2009—2010学年第二学期《计算方法》期末试卷A答案
一、填空题（共5小题，每小题4分，共计20分）
1． 下列设x*=0.03000为x=0.0300211的近似值，则x*的有效数字的位数是：四位.
?124???2．已知A=?22?2?，则A1=7，A?=7. ?321???3．已知x0?0,x1?1,x2?2,x3?3,f0?0,f1?1.1,f2?2.5,f3?4，则差商
f[x0,x1,x2,x3]?-1/30. 4．用二分法求f(x)?2x3?5x?1?0在[1,3]内的实根时，进行一步后根所在的区间为[1,2]，进行二步后根所在的区间为[1.5,2]
5．为避免两近似数相减需对公式作等价变形，如下面公式当x(>0)很大时，该变为 x?1?x?1. x?1?x二、用牛顿法求方程：f(x)?x2?2x?3.1，在[2.5,3.5]内根的近似值，准确到三位有效数字
解：牛顿迭代法可以写成
22f(xn)xn?2xn?3.1xn?3.1 xn?1?xn? --------------7分 ?xn??f?(xn)2xn?22xn?2取初值为：x0?3，则用牛顿法迭代可得：
x1?12.1/4=3.025
x2?3.0248
x3?3.02488 ------------------------------6分
前四位已经不再改变，故近似值准确到三位有效数字为：3.02 -------2分
2. 用Doolittle法的紧凑格式求解矩阵方程：AX?B，其中
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?1??122????? A??213?，B??1?
?511???4?????解：用Doolittle分解矩阵A?LU
?122??122??122??122?????????A??213???213???2?3?1???2?3?1?
?511??511??53?6??531?????????那么矩阵
?100??122?????L??210?， U??0?3?1? -------------------------------------------8分
?00?6??531?????令Y?UX?[y1,y2,y3]T，解 LY?B可得
Y?[1,?1,?6]T ------------------4分 解方程：UX?Y，可得
X?[?1,0,1]T ------------------3分
3. 用最小二乘法求拟合函数y?S(x)?与下列数据相拟合， 1使其
a?bxxi 1 3 5 8 10 0.25 0.20 0.10 0.10 0.08 yi
解：对所给数据做如下处理 xi 1 3 5 8 10 4 5 10 10 12.5 yi?1 对这组新数据用函数 Y?a?bx ----------------------5分 来拟合
下面我们确定系数a,b使
I(a,b)??(a?bxi?Yi)2
i?15达到最小，为此我们只需
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?I(a,b)?0 ?a?I(a,b)?0 ?b这样我们得到方程组
?(a?bx?Y)?0
iii?155?(a?bx?Y)xiii?1i?0
整理可得
5a?b?xi??Yi
i?1i?155a?xi?b?x??Yixi ---------------------10分
2ii?1i?1i?1555带入各个数据可得 5a?27b?41.5 27a?199b?274 解得 a=3.23
b=0.94 ------------------5分
4. 已知函数y?f(x)的函数表用拉格朗日插值多项式求f(2.5)的近似值．
０ １ ２ ２ ３ ５ ５ ９ xi f(xi)
解：分别建立拉格朗日基函数
l0?(x?x1)(x?x2)(x?x3)(x?2)(x?3)(x?5)?
(x0?x1)(x0?x2)(x0?x3)(0?2)(0?3)(0?5)(x?x0)(x?x2)(x?x3)(x?0)(x?3)(x?5)?
(x1?x0)(x1?x2)(x1?x3)(2?0)(2?3)(2?5)(x?x0)(x?x1)(x?x3)(x?0)(x?2)(x?5)?
(x2?x0)(x2?x1)(x2?x3)(3?0)(3?2)(3?5)l1?l2? 第3页 共5页
l3?(x?x0)(x?x1)(x?x2)(x?0)(x?2)(x?3) ------------------------8分 ?(x3?x0)(x3?x1)(x3?x2)(5?0)(5?2)(5?3)那么拉格朗日插值函数为
L3??f(xi)li?l0?2l1?5l2?9l3 ----------------------------2分
i?03那么f(2.5)的近似值为
L3(2.5)?l0?2l1?5l2?9l3
?(2.5?2)(2.5?3)(2.5?5)(2.5?0)(2.5?3)(2.5?5)(2.5?0)(2.5?2)(2.5?5)?2?5
(0?2)(0?3)(0?5)(2?0)(2?3)(2?5)(3?0)(3?2)(3?5)(2.?50)(2.?52)?(2.5
(5?0)(?52)?(53)3) ?9= -0.02083+1.04167+2.60417-0.1875=3.4375 ----------------------------5分
5. 设
I(f)??f(x)dx，?11I2(f)?af(?1)?bf(0)?cf(1)，
I(f)?I2(f)
确定求积公式中的待定参数，使其代数精度尽量高，并指出其代数精度的次数。
解：积分公式
?1?1f(x)dx?af(?1)?bf(0)?cf(1)
令f(x)?1 带入得
a?b?c?1
令f(x)?x带入得
?a?c?0
令f(x)?x带入可得
2a?c?2/3 ---------------------6分
由以上三式我们可得待定系数为：
a?b?c?1/3 ------------------5分
11把它带入积分公式可得：?f(x)dx??f(?1)?f(0)?f(1)?
?1313令f(x)?x带入可得：0???1?0?1?，等式成立。
3124令f(x)?x带入可得：?，等式不成了，所以代数精确度为3. ------5分
53
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