A．f(3) B．f(1) 解析 由题意知f(x)为偶函数，所以f(－2)＝f(2)， 又x∈[0，＋∞)时，f(x)为减函数，且3>2>1， ∴f(3) x 4．定义两种运算：ab＝a2－b2，a?b＝?a－b?2，则f(x)＝是 2－?x?2?A．奇函数 B．偶函数 D．非奇非偶函数 ( ) C．既奇又偶函数 答案 A x＝4－x2，x?2＝?x－2?2， 4－x24－x24－x2所以f(x)＝＝＝， x2－?x－2?22－?2－x?解析 因为 该函数的定义域是[－2,0)∪(0,2]， 且满足f(－x)＝－f(x)． 故函数f(x)是奇函数． 5．已知定义在R上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝ax－ax＋2(a>0，且a≠1)．若 － g(2)＝a，则f(2)等于 15 A．2 B. 4答案 B ( ) 17 C. 4 D．a2 解析 ∵f(x)为奇函数，g(x)为偶函数， ∴f(－2)＝－f(2)，g(－2)＝g(2)＝a， ∵f(2)＋g(2)＝a2－a2＋2，① － ∴f(－2)＋g(－2)＝g(2)－f(2)＝a2－a2＋2，② 15－ 由①、②联立，g(2)＝a＝2，f(2)＝a2－a2＝. 4 － 二、填空题 6．函数f(x)在R上为奇函数，且x>0时，f(x)＝x＋1，则当x<0时，f(x)＝________. 答案 －－x－1 解析 ∵f(x)为奇函数，x>0时，f(x)＝x＋1， ∴当x<0时，－x>0， f(x)＝－f(－x)＝－(－x＋1)， 即x<0时，f(x)＝－(－x＋1)＝－－x－1. 7．若函数f(x)＝x2－|x＋a|为偶函数，则实数a＝________. 答案 0 解析 ∵函数f(x)＝x2－|x＋a|为偶函数，∴f(－x)＝f(x)，即(－x)2－|－x＋a|＝x2－|x＋a|，∴|－x＋a|＝|x＋a|，∴a＝0. 1 8．已知函数f(x)满足：f(1)＝，4f(x)f(y)＝f(x＋y)＋f(x－y)(x，y∈R)，则f(2 015)＝________. 4 1答案 4解析 方法一 令x＝1，y＝0时，4f(1)·f(0)＝f(1)＋f(1)， 1 解得f(0)＝， 2令x＝1，y＝1时，4f(1)·f(1)＝f(2)＋f(0)， 1 解得f(2)＝－， 4令x＝2，y＝1时，4f(2)·f(1)＝f(3)＋f(1)， 1 解得f(3)＝－， 2 1111 依次求得f(4)＝－，f(5)＝，f(6)＝，f(7)＝， 4424 11 f(8)＝－，f(9)＝－，? 42可知f(x)是以6为周期的函数， 1 ∴f(2 015)＝f(335×6＋5)＝f(5)＝. 4 1 方法二 ∵f(1)＝，4f(x)·f(y)＝f(x＋y)＋f(x－y)， 4 1π ∴构造符合题意的函数f(x)＝cos x， 23 π11×2 015?＝. ∴f(2 015)＝cos??42?3三、解答题 9．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且它的图象关于直线x＝1对称． (1)求证：f(x)是周期为4的周期函数； (2)若f(x)＝x (0 (2)解 由函数f(x)是定义在R上的奇函数，有f(0)＝0. x∈[－1,0)时，－x∈(0,1]，f(x)＝－f(－x)＝－－x. 故x∈[－1,0]时，f(x)＝－－x. x∈[－5，－4]时，x＋4∈[－1,0]， f(x)＝f(x＋4)＝－－x－4. 从而，x∈[－5，－4]时，函数f(x)＝－－x－4. －x＋2x，x>0，?? 10．已知函数f(x)＝?0，x＝0， ??x2＋mx，x<0(1)求实数m的值； (2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围． 解 (1)设x<0，则－x>0， 所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x. 又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)， 于是x<0时，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx， 所以m＝2. (2)由(1)知f(x)在[－1,1]上是增函数， 要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增． ??a－2>－1， 结合f(x)的图象知? ?a－2≤1，? 2 是奇函数． 所以1 B组 专项能力提升 1．已知f(x)是定义在R上的偶函数，g(x)是定义在R上的奇函数，且g(x)＝f(x－1)，则f(2 013)＋f(2 015)的值为 A．－1 答案 C 解析 由题意，得g(－x)＝f(－x－1)， 又∵f(x)是定义在R上的偶函数，g(x)是定义在R上的奇函数，∴g(－x)＝－g(x)，f(－x)＝f(x)， ∴f(x－1)＝－f(x＋1)， ∴f(x)＝－f(x＋2)，∴f(x)＝f(x＋4)， ∴f(x)的周期为4， ∴f(2 013)＝f(1)，f(2 015)＝f(3)＝f(－1)， 又∵f(1)＝f(－1)＝g(0)＝0， ∴f(2 013)＋f(2 015)＝0. 2a－3 2．设奇函数f(x)的定义域为R，最小正周期T＝3，若f(1)≥1，f(2)＝，则a的取值范 a＋1围是 ( ) 2 A．a<－1或a≥ 32 C．－1 3 ( ) B．1 C．0 D．无法计算 B．a<－1 2 D．a≤ 3 答案 C 解析 函数f(x)为奇函数，则f(1)＝－f(－1)． 由f(1)＝－f(－1)≥1，得f(－1)≤－1； 函数的最小正周期T＝3，则f(－1)＝f(2)， 2a－32由≤－1，解得－1 3．设函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R恒有f(x＋1)＝f(x－1)，已知当x∈[0,1]时，f(x)＝2x，则有 ①2是函数f(x)的周期； ②函数f(x)在(1,2)上是减函数，在(2,3)上是增函数； ③函数f(x)的最大值是1，最小值是0. 其中所有正确命题的序号是________． 答案 ①② 解析 在f(x＋1)＝f(x－1)中，令x－1＝t，则有f(t＋2)＝f(t)， 因此2是函数f(x)的周期，故①正确； 当x∈[0,1]时，f(x)＝2x是增函数， 则f(x)在[－1,0]上是减函数， 根据函数的周期性知，函数f(x)在(1,2)上是减函数， 在(2,3)上是增函数，故②正确； 在区间[－1,1]上，f(x)的最大值为f(1)＝f(－1)＝2， f(x)的最小值为f(0)＝1，故③错误． 4．函数f(x)的定义域为D＝{x|x≠0}，且满足对于任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)． (1)求f(1)的值； (2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论； (3)如果f(4)＝1，f(x－1)<2，且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，求x的取值范围． 解 (1)∵对于任意x1，x2∈D， 有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)， ∴令x1＝x2＝1，得f(1)＝2f(1)，∴f(1)＝0. (2)令x1＝x2＝－1，有f(1)＝f(－1)＋f(－1)， 1 ∴f(－1)＝f(1)＝0. 2令x1＝－1，x2＝x有f(－x)＝f(－1)＋f(x)， ∴f(－x)＝f(x)，∴f(x)为偶函数． (3)依题设有f(4×4)＝f(4)＋f(4)＝2， 由(2)知，f(x)是偶函数， ∴f(x－1)<2?f(|x－1|)
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