第34 届全国中学生物理竞赛决赛
试题与参考解答
一、（35 分）如图，质量分别为ma 、mb 的小球a 、b 放置在光滑绝缘水平面上，两球之间用一原长为l0 、劲度系数为k0 的绝缘轻弹簧连接。
（1） t 0 时，弹簧处于原长，小球 a 有一沿两球连线向右的初速度v0 ，小球b 静止。若运动过程中弹簧始终处于弹性形变范围内，求两球在任一时刻t(t 0) 的速度。
（2）若让两小球带等量同号电荷，系统平衡时弹簧长度为 L0 ，记静电力常量为 K 。求小球所带电荷量 和两球与弹簧构成的系统做微振动的频率（极化电荷的影响可忽略）。参考解答：
（1）如图， t 时刻弹簧的伸长量为
u l l0
有
d 2u 2 k0u dt
①
式中
ma mb ma mb ②
为两小球的约化质量。由①②式知，弹簧的伸长量u 服从简谐振动的动力学方程，振动频率为
1 k0 f 2π 2π ??
1 ma ? mb k0 2π m m a b ③
最后一步利用了②式。t 时刻弹簧的伸长量u 的表达式为
u Asin 式中 A 、B 为待定常量。t 0 时，弹簧处于原长，即
u(0) B 0 将 B 0 代入④式得
t B cost ④
u Asin t ⑤
a 相对于b 的速度
为 t 0 时有
va dra drb du A cost ⑥
dt dt dt
va (0) v0 0 A
⑦
由⑥⑦式得
va v0 cost ⑧
系统在运动过程中动量守恒
ma v0 ma va mbvb ⑨
小球 a 相对于地面的速度为
va va
vb ⑩
由③⑧⑨⑩式可得， t 时刻小球 a 和小球b 的速度分别为
v m (m m )k m b 1 cos a b 0 a 0 t a m m ? m m m a b b a a
(m m )k a b 0 v t
m ?m m a b 0v 1 cos
b
m m v a b a
（2）若两球带等量同号电荷，电荷量为 q ，系统平衡时有
q2
? k0 (L0 ??l0 ) K 2
L 0
由?式得
?
0 ? l ) q L0 (L 0 0
k
设t 时刻弹簧的长度为 L （见图 II），有
K ?
d 2 L q2
2 k0 (L l0 ) K 2 Ldt
?
图 II
令 x L L0 为t 时刻弹簧相对平衡时弹簧长度 L0
写为
的伸长量，?式可改
2
d x q
2 dt k0 x k0 (L0 l0 ) K 0 2 x 2
0 2 L1 L ?
系统做微振动时有
x L0
因而
x 1
2
x 1 2 L 0
L 0
O x 2 L
?
0
利用上式，?式可写为
2
q 2
q 2
dt2 d x
k0
x 2K 0
2 x
O k0 (L0
l0 ) K 0
2 L x L
L2 0
L3 ?
略去O 0
，并利用?或?式，?式可写为
d 2 x x ?
q2 k 2K 3L 2l x 0 0 k 0
dt2
L
3 0
0
L 0
由?式知， 3L0 2l0 0 ，系统的微振动服从简谐振动的动力学方程，振动频率为
??3L ? 2l 0 ??0 ? k 0 ??? ? m 3L ? 2l 0 m ?1 ? ? 1 ? L 0 ? 0 ?a b f ?? ?? k0 2π ??2π ? L m m 0 ? ? a b ???
最后一步利用了②式。
评分参考：第（1）问 24 分，①②③④⑤⑥⑦⑧⑨⑩??式各 2 分；第（2）问 11 分，???式各 2
分，?式 1 分，??式各 2 分。 二、（35 分）双星系统是一类重要的天文观测对象。假设某两星体均可视为质点，其质量分别为 M 和
m ，一起围绕它们的质心做圆周运动，构成一双星系统，观测到该系统的转动周期为T0 。在某一时刻， M 星突然发生爆炸而失去质量M 。假设爆炸是瞬时的、相对于 M 星是各向同性的，因而爆炸后 M 星的残余体 M (M M M ) 星的瞬间速度与爆炸前瞬间 M 星的速度相同，且爆炸过程和抛
射物质
M 都对m 星没有影响。已知引力常量为G ，不考虑相对论效应。
（1）求爆炸前 M 星和m 星之间的距离r0 ；
（2）若爆炸后 M 星和m 星仍然做周期运动，求该运动的周期T1 ； （3）若爆炸后 M 星和m 星最终能永远分开，求 M 、m 件。参考解答：
M 三者应满足的条
（1）两体系统的相对运动相当于质量为
Mm M 的质点在固定力场中的运动，其运动方程是
m
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