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苏教版八年级下册数学
重难点突破
知识点梳理及重点题型巩固练习
数据的收集与整理——知识讲解
【学习目标】
1.了解普查、抽样调查、总体、个体、样本、样本容量等相关概念，并能选择合适的调查方法，解决有关的现实问题；
2.在具体的问题情境中，领会普查和抽样调查各自的优缺点； 3.学会设计调查问卷并收集数据；
4.能把收集到的样本数据进行合理的分组整理，并能绘制相关的统计图表，根据统计图表，估计总体的相关特性；
5.知道三种常见的统计图以及它们的优缺点. 【要点梳理】
要点一、普查与抽样调查 1.普查与抽样调查 （1）普查
为一特定目的而对所有考察对象所做的调查叫做普查． 要点诠释：
普查又叫“全面调查”.它要求对考查范围内的所有个体一个不漏地进行准确统计. （2）抽样调查
为一特定目的而对部分考察对象所做的调查叫做抽样调查． 要点诠释：
①抽样调查是对总体中的部分个体进行调查，以样本来估计总体的情况.
②抽样调查的注意点：1.随机取样；2.取样具有代表性；3.若样本由具有明显不同特征的部分组成，应按比例从各部分抽样. （3）普查与抽样调查的优缺点
普查通过调查总体中的每个个体来收集数据，调查的结果准确，但往往花费多，工作量大；有时受客观条件的限制，无法对所有个体进行普查；有时调查具有破坏性(例如：测试一批灯泡的使用寿命或炮弹的杀伤半径等)，不能进行普查．
抽样调查通过调查样本中的每个个体来收集数据，调查范围小，花费较少，工作量较小，便于进行，但样本的抽取是否得当，直接关系到对总体的估计．为了获得较为准确的调查结果，抽样时要注意样本的代表性和广泛性. 要点诠释：
在调查实际生活中的相关问题时，要灵活处理，既要考虑问题本身的需要，又要考虑实现的可能性和所付出代价的大小. 2.调查的相关概念
总体：我们把所考察对象的全体叫做总体. 个体：把组成总体的每一个考察对象叫做个体.
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样本：从总体中所抽取的一部分个体叫做这个总体的一个样本. 样本容量：样本中个体的数目叫做样本容量（不带单位）. 要点诠释：
①“调查对象的全体”一般是指调查对象的某种数量指标的全体，如对于一个班级，如果考察的是这个班学生的身高，那么总体是指这个班学生身高的全体，不能错误地理解为学生的全体是总体．
②样本是总体的一部分，一个总体中可以有许多样本，样本能够在一定程度上反映总体. ③样本容量是一个数字，没有单位．一般地，样本容量越大，通过样本对总体的估计越准确.在实际研究中，要根据具体情况确定样本容量的大小．例如：“从5万名考生的数学成绩中抽取2000名考生的数学成绩进行分析”，样本是“2000名考生的数学成绩”，而样本容量是“2000”，不能将其误解为“2000名考生”或“2000名”．
要点二、数据的收集与整理 1.调查问卷
数据收集可以通过直接观察、测量、调查和实验等手段得到，也可以通过查阅文献资料、使用互联网等间接途径得到.
当采用调查问卷收集数据时，往往需要事先设计记录数据的表格，并用适当的方法记录.“划记法”是记录数据的常用方法，它采用画“正”字的办法，“正”字的每一划（笔画）代表一个或一次. 2.统计表和统计图
统计表：利用表格将要统计的数据填入相应的表格内，表格统计法可以很好地整理数据； 统计图：利用“条形图”、“扇形图”、“折线图”描述数据，这样做的最大优点是将表格中的数据所呈现出来的信息直观化． 3.三种统计图
（1）条形统计图：用宽度相同的“条形”的高度描述数据的变化情况；条形统计图很容易看出数据的大小，便于比较，但不能清楚地反映各部分占总体的百分比．
（2）扇形统计图：用整个圆表示统计项目的总体，每一统计项目分别用圆中不同的扇形来表示，扇形面积占圆面积的百分比与各统计项目占总体的百分比相同.从扇形图上可清楚地看出各部分在总体中所占的比例，但不能直接表示出各个项目的具体数据． 在扇形统计图中，扇形圆心角的度数=该统计项目占总体的百分比×360°.
（3）折线统计图：用折线描述数据的变化过程和趋势；折线图不但可以表示出数量的多少，而且能够清楚地反映出数据的变化走向，但不能清楚地反映数据的分布情况． 要点诠释：
①绘制扇形统计图的一般步骤：①画一个圆.②按各组成部分所占的比例算出各个扇形的圆心角的度数.③根据算得的各圆心角的度数，画出各个扇形，并注明相应的百分比.各组成部分的名称可以注在图上，也可以用图例表明.
②在实际生活中，三种统计图往往结合在一起使用，以便更好地反应实际情况. 【典型例题】
类型一、普查与抽样调查
1.下列调查，适合用普查方式的是( ). A．检查一批零件的合格率
B．了解全校七年级学生平均每周上网的次数
C．了解某旅游景点“十·一”黄金周期间进入该景点的人数
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D．了解我校某班学生的视力情况 【思路点拨】普查一般适用于小规模调查. 【答案】D.
