2020’新课标·名师导学·高考第一轮总复习同步测试卷
理科数学(十四) 【p311】
(直线、平面、简单几何体) 时间：60分钟 总分：100分
一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分．每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)
1．如图所示的平面图形(阴影部分)，绕中间轴旋转一周，形成的几何体形状为( )
A．一个球体
B．一个球体中间挖去一个圆柱 C．一个圆柱
D．一个球体中间挖去一个圆锥 【答案】B
2．下列说法正确的是( )
A．空间中，两不重合的平面若有公共点，则这些点一定在一条直线上 B．空间中，三角形、四边形都一定是平面图形 C．空间中，正方体、长方体、四面体都是四棱柱
D．用一平面去截棱锥，底面与截面之间的部分所形成的多面体叫棱台
【解析】空间四边形不是平面图形，故B错；四面体不是四棱柱，故C错；平行于底面的平面去截棱台，底面和截面之间的部分所形成的多面体才叫棱台，故D错；根据公理2可知A正确．
【答案】A
3．如图，点O为正方体ABCD－A′B′C′D′的中心，点E为侧面B′BCC′的中心，点F为B′C′的中点，则空间四边形D′OEF在该正方体的面上的正投影不可能是( )
【解析】由题意知光线从上向下照射，得到C， 光线从前向后照射，得到A，
光线从左向右照射得到B. 【答案】D
4．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D为A1B1的中点，AB＝BC＝4，BB1＝1，AC＝25，则异面直线BD与AC所成的角为( )
A．30° B．45° C．60° D．90° 所成的角为∠BDM，
1
因为DM＝AC＝5，BD＝
2
12＋22＝5，BM＝
【解析】取B1C1中点M，连BM，DM，则DM∥A1C1∥AC，所以异面直线BD与AC
12＋22＝5，所以∠BDM＝，即
3
π异面直线BD与AC所成的角为60°.
【答案】C
5．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，三棱锥D1－AB1C的表面积与正方体的表面积的比为( )
A．1∶1 B．1∶2 C．1∶3 D．1∶2
【解析】设正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，则正方体ABCD－A1B1C1D1的表面积为6a2，且三棱锥D1－AB1C为各棱长均为2a的正四面体，
133
其中一个面的面积为S＝××2a×2a＝a2，所以三棱锥D1－AB1C的表面积为：
222
3
S1＝4×a2＝23a2，所以三棱锥D1－AB1C的表面积与正方体ABCD－A1B1C1D1的表面
2积之比为S1∶S2＝1∶3.
【答案】C
6．如图，四边形ABCD是边长为23的正方形，点E，F分别为边BC，CD的中点，将△ABE，△ECF，△FDA分别沿AE，EF，FA折起，使B，C，D三点重合于点P，若四面体PAEF的四个顶点在同一个球面上，则该球的表面积是( )
A．6π B．12π C．18π D．92π
【解析】因为∠APE＝∠EPF＝∠APF＝90°，所以可将四面体补成一个长方体(PA，PE，PF是从同一顶点出发的三条棱)，则四面体和补全的长方体有相同的外接球，设其半径为R，由题意知2R＝2
＝18π.
【答案】C 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将各小题的结果填在题中横线上．) 7．如图所示，梯形A1B1C1D1是水平放置的平面图形ABCD的直观图(斜二测画法)，若
（3）2＋（3）2＋（23）2＝32，故该球的表面积S＝4πR2＝4π?
32?
?2?
2
A1D1∥Oy′，A1B1∥C1D1，A1B1＝C1D1＝2，A1D1＝1，则四边形ABCD的面积是
3
________________________________________________________________________．
【解析】由直观图知，四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝2，CD＝3，因为A1D1∥Oy′，
1
所以AD⊥CD，且AD＝2，根据梯形面积公式S＝×(2＋3)×2＝5.
2
【答案】5
8．如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，若各条棱长均为2，且M为A1C1的中点，则三棱锥M－AB1C的体积是________．
【解析】∵在正三棱柱ABC－A1B1C1中，各条棱长均为2，且M为A1C1的中点，
1
∴S△AMC＝×2×2＝2，
2MB1⊥平面AMC，且B1M＝
4－1＝3，
1123∴VM－AB1C＝VB1－AMC＝×B1M×S△AMC＝×3×2＝.
