第六篇 平面向量与复数
专题6.04 复 数
【考试要求】
1.通过方程的解，认识复数；
2.理解复数的代数表示及其几何意义，理解两个复数相等的含义； 3.掌握复数代数表示式的四则运算，了解复数加、减运算的几何意义. 【知识梳理】 1.复数的有关概念
内容 复数的概念 意义 备注 形如a＋bi(a∈R，b∈R)的数叫复数，若b＝0，则a＋bi为实数；若a＝0其中实部为a，虚部为b a＋bi＝c＋di?a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R) 且b≠0，则a＋bi为纯虚数 复数相等 共轭复数 a＋bi与c＋di共轭?a＝c且b＝－d(a，b，c，d∈R) 建立平面直角坐标系来表示复数的平 实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，各象限内的点都表示虚数 复平面 面叫做复平面，x轴叫实轴，y轴叫虚轴 →设OZ对应的复数为z＝a＋bi，则向量→OZ的长度叫做复数z＝a＋bi的模 复数的模 |z|＝|a＋bi|＝a2＋b2 2.复数的几何意义 复数集C和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的，复数集C与复平面内所有以原点O为起点的向量组成的集合也是一一对应的，即 (1)复数z＝a＋bi
复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R).
→
平面向量OZ.
(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)3.复数的运算
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则 (1)加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i； (2)减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i； (3)乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；
1
(4)除法：z1z2＝a＋bi（a＋bi）（c－di）
c＋di＝（c＋di）（c－di）
＝
ac＋bd＋（bc－ad）i
c2＋d2
(c＋di≠0).
【微点提醒】 1.i的乘方具有周期性 ?in
＝?1，n＝4k，?i，n＝4k＋1，?－1，n＝4k＋2，(k∈Z).
?－i，n＝4k＋3
2.复数的模与共轭复数的关系
－
－
z·z＝|z|2＝|z|2. 3.两个注意点
(1)两个虚数不能比较大小；
(2)利用复数相等a＋bi＝c＋di列方程时，注意a，b，c，d∈R的前提条件. 【疑误辨析】
1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)中，虚部为bi.( )
(2)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小.( ) (3)原点是实轴与虚轴的交点.( )
(4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模.(【答案】 (1)× (2)× (3)√ (4)√
【解析】 (1)虚部为b；(2)虚数不可以比较大小. 【教材衍化】
2.(选修2－2P106A2改编)若复数(a2－3a＋2)＋(a－1)i是纯虚数，则实数a的值为( ) A.1 B.2 C.1或2 D.－1
【答案】 B
??a2－3a＋2＝0，【解析】 依题意，有??解得a＝2，故选B.
?a－1≠0，
2
3.(选修2－2P116A1改编)复数?5
?2－i??的共轭复数是( )
A.2－i B.2＋i
C.3－4i
D.3＋4i
【答案】 C
) 2
22
?5??5（2＋i）?
【解析】 ??＝??＝(2＋i)2＝3＋4i，所以其共轭复数是3－4i. 2－i???（2－i）（2＋i）?
【真题体验】
3＋i4.(2017·全国Ⅱ卷)＝( )
1＋iA.1＋2i 【答案】 D 【解析】
3＋i（3＋i）（1－i）
＝＝2－i. 1＋i（1＋i）（1－i）
1
的共轭复数对应的点位于( ) 1－i
B.第二象限 D.第四象限
B.1－2i
C.2＋i
D.2－i
5.(2018·北京卷)在复平面内，复数A.第一象限 C.第三象限 【答案】 D 【解析】
1＋i1111111
，－?，位＝＝＋i，其共轭复数为－i，∴复数的共轭复数对应的点的坐标为?2??2222221－i1－i1
于第四象限，故选D.
z＋2
6.(2019·青岛一模)已知复数z＝－1＋i(i是虚数单位)，则2＝________.
z＋z【答案】 －1
【解析】 ∵z＝－1＋i，则z2＝－2i，
－2
∴＝＝＝＝－1. z2＋z－1－i（－1－i）（－1＋i）2【考点聚焦】
考点一 复数的相关概念
2－i
【例1】 (1)(2019·上海崇明区质检)已知z＝，则复数z的虚部为( )
iA.－i
B.2
C.－2i
D.－2
－
z＋21＋i（1＋i）（－1＋i）
(2)已知在复平面内，复数z对应的点是Z(1，－2)，则复数z的共轭复数z＝( ) A.2－i C.1－2i
B.2＋i D.1＋2i
1＋i
为纯虚数，则实数a的值为( ) 1＋ai
3
(3)(2019·大连一模)若复数z＝
A.1 B.0
1C.－
2
D.－1
【答案】 (1)D (2)D (3)D
2－i（2－i）（－i）
【解析】 (1)∵z＝＝＝－1－2i，则复数z的虚部为－2.故选D.
ii·（－i）(2)∵复数z对应的点是Z(1，－2)，∴z＝1－2i， ∴复数z的共轭复数z＝1＋2i，故选D. (3)设z＝bi，b∈R且b≠0， 则
＝bi，得到1＋i＝－ab＋bi，
1＋ai1＋i
－
∴1＝－ab，且1＝b， 解得a＝－1，故选D. 【规律方法】
1.复数的分类及对应点的位置都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可.
2.解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部.
【训练1】 (1)已知复数z满足：(2＋i)z＝1－i，其中i是虚数单位，则z的共轭复数为( ) 13A.－i 551
C.－i 3
13B.＋i 551D.＋i 3
2＋ai
(2)(2019·株洲二模)设i为虚数单位，1－i＝，则实数a＝( )
1＋iA.2
【答案】 (1)B (2)C
1－i（1－i）（2－i）13－13
【解析】 (1)由(2＋i)z＝1－i，得z＝＝＝－i，∴z＝＋i.故选B.
552＋i（2＋i）（2－i）552＋ai
(2)∵1－i＝，∴2＋ai＝(1－i)(1＋i)＝2，
1＋i解得a＝0.故选C. 考点二 复数的几何意义
4
B.1 C.0 D.－1
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