【解析】解：显然，选项A、B、C的调查范围非常广，而且要求调查的准确程度也不是非常高，所以不宜采用普查的方式．而选项D，了解我校某班学生的视力情况，调查对象的数目不多，适合用普查方式．故选D． 【总结升华】普查得到的信息较为全面、可靠，一般在调查对象较少时采用，当个体数目多，或受客观条件限制，或调查具有破坏性时不允许普查． 举一反三：
【变式】下列统计中，能用普查方式的是（ ）
A、某厂生产的电灯使用寿命 B、全国初中生的视力情况 C、某校七年级学生的身高情况 D、“娃哈哈”产品的合格率 【答案】C.
2.下列调查适合做抽样调查的是( ). A．了解电视台某栏目的收视率
B．了解某甲型H1N1确诊病人同机乘客的健康状况 C．了解某班每个学生家庭电脑的数量 D．“神七”载人飞船发射前对重要零部件的检查 【答案】A.
【解析】解：要了解电视台某栏目的收视率，显然应采用抽样调查的方式．而对于B、D选项，因为漏掉每一个个体携带H1N1病毒者或者“神七”载人飞船有一个小零件不合格，都会出现意想不到的后果，因此需要采用普查的方式．了解某班每个学生家庭电脑的数量，范围小，工作量小，一般也采用普查的方式．故选A. 【总结升华】①在具体的问题情境中，要根据需要选择用普查还是抽样调查的方式进行调查；抽样调查得到的信息的准确度受调查对象(即样本)的数量和特点影响，故抽样时必须注意调查对象是否具有代表性和广泛性．
举一反三：
【变式】在以下的几个调查问题中：
①市场上某种食品的某种添加剂的含量是否符合国家标准； ②检测某地区空气质量；
③调查全市中学生一天的学习时间； ④检测一批灯泡的使用寿命．
你认为适合抽样调查的有 ．（选填序号） 【答案】①②③④． 解：①市场上某种食品的某种添加剂的含量是否符合国家标准适合抽样调查，故本选项正确；
②检测某地区空气质量的调查不必全面调查，大概知道就可以了，适合抽样调查，故本选项正确；③调查全市中学生一天的学习时间因为普查工作量大，适合抽样调查，故本选项正确；④检测一批灯泡的使用寿命的调查，如果普查，所有灯泡都报废，这样就失去了实际意义，故本选项正确， 故答案为：①②③④．
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3.某次考试有3000名学生参加，为了了解3000名学生的数学成绩，从中抽取了1000名学生的数学成绩进行调查统计分析，在这个问题中，有下述3种说法：①1000名考生是总体的一个样本；②3000名考生是总体；③1000名考生数学平均成绩可估计总体数学平均成绩；④每个考生的数学成绩是个体．其中正确的说法有( ). A．0种 B．1种 C．2种 D．3种
【思路点拨】总体是3000名学生的数学成绩，个体是这次考试中每名学生的数学成绩，样本是抽取的1000名学生的数学成绩，样本容量是1000. 【答案】C.
【解析】 解：①、②两个说法指的是考生而不是考生的成绩，故①、②两个说法不对，④指的是考生的成绩，故④对．③用样本的特征估计总体的特征，是抽样调查的核心，故③对． 【总结升华】总体、样本的考察对象是相同的，所不同的是范围的大小，在本题中，总体、样本都是指考生的成绩，而不是考生．
举一反三： 【变式】为了了解某市2万名学生参加中考的情况，教育部门从中抽取了600名考生的成绩进行分析，这个问题中（ ）.
A.2万考生是总体； B.每名考生是个体；
C.个体是每名考生的成绩； D.600名考生是总体的一个样本. 【答案】C.
类型二、数据的收集与整理
4.（2015?营口）雾霾天气严重影响市民的生活质量．在今年寒假期间，某校八年级一班的综合实践小组同学对“雾霾天气的主要成因”随机调查了所在城市部分市民．并对调查结果进行了整理．绘制了如图不完整的统计图表．观察分析并回答下列问题．
（1）本次被调查的市民共有多少人？ （2）分别补全条形统计图和扇形统计图，并计算图2中区域B所对应的扇形圆心角的度数； （3）若该市有100万人口，请估计持有A、B两组主要成因的市民有多少人？
组别 雾霾天气的主要成因 百分比 A 工业污染 45% B 汽车尾气排放 m C 炉烟气排放 15% D 其他（滥砍滥伐等） n 【思路点拨】（1）根据条形图和扇形图信息，得到A组人数和所占百分比，求出调查的市民的人数；
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（2）根据B组人数求出B组百分比，得到D组百分比，根据扇形圆心角的度数=百分比×360°求出扇形圆心角的度数，根据所求信息补全条形统计图和扇形统计图； （3）根据持有A、B两组主要成因的市民百分比之和求出答案． 【答案与解析】 解：（1）从条形图和扇形图可知，A组人数为90人，占45%，
∴本次被调查的市民共有：90÷45%=200人； （2）60÷200=30%，
30%×360°=108°，
区域B所对应的扇形圆心角的度数为：108°， 1﹣45%﹣30%﹣15%=10%，
D组人数为：200×10%=20人， （3）100万×（45%+30%）=75万，
∴若该市有100万人口，持有A、B两组主要成因的市民有75万人．
【总结升华】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的知识，正确获取图中信息并准确进行计算是解题的关键．
5.（2016?河南模拟）学校准备在各班设立图书角以丰富同学们的课余文化生活，为了更合理的搭配各类书籍，学校团委以“我最喜爱的书籍”为主题，对学生最喜爱的一种书籍类型进行随机抽样调查，收集整理数据后，绘制出以下两幅未完成的统计图，请根据图1和图2提供的信息，解答下列问题：
（1）在这次抽样调查中，一共调查了多少名学生？ （2）请把折线统计图（图1）补充完整；
（3）求出扇形统计图（图2）中，体育部分所对应的圆心角的度数；
（4）如果这所中学共有学生1800名，那么请你估计最喜爱科普类书籍的学生人数．
【思路点拨】（1）用文学的人数除以所占的百分比计算即可得解；
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（2）根据所占的百分比求出艺术和其它的人数，然后补全折线图即可； （3）用体育所占的百分比乘以360°，计算即可得解； （4）用总人数乘以科普所占的百分比，计算即可得解． 【答案与解析】 解：（1）90÷30%=300（名），
