（1）求椭圆C的标准方程；
（2）已知不经过点P（0，2）的直线l：x?my?n?m?0,n?R?交椭圆C于A，B两点，M在AB上满足
uuuur1uuuruuurPM?PA?PB且AB?2PM，问直线是否过定点，若过求定点坐标；若不过，请说明理由.
2??x2y2【答案】（1）??1（2）直线l恒过定点(0，?1)，详见解析
124【解析】
?c6，??a3??（1）由题意得?b?2，解得a?23，b?2，
2?2a?b?c2，???x2y2所以椭圆C的标准方程为??1．
124（2）设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
uuuruuurP(0，2)又，所以PA?(x1，y1?2)，PB?(x2，y2?2)，
uuuur1uuuruuurPM?(PA?PB)，所以M为AB的中点． 因为M在AB上满足
2又|AB|?2|PM|，即|MA|?|MB|?|MP|， 所以线段AB为△PAB外接圆的直径， uuuruuur即PAgPB?0，
所以x1x2?(y1?2)(y2?2)?0． 又A，B在直线l上，
所以(my1?n)(my2?n)?(y1?2)(y2?2)?0， 即(m2?1)y1y2?(mn?2)(y1?y2)?n2?4?0，(?)
?x2y2?1，??联立?12消x得(m2?3)y2?2mny?n2?12?0， 4?x?my?n，?因为直线l与椭圆C交于不同的A，B两点，
所以??4m2n2?4(m2?3)(n2?12)?0， 即n2?4m2?12，
2mn?y?y??，12??m2?3由韦达定理得?代入（*）中，得n2?mn?2m2?0， 2?yy?n?12，12?m2?3?解得n??2m或n?m，
所以直线l：x?my?2m?m(y?2)或x?my?m?m(y?1)， ?1)或(0，2)（舍去）所以直线l过定点(0，， ?1)． 综上所述：直线l恒过定点(0，4．(2018届上海市徐汇区二模)如图，重合的相异两点，设直线(1)求(2)若直线(3)设直线
的值； 过点
，求证：
是椭圆长轴的两个端点，.
是椭圆上与均不
的斜率分别是
；
)，试探究直线
与直线
的交点是否落在某条定直
与轴的交点为(为常数且
线上？若是，请求出该定直线的方程；若不是，请说明理由．
【答案】（1）【解析】 (1)设所以
，由于
，
，
（2）见解析（3）落在定直线
上
因为所以
在椭圆上，于是
.
，即，
(2)设直线，，由
得于是
，
，
．
(3)由于直线联立直线
与轴的交点为
与椭圆
，
于是因为直线两式相除，可知
，直线
，
，于是
，
的方程，可得
，
于是
，所以
，即直线
与直线
的交点落在定直线
是椭圆
上．
上的一点，
5.(2018届辽宁省部分重点中学协作体模拟)已知是该椭圆的左右焦点，且（1）求椭圆的方程； （2）设点
是椭圆上与坐标原点不共线的两点，直线
.
的斜率分别为，且.
试探究
【答案】(1) 椭圆【解析】 （1）由题意，所以所以
，
是否为定值，若是，求出定值，若不是，说明理由.
;(2)见解析.
，根据椭圆定义 .
，
因此，椭圆
（用待定系数法，列方程组求解同样给分） （2）设直线
消去y得
，
，由
因为即
，所以
，解得
所以，
x2y26．（2017·湖南高考模拟（理））已知椭圆C：2?2?1(a?b?0)的一个焦点与上下顶点构成直角三角
ab形，以椭圆C的长轴长为直径的圆与直线x?y?2?0相切．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设过椭圆右焦点且不重合于x轴的动直线与椭圆C相交于A、B两点，探究在x轴上是否存在定点E，
uuuruuur使得EA?EB为定值？若存在，试求出定值和点E的坐标；若不存在，请说明理由． ?5?x2【答案】（1）?y2?1；（2）定点为?,0?.
2?4?【解析】
相关推荐：
loading