北京市海淀区2009届高三一模数学（理）试题（WORD精校版）

解法二：如图，以E为原点建立空间直角坐标系E?xyz．

∵点E为线段AB的中点，AB?BC?4， ∴PE=EB=2. ∵EF?EB,EF?EP，

∴DPEB是二面角P?EF?B的平面角. ∵二面角P?EF?B的大小为60°， ∴?PEB60 . ?????6分

可得P1,0,3，C?2,4,0?.

PzEBxFyC??????则CP??1,?4,3，且平面BCFE的法向量

??n??0,0,1?.

????????CP?n15∴cosCP,n????. ??10CP?n∴PC与平面BCFE所成角的大小为arcsin15. ????????9分 103x. 2（Ⅲ）设AE?x，则x?(0,4).同（Ⅱ）可求得PD=在等腰直角三角形AEF中，EF=AE=x，

∴SBCFE=S?ABC-S?AEF= ∴VP?EFCB?1(16-x2). 213SBCFE?PD?x?(16?x2). ????11分 3122 设f?x??x?(16?x)，x??0,4?，

2则f??x??16?3x，由f??x??0得x?43. 343?x?4时，3当0?x?43时，f3?x??x(?16?2x单)调递增；当

f?x??x(?16?2x单调递减).

∴当x?4332时，四棱锥P?EFCB体积取最大值为.????14分 39

（18）（本小题共13分）

解：（Ⅰ）3名志愿者每人任选一天参加社区服务，共有5种不同的结果，这些结果出现的可能性都相等.

???????????????1分

设“3名志愿者恰好连续3天参加社区服务工作”为事件A，则该事件共包括3A3种不同的结果.

????????????????3分

所以，

33A318. ????5分 P?A??3?125533 答：3名志愿者恰好连续3天参加社区服务工作的概率为

18. ???????????6分 125（Ⅱ）解法1：随机变量?的可能取值为0，1，2，3. ?????7分

?C??27， P???1??CC?C??54，

P???0??125?C??C?125C?C?C36P???2???125?C??C??8. ????????????11分

P???3???C?1252342313145224325231242324，

5134235随机变量?的分布列为：

? P

0 1 2 3

27 12554 12536 1258 125 ???????????????13分

解法2：每名志愿者在10月1日参加社区服务的概率均为

1C42P?2?. ????????????7分

C55则三名志愿者在10月1日参加社区服务的人数?~B(3,).

i2i33?iP???i??C3()()5525，

i?0,1,2,3. ???????????????11分

随机变量?的分布列为：

? P

0 1 2 3

27 12554 12536 1258 125 ????13分 （19）（本小题共14分） 解：（Ⅰ）如图，由题意得，2b?2c?22.

?b?c?2，a?2.

? 所求的椭圆方程为

x2y2??1. ???????????????3分 42（Ⅱ）由（Ⅰ）知，0），D（2，0）. ???????????????C（?2，4分

由题意可设CM：y?k(x?2)，P（x1，y1）.

?MD?CD，?M（2，4k）. ???????????????5分 由

?x2y2?1，??2?4?y?k(x?2)?222y整理

APCF1BOM得:(1?2k)x?8kx?8k?4?0.

2F2Dx8k2?4 ??2x1?，

1?2k22?4k2. ?x1?21?2k?????7分

?

y1?k(x1?2)?4k，

1?2k22?4k24kP(,). ???????????????8分 1?2k21?2k2?????????2?4k24k4(1?2k2)?4k???4. ????9分 ?OM?OP?2?2221?2k1?2k1?2k????????? 即OM?OP为定值.

（Ⅲ）设Q(x0,0)，则x0??2.

若以MP为直径的圆恒过DP，MQ的交点，则MQ?DP，

??????????MQ?DP?0恒成立.

????10分

?????由（Ⅱ）可知QM?(2?x0,4k)，

?????8k24kDP?(,). ????????????12分

1?2k21?2k2??????????8k24k?4k??0. ?QM?DP?(2?x0)?221?2k1?2k8k2即x0?0恒成立. 1?2k2?x0?0.

使得以MP为直径的圆恒过直线DP，MQ的交?存在Q(0,0点. ???????????14分

（20）（本小题共13分）

解：（Ⅰ）由数列?tn?的定义可知:t1?b1?5，

t2?b2?4，

t3?t2?a3?b3?8， Sab?a1?a2?a3?t3?20．

?????????????4分 （Ⅱ）证法一：

由Sab?17得t4?Sab??a1?a2?a3?a4??5．

?????????????5分 而

t1?b1?6，

t2?t1?a2?b2?5，

t3?t2?a3?b3?x?2，

?????????????6分

当t3?a4，即x?2时，有t4?b4?y，则y?5；

当t3?a4，即x?2时，有t4?t3?a4?b4?x?2?y，则y?7?x?7?2?5，