故一共调查了300名学生； （2）艺术的人数：300×20%=60名，
其它的人数：300×10%=30名； 补全折线图如图；
（3）体育部分所对应的圆心角的度数为：（4）1800×
=480（名）．
×360°=48°；
答：1800名学生中估计最喜爱科普类书籍的学生人数为480．
【总结升华】本题考查的是折线统计图和扇形统计图的综合运用，折线统计图表示的是事物的变化情况，扇形统计图中每部分占总部分的百分比等于该部分所对应的扇形圆心角的度数
与360°的比．
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重难点突破
知识点梳理及重点题型巩固练习
数据的收集与整理——巩固练习
【巩固练习】
一、选择题
1. 某校篮球队员的身高（单位：cm）如下：167，168，167，164，168，168，163，168，167，160，获得这组数据所用的方法是（ ）
A．问卷调查 B．查阅资料 C．实地调查 D．实验
2.（2016春?秦皇岛期末）为了了解全校七年级300名学生的视力情况，骆老师从中抽查了50名学生的视力情况．针对这个问题，下面说法正确的是（ ） A．300名学生是总体
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B．每名学生是个体
C．50名学生是所抽取的一个样本 D．这个样本容量是50
3. 如图是我国历届奥运会获奖牌总数的统计图．那么不正确的结论是（ ） A．奖牌总数最多的是第28届 B．第26届奖牌总数为50枚
C．奖牌总数超过30枚的共有5届 D．奖牌总数逐届增加
4.（2015?通辽）下列调查适合抽样调查的是（ ）
A．审核书稿中的错别字
B．对某社区的卫生死角进行调查 C．对八名同学的身高情况进行调查 D．对中学生目前的睡眠情况进行调查
5.某纺织厂从10万件同类产品中随机抽取了100件进行质检，发现其中有5件不合格，那么估计该厂这10万件产品中合格品约为 ( ) ．
A．9.5万件 B．9万件 C．9500件 D．5000件
6.某课外兴趣小组为了解所在地区老年人的健康状况，分别作了四种不同的抽样调查．你认为抽样比较合理的是（ ）．
A．在公园调查了1000名老年人的健康状况 B．在医院调查了1000名老年人的健康状况 C．调查了10名老年邻居的健康状况
D．利用派出所的户籍网站随机调查了该地区10％的老年人的健康状况
二、填空题
7.下列调查中，分别采用了哪种调查方式：
(1)为了了解你们班同学的年龄，对全班同学进行了调查：________； (2)为了考查一个学校的学生参加课外体育活动的情况，调查了其中20名学生每天参加课外体育活动时间________；
(3)了解一批学习用具水笔芯的使用寿命：________； (4)了解我国八年级学生的身高情况：________．
8. 如图是某市5月1日至5月7日每天的最高最低气温的折线统计图，在这7天中，日温差最大的一天是__________.
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9.检查一箱装有2500件包装食品的质量，按2％的抽查率抽查其中一部分的质量，在这个问题中，总体是________，样本是________．
10.（2015?广州）根据环保局公布的广州市2013年至2014年PM2.5的主要来源的数据，制成扇形统计图，其中所占百分比最大的主要来源是 ．（填主要来源的名称）
11.某城市有120万人口，其中各民族所占比例如图所示，则该市少数民族的人口共有________万人．
12. 某移动公司为了调查手机发送短信的情况，在本区域的1000位用户中抽取了10位用户来统计他们某月份发送短信息的条数，结果如下表所示：
手机用户序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 发送短信息条数 85 78 83 79 84 85 86 88 80 85 则本次调查中抽取的样本容量是________，由此估计这1000位用户这个月共发送短信________条.
三、解答题 13. （2016?贺州）为了深化课程改革，某校积极开展校本课程建设，计划成立“文学鉴赏”、“国际象棋”、“音乐舞蹈”和“书法”等多个社团，要求每位学生都自主选择其中一个社团，为此，随机调查了本校部分学生选择社团的意向．并将调查结果绘制成如下统计图表（不完整）： 选择意向 文学鉴赏 国际象棋 音乐舞蹈 书法 其他 资料来源于网络 仅供免费交流使用
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所占百分比 a 20% b 10% 5% 根据统计图表的信息，解答下列问题： （1）求本次抽样调查的学生总人数及a、b的值； （2）将条形统计图补充完整；
（3）若该校共有1300名学生，试估计全校选择“音乐舞蹈”社团的学生人数．
14.（2015?桂林）某市团委在2015年3月初组成了300个学雷锋小组，现从中随机抽取6个小组在3月份做好事件数的统计情况如图所示：
（1）这6个学雷锋小组在2015年3月份共做好事多少件？ （2）补全条形统计图；
（3）请估计该市300个学雷锋小组在2015年3月份共做好事多少件？
15.初中生对待学习的态度一直是教育工作者关注的问题之一．为此某市教育局对该市部分学校的八年级学生对待学习的态度进行了一次抽样调查(把学习态度分为三个层级，A级：对学习很感兴趣；B级：对学习较感兴趣；C级：对学习不感兴趣)，并将调查结果绘制成图①②的统计图(不完整)．请根据图中提供的信息，解答下列问题：
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(1)此次抽样调查中，共调查了________名学生； (2)将图①补充完整；
(3)求出图②中C级所占的圆心角的度数； (4)根据抽样调查结果，请你估计该市近80 000名八年级学生中大约有多少名学生学习态度达标(达标包括A级和B级)?
