z1
【例2】 (1)已知i是虚数单位，设复数z1＝1＋i，z2＝1＋2i，则在复平面内对应的点在( )
z2A.第一象限 C.第三象限
B.第二象限 D.第四象限
2
(2)(2019·北京新高考调研考试)在复平面内，复数z对应的点与对应的点关于实轴对称，则z＝( )
1－iA.1＋i C.－1＋i
【答案】 (1)D (2)D
31z11＋i（1＋i）（1－2i）31
，－?，【解析】 (1)由题可得，＝＝＝－i，对应在复平面上的点的坐标为?5??5z21＋2i（1＋2i）（1－2i）55在第四象限.
2（1＋i）2
(2)∵复数z对应的点与＝＝1＋i对应的点关于实轴对称，∴z＝1－i.故选D.
1－i（1－i）（1＋i）【规律方法】
1.复数z＝a＋bi(a，b∈R)
Z(a，b)
→
OZ＝(a，b).
B.－1－i D.1－i
2.由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观.
1
【训练2】 (1)设i是虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于( )
1＋iA.第一象限 C.第三象限
B.第二象限 D.第四象限
4→
(2)如图，若向量OZ对应的复数为z，则z＋表示的复数为( )
z
A.1＋3i C.3－i
【答案】 (1)D (2)D 【解析】 (1)
1111
，－?，在第四象限，故选D. ＝＝－i，则复数z对应的点为?2??21＋i（1＋i）（1－i）221
1－i
B.－3－i D.3＋i
5
4（1＋i）4＋4i44
(2)由题图可得Z(1，－1)，即z＝1－i，所以z＋＝1－i＋＝1－i＋＝1－i＋＝1－
z21－i（1－i）（1＋i）i＋2＋2i＝3＋i.故选D. 考点三 复数的运算
【例3】 (1)(2018·全国Ⅲ卷)(1＋i)(2－i)＝( ) A.－3－i C.3－i
B.－3＋i D.3＋i
1－i
(2)(2018·全国Ⅰ卷)设z＝＋2i，则|z|＝( )
1＋iA.0
1B. 2
C.1
D.2
z2＋3
(3)设复数z＝1＋2i，则＝( )
z－1A.2i
6
B.－2i C.2 D.－2
?1＋i?＋2＋3i＝________. (4)???1－i?3－2i
【答案】 (1)D (2)C (3)C (4)－1＋i
【解析】 (1)(1＋i)(2－i)＝2－i＋2i－i2＝3＋i.故选D.
1－i（1－i）21－2i－1(2)∵z＝＋2i＝＋2i＝＋2i＝i，∴|z|＝|i|＝1.故选C.
21＋i（1＋i）（1－i）z2＋3（1＋2i）2＋312＋4i＋4i2＋34i
(3)＝＝＝＝2.故选C.
2i2iz－11＋2i－1
6
?（1＋i）2?（2＋3i）（3＋2i）
(4)原式＝? ?＋222??（3）＋（2）
＝i6＋
6＋2i＋3i－6
＝－1＋i.
5
【规律方法】 复数代数形式运算问题的常见类型及解题策略
(1)复数的乘法.复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可.
(2)复数的除法.除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题时要注意把i的幂写成最简形式. (3)复数的运算与复数概念的综合题.先利用复数的运算法则化简，一般化为a＋bi(a，b∈R)的形式，再结合
6
相关定义解答.
(4)复数的运算与复数几何意义的综合题.先利用复数的运算法则化简，一般化为a＋bi(a，b∈R)的形式，再结合复数的几何意义解答.
【训练3】 (1)(2018·全国Ⅱ卷)i(2＋3i)＝( ) A.3－2i C.－3－2i
B.3＋2i D.－3＋2i
1＋i(2)已知i为虚数单位，则＝( )
3－i2－iA.
5
2＋iB.
5
1－2iC.
5
1＋2iD. 5
2
(3)设z＝1＋i(i是虚数单位)，则z2－＝( )
zA.1＋3i C.－1＋3i
B.1－3i D.－1－3i
【答案】 (1)D (2)D (3)C
【解析】 (1)i(2＋3i)＝2i＋3i2＝－3＋2i，故选D. 1＋i（1＋i）（3＋i）1＋2i(2)＝＝. 53－i（3－i）（3＋i）
z2＝(1＋i)2＝1＋2i＋i2＝2i，
2（1－i）2（1－i）2（1－i）22
＝＝＝＝＝1z1＋i（1＋i）（1－i）21－i2
(3)因为z＝1＋i，所以
2
－i，则z2－＝2i－(1－i)＝－1＋3i.故选C.
z【反思与感悟】
1.复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、除及求低次方根.除法实际上是分母实数化的过程.
2.复数z＝a＋bi(a，b∈R)是由它的实部和虚部唯一确定的，两个复数相等的充要条件是把复数问题转化为实数问题的主要方法.对于一个复数z＝a＋bi(a，b∈R)，既要从整体的角度去认识它，把复数看成一个整体；又要从实部、虚部的角度分解成两部分去认识. 【易错防范】
1.判定复数是实数，仅注重虚部等于0是不够的，还需考虑它的实部是否有意义. 2.注意复数的虚部是指在a＋bi(a，b∈R)中的实数b，即虚部是一个实数. 【分层训练】
7
【基础巩固题组】(建议用时：30分钟) 一、选择题
1.已知复数(1＋2i)i＝a＋bi，a∈R，b∈R，则a＋b＝( ) A.－3 【答案】 B
【解析】 因为(1＋2i)i＝－2＋i，所以a＝－2，b＝1，则a＋b＝－1，选B. 2.(2018·浙江卷)复数A.1＋i C.－1＋i 【答案】 B
2（1＋i）2【解析】 因为＝＝＝1＋i，所以复数的共轭复数为1－i.故选B.
1－i（1－i）（1＋i）1－i21－i
2
－
B.－1 C.1 D.3
2
(i为虚数单位)的共轭复数是( ) 1－i
B.1－i D.－1－i
2（1＋i）
3.设复数z满足z＝|1－i|＋i(i为虚数单位)，则复数z＝( ) A.2－i C.1 【答案】 A
【解析】 复数z满足z＝|1－i|＋i＝2＋i，则复数z＝2－i，故选A. 4.下列各式的运算结果为纯虚数的是( ) A.i(1＋i)2 C.(1＋i)2 【答案】 C
【解析】 i(1＋i)2＝i·2i＝－2，不是纯虚数，排除A；i2(1－i)＝－(1－i)＝－1＋i，不是纯虚数，排除B；(1＋i)2＝2i，2i是纯虚数.故选C. 5.设z＝1A. 2
【答案】 B
1－i11
【解析】 因为z＝＋i＝＋i＝＋i＝＋i，所以|z|＝
2221＋i（1＋i）（1－i）
1
1＋2i
6.若a为实数，且为实数，则a＝( )
a＋i
8
－
B.2＋i D.－1－2i
B.i2(1－i) D.i(1＋i)
1
＋i(i为虚数单位)，则|z|＝( ) 1＋i
B.2 2
C.3 2
D.2
1－i
?1?＋?1?＝2. ?2??2?2
22
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