b?c??b?1?0?0?2??（1）由题意知，?a?，解得?a?2 2?c?1?222???b?c?ax2则椭圆C的方程是?y2?1
2（2）①当直线的斜率存在时，设直线y?k?x?1??k?0?
?x22??y?122222联立?2，得?1?2k?x?4kx?2k?2?0,??8k?8?0
?y?k?x?1??4k22k2?2所以xA?xB? ,xAxB?221?2k1?2k假设x轴上存在定点E?x0,0?，使得EA?EB为定值.
uuuvuuuvuuuvuuuv2所以EA?EB??xA?x0,yA???xB?x0,yB??xAxB?x0?xA?xB??x0?yAyB
2?xAxB?x0?x0?k2?xA?1??xB?1?
?1?k2xAxB?x0?k2?????xA2?xB??x0?k2
2x??202?4x0?1k2?x0?2??1?2k2?
要使EA?EB为定值，则EA?EB的值与k无关， 所以2x0?4x0?1?2x0?2 解得x0?2uuuvuuuvuuuvuuuv?2?5， 4uuuvuuuv7?5?此时EA?EB??为定值，定点为?,0?
16?4?uvuuuv?2??2?uu71,,B1,?EA?EB??②当直线的斜率不存在时，A?，也成立 ????2???216????所以，综上所述，在x轴上存在定点E?uuuvuuuv7?5?,0?，使得EA?EB为定值?
16?4?7．（2016·湖南高三月考（文））已知直线l：4x＋3y＋10＝0，半径为2的圆C与l相切，圆心C在x轴上
且在直线l的右上方． (1)求圆C的方程；
(2)过点M(1，0)的直线与圆C交于A，B两点(A在x轴上方)，问在x轴正半轴上是否存在定点N，使得x轴平分∠ANB？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）x?y?4；（2）存在，且N(4,0)． 【解析】
(1)设圆心C(a，0)?a??22??5?4a?10，则?2?a?0或a＝－5(舍)，所以圆C：x2＋y2＝4. ?2?5(2)当直线AB⊥x轴时，x轴平分∠ANB，当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝k(x－1)，N(t，
22??x?y?42k2k2?42222
0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由?得(k＋1)x－2kx＋k－4＝0，所以x1?x2?2，，x1x2?2y?kx?1??k?1k?1??若x轴平分∠ANB，则kAN??kBN?k?x1?1?k?x2?1?y1y2??0???0?2x1x2－(t＋1)(x1＋x1?tx2?tx1?tx2?t2k2?t?1?x2)＋2t＝0???2t?0?t?4，所以当点N为(4，0)时，能使得∠ANM＝∠BNM总成22k?1k?1立．
8.(河北省衡水中学2019届高三上期中)已知椭圆C：椭圆的左、右顶点，点(1)求椭圆的方程；
(2)设直线经过点且与交于不同的两点
，试问：在x轴上是否存在点,使得直线
与直线
的
满足
.
的离心率为，
分别为
2?k2?4?斜率的和为定值？若存在，求出点的坐标及定值，若不存在，请说明理由. 【答案】（1）【解析】 （1）依题意，
，P（2，-1），所以
=（-a-2,1）·(a-2,1)=5-a,
2
； （2）Q（2，0），1 .
由最终结果.
=1，a>0,得a=2,因为e=，所以c=，b=a-c=1，结果为
222
，进而得到
故椭圆C的方程为.
（2）假设存在满足条件的点Q（t，0），当直线l与x轴垂直时，它与椭圆只有一个交点，不满足题意， 因此直线l的斜率k存在，设l：y+1=k（x-2）， 由
消y，得（1+4k）x-（16k+8k）x+16k+16k=0，
2
2
2
2
△=-64k>0,所以k<0, 设
，则x1+x2=
,x1x2=
,
因为=
==，
为定值，则只有t=2，此时
=1.
所以要使对任意满足条件的k，
故在x轴上存在点Q（2，0）使得直线QM与直线QN的斜率的和为定值1. 9．(陕西省汉中市汉中中学2019届第三次月考)已知椭圆平行于坐标轴，与交于、两点，线段（1）证明:直线（2）若过点能，说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）四边形平行四边形． 【解析】 （1）设直线将故即
（2）四边形∵直线过点
代入
，
，所是命题得证． 能为平行四边形．
，∴不过原点且与C有两个交点的充要条件是
且
．
，得
，于是直线
的斜率
，
，
，
， ，
，
能为平行四边形，当的斜率为
或
时，四边形
为
的中点为．
，直线不过原点且不
的斜率与的斜率的乘积为定值； ，延长线段
与交于点，四边形
能否为平行四边形？若能，求的斜率；若不
由（1）得的方程为．设点的横坐标为．
由，得，即．
将点因此即∵
，
的坐标代入直线的方程得
，四边形．于是
，
或，2，
时，四边形
，
与线段
互相平分， ．
为平行四边形当且仅当线段
．解得
，
∴当的斜率为为平行四边形．
10．（2019·黑龙江高三月考（文））已知圆C经过A(?2,0),B(1,3)两点，且圆心C在直线l1:y?x上．
（1）求圆C的方程；
（2）已知过点P(1,2)的直线l2与圆C相交截得的弦长为23，求直线l2的方程；
（3）已知点M(1,1)，在平面内是否存在异于点M的定点N，对于圆C上的任意动点Q，都有值?若存在求出定点N的坐标，若不存在说明理由．
【答案】（1）x?y?4；（2）x?1或3x?4y?5?0；（3）见解析 【解析】
（1）因为圆C经过A(?2,0),B(1,3)两点，且圆心C在直线l1:y?x上 设圆C：x2?y2?Dx?Ey?F?0
所以(?2)?2D?F?0，12?(3)2?D?E?F?0，?2QN为定QM22DE?? 22
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