【答案与解析】 一、选择题
1. 【答案】C；
【解析】因为要对篮球队员的身高的数据进行收集和整理，所以此活动需要实地调查．
故选：C．
2. 【答案】D；
【解析】解：A、300名学生的视力情况是总体，故此选项错误；
B、每个学生的视力情况是个体，故此选项错误；
C、50名学生的视力情况是抽取的一个样本，故此选项错误； D、这组数据的样本容量是50，故此选项正确． 故选：D．
3. 【答案】D；
【解析】解：由折线统计图可知：图中最高的点即是奖牌数最多，则28届奖牌数最多；
第26届奖牌总数为50枚；奖牌总数超过30枚的有23届、25届、26届、27届、28届，则一共有5届；24届比23届的奖牌数是减少了，则“奖牌总数逐届增加”的说法是错误的，故选D．
4. 【答案】D；
【解析】解：A、审核书稿中的错别字，必须准确，故必须普查；
B、此种情况数量不是很大，故必须普查； C、人数不多，容易调查，适合普查；
D、中学生的人数比较多，适合采取抽样调查； 故选D．
5. 【答案】A；
【解析】10万件产品中合格品数为：10?100-5. =9.5（万件）1006. 【答案】D；
【解析】抽样调查时，样本一定要有代表性和广泛性. 二、填空题
7.【答案】 (1)全面调查 (2)抽样调查 (3)抽样调查 (4)抽样调查； 8．【答案】5月5日；
【解析】在图中，从5月1日至5月7日找出实线与虚线差距最大的一天，为5月5日. 9.【答案】2500件包装食品的质量；所抽取的50件包装食品的质量. 10.【答案】机动车尾气；
【解析】解：所占百分比最大的主要来源是：机动车尾气．
故答案是：机动车尾气．
11.【答案】18；
【解析】120×(6％+4％+5％)＝18(万人)． 12.【答案】10；83300；
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【解析】10人的平均发总量：（85+78+83+79+84+85+86+88+80+85）?10=83.3（条） 1000位用户这个月共发送短信83.3?1000=83300（条） 三、解答题 13.【解析】
解：（1）本次抽样调查的学生总人数是：20÷10%=200，
a=b=
×100%=30%， ×100%=35%，
（2）国际象棋的人数是：200×20%=40，
条形统计图补充如下：
（3）若该校共有1300名学生，则全校选择“音乐舞蹈”社团的学生人数是1300×35%=455（人），
答：全校选择“音乐舞蹈”社团的学生人数是1300×35%=455人． 14.【解析】 解：（1）13+16+25+22+20+18=114（件），
这6个学雷锋小组在2015年3月份共做好事114件； （2）如图所示：
（3）300×
=5700（件）．
估计该市300个学雷锋小组在2015年3月份共做好事5700件．
15.【解析】 解：(1)200：
(2)200－120－50＝30(人)．画图如图所示．
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(3)C所占圆心角度数＝360°×(1－25％－60％)＝54°． (4)80000×(25％+60％)＝68000．
∴估计该市初中生中大约有68000名学生学习态度达标．
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直方图——知识讲解
【学习目标】
1. 理解组距、频数、频率、频数分布表的概念；
2. 会制作频数分布表，理解频数分布表的意义和作用；
3. 掌握画频数分布直方图的一般步骤，会画频数分布直方图，理解频数分布直方图的意义和作用. 【要点梳理】
要点一、组距、频数、频率与频数分布表 1．组距：把所有数据分成若干组，每个小组的两个端点之间的距离（组内数据的取值范围）． 2. 频数：在统计数据时，某个对象出现的次数或落在某个组别中的数据的个数称为频数． 3. 频率：频数与总次数的比值称为频率.
4．频数分布表：把各个组别中相应的频数分布用表格的形式表示出来，所得表格就是频数分布表．
频数分布表能清楚地反映一组数据的大小分布情况.将一批数据分组，一般数据越多，分的组也越多.当数据在100个以内时，按照数据的多少，常分成5～12组.在分组时，要灵活确定组距，使所分组数合适，一般组数为最大值-最小值的整数部分+1．
组距要点诠释：
（1）频数之和等于样本容量，各频率之和等于1；
（2）制作频数分布表的一般步骤：①计算最大值与最小值的差；②决定组距和组数；
③确定分点；④列频数分布表.
要点二、频数分布直方图 1．频数分布直方图
根据频数分布表，用横轴表示各分组数据、纵轴表示各组数据的频数，绘制条形统计图.
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这样的条形统计图，直观地呈现了频数的分布特征和变化规律，称为频数分布直方图. 2．画频数分布直方图的步骤
(1)计算最大值与最小值的差； (2)决定组距与组数； (3)列频数分布表； (4)画频数分布直方图．
3. 频数分布直方图与条形图的联系与区别
（1）联系：它们都是用矩形来表示数据分布情况的；当矩形的宽度相等时，都是用矩形的高来表示数据分布情况的；频数分布直方图是特殊的条形统计图.
