第20讲 数列的综合应用
1.(2019苏州期中,12)已知数列{an}的通项公式为an=5n+1,数列{bn}的通项公式为bn=n2,若将数列{an},{bn}中相同的项按从小到大的顺序排列后看作数列{cn},则c6的值为 .
2.(2018江苏常州模拟)各项均为正数的等比数列{an}中,若a2a3a4=a2+a3+a4,则a3的最小值为 .
3.(2019无锡期中,10)《九章算术》中研究盈不足问题时,有一道题是“今有垣厚五尺,两鼠对穿,大鼠日一尺,小鼠也日一尺,大鼠日自倍,小鼠日自半,问何日相逢?”题意为“有厚墙五尺,两只老鼠从墙的两边分别打洞穿墙,大老鼠第一天打一尺,以后每天加倍;小老鼠第一天也打一尺,以后每天减半,问几天后两鼠相遇?”一古城墙厚33尺,大、小老鼠按上述方式打洞,相遇时是第 天.
4.(2019扬州中学3月检测,10)已知数列{an}为正项的递增等比数列,a1+a5=82,a2·a4=81,记数列{??}??
2
的前n项和为Tn,则使不等式2 019×|????-1|>1成立的最大正整数n的值是 .
3
1
5.(2018徐州铜山高三第三次模拟)设Sn是等比数列{an}的前n项和,S3,S9,S6成等差数列,且a2+a5=2am,则m= .
6.(2019南师大附中期中,13)已知实数x,y,z∈[0,4],如果x2,y2,z2是公差为2的等差数列,则|x-y|+|y-z|的最小值为 .
7.(2018淮海中学高三模拟)若数列{an}同时满足:①对于任意的正整数n,an+1≥an恒成立;②对于给定的正整数k,an-k+an+k=2an对于任意的正整数n(n>k)恒成立,则称数列{an}是“R(k)数列”. 2??-1,??为奇数,
(1)已知an={判断数列{an}是不是“R(2)数列”,并说明理由;
2??,??为偶数,
(2)已知数列{bn}是“R(3)数列”,且存在整数p(p>1),使得b3p-3,b3p-1,b3p+1,b3p+3成等差数列,证明:{bn}是等差数列.
答案精解精析
1.答案 256
解析 设am=bk,则有5m+1=k2,即m=
(??+1)(??-1)
5
, 因为m是正整数,所以k+1或k-1是5的整数倍,
设k+1=5t或k-1=5t(t∈N*),即k=5t-1或k=5t+1(t∈N*), 所以k=4,6,9,11,14,16,19,21,…,所以c6=162=256. 2.答案 √3
32
解析 因为a2a3a4=a2+a3+a4,所以??3=??3+a3+a3q,??3=??+q+1≥3,a3>0,则a3≥√3,当且仅当q=1时
??
1
取等号,则a3的最小值为√3. 3.答案 6
解析 设第x天相遇,
大鼠每天打洞尺数构成以1为首项,2为公比的等比数列,则x天共打洞尺数为1-2=2x-1; 小鼠每天打洞尺数构成以1为首项,2为公比的等比数列,则x天共打洞尺数为根据题意得2x-1+2-2??-1≥33, 即2x-2??-1≥32, 令f(x)=2x-2??-1=2x-2??, 当x>0时, f(x)是增函数,又f(5)=32-32<32, f(6)=64-64>32,所以相遇时是第6天. 4.答案 6
解析 设数列{an}的公比为q(q>1), 由{
??1+??5=82,??=1,
解得{1则q=3,
??5=81,??1??5=81,
2
2
1
2
1
1
1
1-()
1??
211-21-2??
=2-2??-1.
1
∴an=3n-1,
则Tn=1+3+32+…+3??-1=2×∴2 019×|3????-1|>1,
即2 019×3??>1,得3n<2 019,此时正整数n的最大值为6. 5.答案 8
112
2
2
2
1-??31-31
1=3(1-??), 3
1
解析 设等比数列{an}的公比为q,由S3,S9,S6成等差数列,得S3+S6=2S9,则
(a1+a2+a3)(2+q3)=2(a1+a2+a3)(1+q3+q6),a1+a2+a3≠0,则2+q3=2+2q3+2q6,q3=-2,则
113??-2
a2+a5=a2+a2q3=2a2=2am=2a2qm-2,4=(-2),3=2,m=8.
1
??-2
1
6.答案 4-2√3
解析 实数x,y,z∈[0,4],x2,y2,z2是公差为2的等差数列,则0≤x≤y≤z≤4,则|x-y|+|y-z|=z-x=
??2-??2??+??
=4
??+??
=4??+√??2-4≥44+2√3=4-2√3.
∴|x-y|+|y-z|的最小值为4-2√3. 7.解析 (1)数列{an}是“R(2)数列”.
当n为奇数时,an+1-an=2(n+1)-(2n-1)=3>0,所以an+1≥an. an-2+an+2=2(n-2)-1+2(n+2)-1=2(2n-1)=2an;
当n为偶数时,an+1-an=2(n+1)-1-2n=1>0,所以an+1≥an. an-2+an+2=2(n-2)+2(n+2)=4n=2an. 所以,数列{an}是“R(2)数列”. (2)证明:由题意可得bn-3+bn+3=2bn, 则数列b1,b4,b7,…是等差数列,设其公差为d1, 数列b2,b5,b8,…是等差数列,设其公差为d2, 数列b3,b6,b9,…是等差数列,设其公差为d3. 因为bn≤bn+1,所以b3n+1≤b3n+2≤b3n+4, 所以b1+nd1≤b2+nd2≤b1+(n+1)d1,
所以n(d2-d1)≥b1-b2①,n(d2-d1)≤b1-b2+d1②. 若d2-d1<0,则n>若d2-d1>0,则n>
??1-??2??2-??1
时,①不成立; 时,②不成立;
??1-??2+??1??2-??1
若d2-d1=0,则①和②都成立,所以d1=d2.
同理得:d1=d3,所以d1=d2=d3,记d1=d2=d3=d. 设b3p-1-b3p-3=b3p+1-b3p-1=b3p+3-b3p+1=λ,
则b3n-1-b3n-2=b3p-1+(n-p)d-[b3p+1+(n-p-1)d]=b3p-1-b3p+1+d=d-λ. 同理可得:b3n-b3n-1=b3n+1-b3n=d-λ,所以bn+1-bn=d-λ, 所以{bn}是等差数列.
相关推荐：
loading