333
23
【答案】 3
9．在正四面体ABCD中，AO⊥平面BCD，垂足为O，设M是线段AO上一点，且∠BMC
AM
＝90°，则的值为________．
MO
【解析】如图，连接OB，设正四面体的棱长为a，则OB＝
32
a，MB＝a，故OM＝32
61AM
a＝AO，则＝1. 62MO
【答案】1
10．已知三棱锥P－ABC中，顶点P在底面的射影为H.给出下列命题： ①若PA，PB，PC两两互相垂直，则H为△ABC的垂心；
②若PA，PB，PC两两互相垂直，且点H在△ABC的内部，则△ABC有可能为钝角三角形；
③若AC⊥BC，且H与A重合，则三棱锥P－ABC的各个面都是直角三角形； ④若AC⊥BC，且H为AB边的中点，则PA＝PB＝PC.
其中正确命题的序号是__________．(把你认为正确的序号都填上)
【解析】若PA，PB，PC两两互相垂直，容易推出AH⊥BC， 同理BH⊥AC，可得H是△ABC的垂心，①正确；
若PA，PB，PC两两互相垂直，P在底面是射影H在△ABC的内部，是三角形ABC的垂心，所以不可能是钝角三角形，②不正确；
若H与A重合则PA⊥平面ABC，所以PA⊥AC，PA⊥AB，PA⊥BC， 又BC⊥AC，所以BC⊥平面PAC，所以BC⊥PC， 故四个面都是直角三角形，③正确； 当PH⊥平面ABC时，PA2＝PH2＋HA2， PB2＝PH2＋BH2，PC2＝PH2＋CH2，
因为H是Rt△ABC斜边AB的中点，所以BH＝AH＝CH，
故PA＝PB＝PC，故④正确； 【答案】①③④
三、解答题(本大题共3小题，共50分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．) 11．(16分)如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，且∠BAP＝∠CDP＝90°. (1)证明：平面PAB⊥平面PAD.
(2)若PA＝PD＝AB＝DC，∠APD＝90°，四棱锥P－ABCD的体积为9，求四棱锥P－ABCD的侧面积．
【解析】(1)∵∠BAP＝∠CDP＝90°，∴PA⊥AB，PD⊥DC. 又∵AB∥CD，∴PD⊥AB，∴AB⊥平面PAD. 又∵AB?平面PAB，∴平面PAD⊥平面PAB. (2)设PA＝PD＝AB＝DC＝a，则AD＝BC＝2a. 过P作PE⊥AD，E为垂足， ∵PA＝PD，∴E为AD中点．
∵AB⊥平面PAD，∴AB⊥PE，PE⊥平面ABCD. 12
VP－ABCD＝×a×a×2a＝9，∴a3＝27，∴a＝3.
32四棱锥P－ABCD的侧面积为： S△PAD＋S△PAB＋S△PDC＋S△PBC 11113＝a2＋a2＋a2＋·2a·2a× 2222233＝a2＋a2 22
（3＋3）a2＝ 2
27＋93＝.
212．(16分)如图所示的几何体ABCDEF中，四边形ABCD为菱形，AF∥DE，AF⊥AD，且平面BED⊥平面ABCD.
(1)求证：平面ABF∥平面CDE； (2)求证：AF⊥CD.
【解析】(1)∵四边形ABCD为菱形，∴AB∥CD， ∵AB?平面CDE，CD?平面CDE， ∴AB∥平面CDE， 同理，AF∥平面CDE， ∵AB∩AF＝A， ∴平面ABF∥平面CDE. (2)连结AC，
∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，
∵平面BED⊥平面ABCD，平面BED∩平面ABCD＝BD， ∴AC⊥平面BDE，
∵DE?平面BDE，∴AC⊥DE， ∵AF∥DE，∴AC⊥AF， 又∵AF⊥AD，AD∩AC＝A， ∴AF⊥平面ABCD， ∵CD?平面ABCD，
∴AF⊥CD.
13．(18分)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别是AB，CC1，AD的中点．
(1)求异面直线EG与B1C所成角的大小；
(2)棱CD上是否存在点T，使AT∥平面B1EF？请证明你的结论． 【解析】(1)连接BD，B1D1，CD1.
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