（2）区别：①由于分组数据具有连续性，频数分布直方图中各“条形”之间通常是连续排列，中间没有间隙，而条形图中各“条形”是分开排列的，中间有一定的间隙；②条形统计图用横向指标表示考察对象的类别，用纵向指标表示不同对象的数量. 频数分布直方图横向指标表示考察对象数据的变化范围，用纵向指标表示相应范围内数据的频数. 要点诠释：
（1）频数分布直方图简称直方图，它是条形统计图的一种．
（2）注意直方图与条形图、扇形图、折线图在表示数据方面的优缺点. 【典型例题】
类型一、组距、组数、频数、频率
1. (1)对某班50名学生的数学成绩进行统计，90～99分的人数有10名，这一分数段的频数为_________．
(2)有60个数据，其中最小值为140，最大值为186，若取组距为5，则应该分的组数是________．
【答案】(1)10； (2)10. 【解析】
解：(1)利用频数的定义进行解答；(2)利用组数的计算方法求解．
【总结升华】组数的确定方法：设数据总数目为n，一般地，当n≤50时，则分为5～8组；当50≤n<100．则分为8～12组较为合适，组数等于最大值-最小值的整数部分+1.
组距举一反三：
【变式】一组数据19，22，25，30，28，27，26，21，20，22，24，23，25，29，27，28，27，30，19，20，为了画频率分布直方图，先计算出最大值与最小值的差是 ，如果取组距为2，应分为 组． 【答案】11；6.
解：∵最小的数是19，最大的数是30，
∴最大值与最小值的差是30﹣19=11， ∵11÷2=5.5， ∴应分成6组． 故答案为：11；6．
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2. 我校八年级学生在生物实验中抽出50粒种籽进行研究，数据落在37～40之间的频率是0.2，则这50个数据在37～40之间的个数是（ ）
A．1 B．2 C．10 D．5
【思路点拨】根据频率、频数的关系：频率=频数÷数据总和，可得频数=频率×数据总和． 【答案】C.
【解析】解：∵在生物实验中抽出50粒种籽进行研究，数据落在37～40之间的频率是0.2，
∴这50个数据在37～40之间的个数=50×0.2=10．故选C．
【总结升华】本题考查频率、频数、总数的关系：频率=频数÷数据总和．
举一反三：
【变式】有一个样本容量为20的样本，其数据如下：29，42，58，37，53，52，49，24，37，45，42，55，40，38，50，26，54，26，44，32．根据以上数据填写下表：
分组 21～30 31～40 41～50 51～60 合计1 【答案】
解：如下表：
分组 21～30 31～40 41～50 51～60 合计1 划记 正 正一 正 频数 4 5 6 5 20 频率 0.20 0.25 0.30 0.25 1.00 划记 频数 频率 类型二、画频数分布直方图
3.某地区对八年级的英语教学情况进行期末质量调查，从中抽出的20个班级的英语期末平均成绩如下(单位：分)：
80 81 83 79 64 76 80 66 70 72 71 68 69 78 67 80 68 72 70 65
试列出频数分布表并绘出频数分布直方图．
【思路点拨】按照画频数分布直方图的四个步骤进行解答．解答时，应注意每个步骤中需要注意的事项． 【答案与解析】
解：(1)计算最大值与最小值的差.
83－64＝19． (2)决定组距与组数.
若取组距为4，则有
19≈5，所以组数为5． 4资料来源于网络 仅供免费交流使用
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(3)列频数分布表.
(4)画频数分布直方图.
【总结升华】按步骤进行操作．因选取的组距不同，所列的频数分布表及所画的频数分布直方图也不一样.在统计时，数据不能出现重复或遗漏的现象．
【数据的描述369923 例1】
举一反三：
【变式】如图是某校九年级部分男生做俯卧撑的成绩（次数）进行整理后，分成五组，画出的频率分布直方图.已知从左到右前4个小组的频率分别是0.05，0.15，0.25，0.30，第五小组的频数为25，若合格成绩为20,那么此次统计的样本容量和本次测试的合格率分别是（ ）．
A．100，55% B．100，80% C．75，55% D．75，80%
【答案】B.
类型三、频数分布直方图的应用
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4.（2016?泰州）某校为更好地开展“传统文化进校园”活动，随机抽查了部分学生，了解他们最喜爱的传统文化项目类型（分为书法、围棋、戏剧、国画共4类），并将统计结果绘制成如图不完整的频数分布表及频数分布直方图． 最喜爱的传统文化项目类型频数分布表
项目类型 书法类 围棋类 喜剧类 国画类 根据以上信息完成下列问题： （1）直接写出频数分布表中a的值； （2）补全频数分布直方图；
（3）若全校共有学生1500名，估计该校最喜爱围棋的学生大约有多少人？
频数 18 14 8 b 频率 a 0.28 0.16 0.20
【思路点拨】
（1）首先根据围棋类是14人，频率是0.28，据此即可求得总人数，然后利用18除以总人数即可求得a的值；
（2）用50乘以0.20求出b的值，即可解答；
（4）用总人数1500乘以喜爱围棋的学生频率即可求解． 【答案与解析】
解：（1）14÷0.28=50（人），
a=18÷50=0.36．
（2）b=50×0.20=10，如图，
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（3）1500×0.28=420（人），
答：若全校共有学生1500名，估计该校最喜爱围棋的学生大约有420人．
【总结升华】本题考查了频数分布表及频数分布直方图，用到的知识点是：频率=频数÷总数，用样本估计整体让整体×样本的百分比即可．
举一反三：
【变式】随着车辆的增加，交通违规的现象越来越严重，交警对某雷达测速区检测到的一组汽车的时速数据进行整理，得到其频数及频率如表（未完成）：
（1）请你把表中的数据填写完整； （2）补全频数分布直方图；
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（3）如果汽车时速不低于60千米即为违章，则违章车辆共有多少辆？ 【答案】 解：（1）36÷200=0.18，
200×0.39=78，
200-10-36-78-20=56， 56÷200=0.28；
（2）如图所示：
（3）违章车辆数：56+20=76（辆）．
答：违章车辆有76辆．
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重难点突破
知识点梳理及重点题型巩固练习
直方图——巩固练习
【巩固练习】
一、选择题
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1.为了绘出一批数据的频数分布直方图，首先计算出这批数据的变动范围是指数据的( ).
