第三章 解析几何
专题14 圆锥曲线中的探索性问题
【压轴综述】
纵观近几年的高考试题，高考对圆锥曲线的考查，一般设置一大一小两道题目，主要考查以下几个方面：一是考查椭圆、双曲线、抛物线的定义，与椭圆的焦点三角形结合，解决椭圆、三角形等相关问题；二是考查圆锥曲线的标准方程，结合基本量之间的关系，利用待定系数法求解；三是考查圆锥曲线的几何性质，小题较多地考查椭圆、双曲线的几何性质；四是考查直线与椭圆、抛物线的位置关系问题，综合性较强，往往与向量结合，涉及方程组联立，根的判别式、根与系数的关系、弦长问题、不等式、范围、最值、定值、定点、定直线、存在性和探索性问题等.
本专题在分析研究近几年高考题及各地模拟题的基础上，重点说明求解存在性和探索性问题等. 1. 探究性问题求解的思路及策略
(1)思路：先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确，则存在；若结论不正确，则不存在． (2)策略：①当条件和结论不唯一时要分类讨论；
②当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件．
在这个解题思路指导下解决探索性问题与解决具有明确结论的问题没有什么差别． 2.解决存在性问题的一些技巧：
（1）特殊值（点）法：对于一些复杂的题目，可通过其中的特殊情况，解得所求要素的必要条件，然后再证明求得的要素也使得其它情况均成立.
（2）核心变量的选取：因为解决存在性问题的核心在于求出未知要素，所以通常以该要素作为核心变量，其余变量作为辅助变量，必要的时候消去. （3）核心变量的求法：
①直接法：利用条件与辅助变量直接表示出所求要素，并进行求解
②间接法：若无法直接求出要素，则可将核心变量参与到条件中，列出关于该变量与辅助变量的方程（组），运用方程思想求解.
【压轴典例】
x2y2例1.（2019·湖北高三开学考试（文））设O为坐标原点，动点M在椭圆E:??1上，过点M作x42轴的垂线，垂足为N，点P满足NP?(1)求点P的轨迹方程；
uuuvuuuuv2NM.
(2)设A(1,0)，在x轴上是否存在一定点B，使BP?2AP总成立？若存在，求出B点坐标；若不存在，说明理由.
【答案】(1) x?y?4； (2) 存在点B?4,0?满足条件.
22【解析】
（1）设P?x,y?，M?x1,y1?，则N?x1,0?
x12y12?1…① QM在椭圆E上 ??42?x1?xx?x?uuuvuuuuv1??22由NP?2NM知：?，即：?2，代入①得：x?y?4
y??y?2y1?y1?2?即点P的轨迹方程为：x?y?4…② （2）假设存在点B?m,0?满足条件，设P?x,y? 由BP?2AP得：2222?x?m?2?y2?22?x?1?2?y2 即：3x?3y??2m?8?x?m?4
?2m?8?0此方程与(1)中②表示同一方程，故：?2，解得：m?4
m?4?12??存在点B?4,0?满足条件
例2.（江西省新余市第四中学2019届10月月考）已知为椭圆在上，且
轴.
的右焦点，点
（1）求的方程； （2）过的直线交于
两点，交直线
于点．判定直线
的斜率是否构成等差数列？请说
明理由. 【答案】(1) 【解析】 (Ⅰ) 因为点
在上，且
轴，所以，
，所以
，
，
. 的方程为
．
．
，
．
．
． ．
；(2) 直线
的斜率成等差数列
设椭圆左焦点为，则
中，
所以又
故椭圆的方程为(Ⅱ) 由题意可设直线令由
得，的坐标为
得，
设记直线从而因为直线所以
，，则有的斜率分别为，
，
，所以
，
，…①．
．
，
的方程为
…②．
①代入②得，
又故直线
，所以，
的斜率成等差数列
的离心
例3.（广东省华南师范大学附属中学2019届高三上第二次月考）已知椭圆
率为，且点在椭圆上．
（1）求椭圆的方程； （2）过点点，记直线【答案】（1）【解析】 （1）因为椭圆
的离心率为，
、
任作一条直线，与椭圆交于不同于点的，两点，与直线、
的斜率分别为、、．试探究；（2）见解析
与的关系，并证明你的结论．
交于
所以因为因为点
， ，所以在椭圆上，
．
．
，
．故可设椭圆的方程为：
，
所以将其代入椭圆的方程得所以椭圆的方程为
（2）依题意，直线不可能与轴垂直，故可设直线的方程为：即将
，代入方程
，
为与椭圆的两个交点．
化简得： ．
所以所以
．
，
．
又由，解得，，
即点的坐标为因此，
与的关系为：
，所以
.
．
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