2a22ab?bc?ad??ac??21??ab??B?C?AC???? ??????22b?bd???10??cd??2ab?ad?bc?那么
；；；
整理得，
；（矛盾），
故与不合同．
4. 合同矩阵未必相似． 例 取
， ，
故与合同．又，则与不相似．
5. 可逆，则有与相似，但反之不真． 例
，
显然，有与相似，而不存在逆矩阵．
1.2 多项式中的反例
多项式是代数学中最基本的对象之一，在进一步学习其他数学科目时也能遇到，本章主要讨论数域上的一元多项式，并举出有关反例．
1．定理 如果，那么就能整的组合，即
f(x)(u1(x)g1(x)?u2(x)g2(x)???un(x)gn(x))． 反之不真．即能整除的组合，未必能整除每一个 ．
例 令 而 ，
，
显然 f(x)(u1(x)g1(x)?u2(x)g2(x))，
但 ．
定义1.5 数域上次数的多项式称为域上的不可约多项式，如果它不能表示成数域上的两个次数比的次数低的多项式的乘积．
2．不可约多项式，则有或．
是不可约多项式的限制是有必要的，否则即可举出反例： 例 令 p(x)?2x?x,f(x)?显然有 但 ，．
定义1.6 不可约多项式称为多项式的重因式，如果，而． 3．若不可约多项式是的重因式（），则是的重因式． 反之不真．
例 令 则
是的2重因式，但不是的3重因式，事实，就不是的重因式．
定义1.7 如果一个非零的整系数多项式g(x)?bnxn?bn?1xn?1???b0的系数没有异于的公因子，也就是说，它们是互素的，它就称为一个本原多项式．
4．本原多项式不一定是不可约的． 例 是本原多项式，但,是可约的．
5．设，是整系数多项式，且是本原的，若，其中是有理系数多项式，则一定是整系数的．
我们说，限制为本原的条件不可少，否则就可能有不是整系数的． 例 取 而 那么
，
．
x1x,g(?x)?6．爱森斯坦判别法：当f(x)?anxn?an?1xn?1???a0是一个整系数多项式，存在一个素数使得
ⅰ）; ⅱ）
ⅲ）．
那么在有理数域上是不可约的．
但是当找不到这样的素数，我们能不能就说是可约的．答案是不能的，如有反例． 例 令
，
对来说找不到满足条件的素数，但是可约，不可约．
1.3 线性空间中的反例
线性相关性
定义1.5 线性空间中向量称为线性相关，如果数域中有个不全为零的数，使
．
1. 不能由线性表示，是否一定线性无关？ 例 ，，
明显的是不能由线性表出，然而线性相关．
2. 若线性无关，则其中任意两个不同的向量必定线性无关，反 之如何？即两两线性无关，是否全部线性无关？
例 ，，，
这里任意两向量线性无关．可是，，即线性相关． 所以，两两线性无关，不一定全部线性无关．
子空间
3. 子空间的直和都是和，而子空间的和未必是直和． 例 ，是实数域．
，．
显然
对任意的，
(x,y,z)?(x,y,0)?(0,0,z)?(x,0,0)?(0,y,z)
只要，就是两种不同的表示方法．所以，不是直和．
1.4 线性变换中的反例
1. 线性变换把线性相关的向量组变为线性相关的向量组，但反之不真． 例 变换就把线性无关的向量组变为线性相关的向量组． 2. 线性变换的乘法不满足交换律．
例 在实数域上的线性空间中，线性变换
的乘积，，而一般说来．为单位变换（恒等变换）
3. 线性变换乘积的指数法则不成立，即一般来说，
例 线性变换
??x1,x2,x3??(x12,x2?x3,x32)，?=?x1,x2,x3??(2x1?x2,x2?x3,x1)
取，则
????????=?1,0,1???(2,1,1)?(4,2,1)，
??????????=?4,2,1???(6,3,4)?(36,7,16)；
?2?2?????2?2=?1,0,1???2(3,2,2)?(81,8,16)；
即成立．
4. 相似矩阵有相同的特征多项式，但反之不真． 例
， ，
即有相同的特征的多项式，可是与不相似，这是因为 这就是说，只能与相似．
定义1.6 设是数域上线性空间的线性变换，是的子空间．如果中的向量在下的像仍在中，我们就称是的不变子空间，简称子空间
5. ，是线性空间的线性变换．若，则，都是子空 间，同样，是子空间,反之不真．
例 是数域
2而
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