A．最大值 B．最小值 C．最大值与最小值的差 D．个数 2．在频数分布直方图中，各小矩形的面积等于( ).
A．相应各组的频数 B．组数 C．相应各组的频率 D．组距 3．（2015春?和平区期末）已知一组数据的最大值为46，最小值为27，在绘制频数分布直方图时，取组距为3，则这组数据应分成（ ） A．5组 B．6组 C．7组 D．8组 4．某班50名学生期末考试数学成绩的频数分布直方图如图所示，对图中提供的信息做出如下判断：
①成绩在50～60分段的人数与90～100分段的人数相等； ②从左到右数，第4小组的频率是0.03； ③成绩在80分以上的学生有20人； ④及格率为90%．
其中正确的判断有( ).
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
5．在样本频数分布直方图中，有11个小长方形．若中间的小长方形的面积等于其他10个小长方形面积之和的
1，且样本容量为160个，则中间的一组的频数为( ). 4A．0.2 B．32 C．0.25 D．40
6. 某学校随机抽取了同龄的60名学生，对其身高进行测量，测量数据（均为整数）进行整理后绘成频率分布直方图（如下图），图中自左向右各小组数据的频率依次为：0.017，0.050，0.100，0.133，0.300，0.183，0.167，0.050．则身高在157.5以上的学生有（ ）
A．18人 B．24人 C．39人 D．42人 7．有40个数据，其中最大值为35，最小值为15，若取组距为4，则应该分的组数是( ). A．4 B．5 C．6 D．7
8．学校为了解七年级学生参加课外兴趣小组活动情况，随机调查了40名学生，将结果绘制
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成了如图所示的频数分布直方图，则参加绘画兴趣小组的频率是( ). A．0.1 B．0.15 C．0.25 D．0.3
二、填空题
9．已知样本容量是40，在样本的频数分布直方图中各小矩形的高之比依次为3:2:4:1，则第二小组的频数为________，第四小组的频数为________． 10．（2016春?沧州期末）一个样本含有下面10个数据：52，51，49，50，47，48，50，51，48，53，则最大的值是 ，最小的值是 ，如果组距为1.5，则应分成 组． 11．为了解各年龄段观众对某电视节目的收视率，小明调查了部分观众的收视情况，并分成A，B，C，D，E，F六组进行调查，其频率分布直方图如图所示，各长方形上方的数据表示该组的频率，若E组的频数为48，那么被调查的观众总人数为__________.
12.某单位职工的年龄(取正整数)的频数分布直方图如图所示，根据图中提供的信息，进行填空．
(1)该单位职工共有________人；
(2)不小于38岁但小于44岁的职工人数占职工总人数的百分率是________．
13. 我市某中学七年级甲、乙、丙三个班中，每班的学生人数都为60名，某次数学考试的
成绩统计如下：（每组分数含最小值，不含最大值）
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丙班数学成绩频数统计表
根据以上图、表提供的信息，则80～90分这一组人数最多的是_________班.
