ；
（2）如图2，当点P在线段AB上不与点Q重合时，试判断QE与QF的数量关系，并给予证明；
（3）如图3，当点P在线段BA（或AB）的延长线上时，此时（2）中的结论是否成立？请画出图形并给予证明．
（4）截长补短法。
例、已知：如图，等边△OAB的边长为3，另一等腰△OCA与△OAB有公共边OA，且OC＝AC，∠C＝120°．∠MCN＝60°，
（1）若∠MCN两边分别与OB、AB交于点M、N，连接MN．将∠MCN绕着点C旋转，使得M、N始终在边OB和边AB上．试证明：MN=OM+AN，并判断△BMN的周长是否发生变化？ （2）若∠MCN两边分别与OB的延长线、BA的延长线交于点M、N，连接MN．请探索MN、B OM、AN的关系 B M
N A O A O 备用图 三、几何问题中的方程思想：
C （1）利用内角和180度建立方程
C
例1、如图△ABC中，AB=AC=BD，且AD=DC，则∠BAC＝ ___________°．
例2、如图，在△ABC中，AB＝AC，DE垂直平分AB，BE?AC，AF?BC，则∠EFC＝______°．
A
A
D
E
B D C B C 第1题
F （第1题）
（第2题）
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（2）利用勾股定理建立方程
例1、如图，长方形的一边AD＝8，另一边AB＝4，现将它折叠，使点D与点B重合，则重合部分△BFG的面积＝ ．
例2、如图，△ABC中，∠ACB=90°，AB=5cm，BC=3cm，若点P从点A出发，以每秒2cm的速度沿折线A－C－B－A运动，设运动时间为t秒（t＞0）. （1）若点P在AC上，且满足PA=PB时，求出此时t的值； A （2）若点P恰好在∠BAC的角平分线上，求t的值； P ·
B C
四、利用对称点研究距离和最短或周长最短
例1、如图，已知在△ABC中，AB=AC ，AD是BC边上的高，P是AB边上的一点，试在高
A AD上找一点E，使得△PEB的周长最短。
A A
E E P· FD
C B M BCDC D 第3题 B 第1题图 第2题图 第4题
例2、如图，在△ABC中，AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，D是BC边的中点，E是AB边上一动点，则EC＋ED的最小值是 ．
例3、如图，△ABC中，AB＝17，BC＝10，CA＝21，AM平分∠BAC，点D、E分别为AM、AB上的动点，则BD＋DE的最小值是 ．
例4、如图，△ABC中，AB=AC=13，BC=10，AD是BC边上的中线，且AD=12，F是AD上的动点，E 是AC边上的动点，则CF+EF的最小值为 .
五、面积法
例1、已知Rt△ABC中，∠C=90°，斜边c和斜边上的高分别为4和2，则ab=_______. 例2、如图①，△ABC中．AB=AC，P为底边BC上一点，PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，垂足分别为E、F、H．易证PE+PF=CH．(提示：S△ABP+S△ACP=S△ABC)
（1）如图②，P为BC延长线上的点时，其它条件不变，PE、PF、CH又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明：
（2）填空：若∠A=30°，△ABC的面积为49，点P在直线BC上，且P到直线AC的距离为PF，当PF=3时，则AB边上的高CH=____．点P到AB边的距离PE=______．
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