14．某校为了了解某个年级的学习情况，在这个年级抽取了50名学生，对某学科进行测试，将所得成绩(成绩均为整数)整理后，列出表格：
分组 频率 50～59分 0.04 60～69分 0.04 70～79分 0.16 80～89分 0.34 90～99分 0.42 (1)本次测试90分以上的人数有________人；(包括90分)
(2)本次测试这50名学生成绩的及格率是________；(60分以上为及格，包括60分) (3)这个年级此学科的学习情况如何？请在下列三个选项中，选一个填在题后的横线上________．
A．好 B．一般 C．不好
三、解答题
15．为了了解中学生的体能状况，某校抽取了50名学生进行1分钟跳绳测试，将所得数据整理后，分成5组绘成了频数分布直方图，如图(图中数据含最低值不含最高值)．其中前4个小组的频率依次为0.04，0.12，0.4，0.28．
(1)第4组的频数是多少？ (2)第5组的频率是多少？ (3)哪一组的频数最大？ (4)请补全频数分布直方图．
16．为检查某工厂所产8万台电扇的质量，抽查了其中40台，这40台电扇的无故障连续使
用时限如下：(单位：h)
248 256 232 243 188 278 286 292 308 312 274 296 288 302 295 208
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314 290 281 298 228 287 217 329 283 327 272 264 307 257 268 278 266 289 312 198 204 254 244 278
(1)以组距20h列出样本的频数分布表，并画出频数分布直方图. (2)估计8万台电扇中有多少台无故障连续使用时限会不少于288h？ (3)样本的平均无故障连续使用时限是多少？
(4)如果电扇的无故障正常(非连续)使用时限是无故障连续使用时限的8倍，那么这些电扇的正常使用寿命为多少小时？(精确到1h)
17．（2016?临沂）为了解某校九年级学生的身高情况，随机抽取部分学生的身高进行调查，利用所得数据绘成如图统计图表： 频数分布表
身高分组 x＜155 155≤x＜160 160≤x＜165 165≤x＜170 x≥170 总计 频数 5 a 15 14 6 百分比 10% 20% 30% b 12% 100% （1）填空：a= ，b= ； （2）补全频数分布直方图；
（3）该校九年级共有600名学生，估计身高不低于165cm的学生大约有多少人？
【答案与解析】 一、选择题
1. 【答案】C；
【解析】频数直方图是按照数据从小到大的顺序排列，包括所有的数据，即数据的变化
范围是指数据的最大值和最小值的差．
2. 【答案】A；
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【解析】频数直方图中纵坐标表示的是频数，则小长方形的高为频数，小长方形的面积＝小长方形面积＝组距?频数＝频数． 组距3. 【答案】C；
【解析】解：∵数据的最大值为46，最小值为27，
∴这组数据的差是46﹣27=19， ∵组距为3，
∴这组数据应分成19÷3=6，则分成7组．
故选C．
4. 【答案】B；
【解析】正确的是①③④． 5. 【答案】B；
【解析】根据在频数直方图中，某一组相应的小长方形的面积与直方图中所有小矩形面
积的比值即这小组的频率，求得中间一个长方形对应的频率后，再由频数、频率、总数的关系求解．
6. 【答案】D； 【解析】解：根据题意身高157.5以上的频率为：1-（0.017+0.050+0.100+0.133）=0.7，
因抽取了60名学生，则身高在157.5以上的学生有：60×0.7=42；故答案为D．
7. 【答案】B； 【解析】
35?15?5. 4频数计算.
数据总数8. 【答案】D； 【解析】根据频率＝
二、填空题 9．【答案】8，4；
【解析】频数分布直方图中，各个长方形的高之比依次为3：2：4：1，则指各组频数之
比为3：2：4：1，据此即可求出第二小组的频数第四小组的频数.
10.【答案】53，47，5；
【解析】解：分析数据可得：最大的值是53，最小的值是47，则它们的差为53﹣47=6；
如果组距为1.5，由于
=4；但由于要包含两个端点，故可分为5组．
故本题答案为：53，47，5．
11.【答案】200；
【解析】解：∵E组的频率为：1-0.04-0.08-0.16-0.36-0.12=0.24，
又∵E组的频数为48，
∴被调查的观众总人数为：48÷0.24=200． 故答案为200．
12.【答案】 (1)50 (2)58％ ； 【解析】正确读图是解题的关键． 13.【答案】甲；
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【解析】解：甲班：60-3-7-12-18=20（人）
乙班：60×（1-35%-10%-5%-20%）=18（人）． 丙班：17（人）． 所以最多的是甲班．
14.【答案】(1)21 ；(2)96％ ；(3)A. 【解析】（1）0.42×50＝21．（2）1－0.04－0.96＝96％．（3）理由是优秀率和及格率都
很高．
三、解答题 15.【解析】
解：(1)第4组的频数是0.28×50＝14．
(2)第5组频率为1-0.04-0.12-0.4-0.28＝0.16． (3)170～180这一组频数最大． （4）补全如图：
16.【解析】
解：(1)频数分布表如下：
频数分布直方图如图：
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(2)因为这40台中不少于288h的有9+5+1＝15(台)，
15?3(万台)． 40248?256??278(3)平均无故障连续使用时限为≈271.3(h)．
40所以8万台电扇中不少于288h的有8?(4)电扇的正常寿命为271.3×8≈2170(h)． 17.【解析】
解：（1）由表格可得，
调查的总人数为：5÷10%=50， ∴a=50×20%=10， b=14÷50×100%=28%， 故答案为：10，28%；
（2）补全的频数分布直方图如下图所示，
（3）600×（28%+12%）=600×40%=240（人）
即该校九年级共有600名学生，身高不低于165cm的学生大约有240人．
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认识概率--知识讲解
【学习目标】
1.通过对生活中各种事件的判断，归纳出必然事件、不可能事件和随机事件的特点，并根据这些特点对有关事件作出准确的判断；
2.理解概率的定义，通过具体情境了解概率的意义；
3.理解频率与概率的关系，能利用频率与概率的关系解决实际问题.
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【要点梳理】
要点一、确定事件与随机事件
1.不可能事件
在一定条件下，有些事情我们事先能肯定它一定不会发生，这样的事情是不可能事件． 2.必然事件
在一定条件下，有些事情我们事先能肯定它一定会发生，这样的事情是必然事件．必然事件和不可能事件都是确定事件. 3.随机事件
在一定条件下，很多事情我们事先无法确定它会不会发生，这样的事情是随机事件. 要点诠释：
（1）一般地，要知道事件发生的可能性大小首先要确定事件是什么类型.
（2）必然发生的事件发生的可能性最大，不可能发生的事件发生的可能性最小，随机事件发生的可能性有大有小，不同的随机事件发生的可能性的大小可能不同.
要点二、频率与概率 1.概率
随机事件发生的可能性有大有小.一个事件发生的可能性大小的数值，称为这个事件的概率(probability).如果用字母A表示一个事件，那么P(A)表示事件A发生的概率.
事件A的概率是一个大于等于0，且小于等于1的数，即
，其中P(必然
事件)=1，P(不可能事件)=0，0＜P(随机事件) ＜1.
所以有：P(不可能事件)＜P(随机事件)＜P(必然事件).
一个随机事件发生的概率是由这个随机事件自身决定的，并且是客观存在的.概率是随机事件自身的属性，它反映这个随机事件发生的可能性大小. 2.频率
通常，在多次重复实验中，一个随机事件发生的频率会在某一个常数附近摆动，并且随着试验次数增多，摆动的幅度会减小，这个性质称为频率的稳定性.
一般地，在一定条件下大量重复进行同一试验时，随机事件发生的频率
m会在某一n个常数附近摆动.在实际生活中，人们常把试验次数很大时，事件发生的频率作为其概率的估计值. 要点诠释：
①概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值； ②频率和概率在试验中可以非常接近，但不一定相等；
③概率是事件在大量重复实验中频率逐渐稳定到的值，即可以用大量重复实验中事件发生的频率去估计得到事件发生的概率，但二者不能简单地等同，两者存在一定的偏差是正常的，也是经常的.
【典型例题】
类型一、确定事件与随机事件
1.（2016秋?柘城县期末）下列问题哪些是必然事件？哪些是不可能事件？哪些是随机事件？
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（1）太阳从西边落山；
（2）a+b=﹣1（其中a、b都是实数）； （3）水往低处流； （4）三个人性别各不相同；
（5）一元二次方程x+2x+3=0无实数解； （6）经过有信号灯的十字路口，遇见红灯．
【思路点拨】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念进行判断即可．
【答案与解析】解：（1）太阳从西边落山、（3）水往低处流、（5）一元二次方程x+2x+3=0无实数解是必然事件；
（2）a+b=﹣1、（4）三个人性别各不相同是不可能事件， （6）经过有信号灯的十字路口，遇见红灯是随机事件．
【总结升华】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
【 391875 名称：随机事件与概率初步
：经典例题1】 举一反三
【变式1】下列事件是必然事件的是( )． A．明天要下雨;
B．打开电视机，正在直播足球比赛;
C．抛掷一枚正方体骰子，掷得的点数不会小于1; D．买一张彩票，一定会中一等奖. 【答案】C. 【变式2】（2015?南岗区一模）同时抛掷两枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，下列事件中的不可能事件是（ ） A．点数之和小于4 B．点数之和为10
C．点数之和为14 D．点数之和大于5且小于9 【答案】C.
解：因为同时抛掷两枚质地均匀的正方体骰子，正方体骰子的点数和应大于或等于2，而小于或等于12．显然，是不可能事件的是点数之和是14． 故选C．
2. 在一个不透明的口袋中，装有10个除颜色外其它完全相同的球，其中5个红球，3个蓝球，2个白球，它们已经在口袋中搅匀了.下列事件中，哪些是必然发生的？哪些是不可能发生的？哪些是可能发生的？ (1)从口袋中任取出一个球，它恰是红球；
2
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(2)从口袋中一次性任意取出2个球，它们恰好全是白球；
(3)从口袋中一次性任意取出5个球，它们恰好是1个红球，1个蓝球，3个白球. 【答案与解析】
(1)可能发生，因为袋中有红球； (2)可能发生，因为袋中刚好有2个白球；
(3)不可能发生，因为袋中只有2个白球，取不出3个白球. 【总结升华】要了解并掌握三种事件的区别和联系. 举一反三：
【变式】甲、乙两人做掷六面体骰子的游戏，双方规定，若掷出的骰子的点数大于3，则甲胜，若掷出的点数小于3，则乙胜，游戏公平吗？若不公平，请你设计出一种对于双方都公平的游戏.
【答案】不公平，小于3的点数有1、2，大于3的点数有4、5、6，因此，它们的可能性是不同的，所以不公平.可设计掷出的点数为偶数时甲胜，掷出的点数为奇数时乙胜.
类型二、频率与概率
3.关于频率和概率的关系，下列说法正确的是（ ） A. 频率等于概率 B. 当实验次数很大时，频率稳定在概率附近 C. 当实验次数很大时，概率稳定在频率附近 D. 实验得到的频率与概率不可能相等
【思路点拨】对于某个确定的事件来说，其发生的概率是固定不变的，而频率是随着试验次数的变化而变化的. 【答案】B.
【解析】事件的概率是一个确定的常数，而频率是不确定的，当试验次数较少时，频率的大小摇摆不定，当试验次数增大时，频率的大小波动变小，并逐渐稳定在概率附近. 【总结升华】概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值.
4. 如图所示，转盘停止后，指针落在哪个颜色区域的可能性大？为什么？
【思路点拨】可以采用面积法计算各颜色所占的比例，比例大的，指针落在该区域的可能
性也大.
【答案与解析】落在黄色区域的可能性大. 理由如下：
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由图可知：黄色占整个转盘面积的 红色占整个转盘面积的 蓝色占整个转盘面积的
； .
；
由于黄色所占比例最大，所以，指针落在黄色区域的可能性较大.
【总结升华】计算随机事件的可能性的大小，根据不同题目的条件来确定解法，如面积法、数值法等.
类型三、利用频率估计概率
5.（2015春?江都市期末）“2015扬州鉴真国际半程马拉松”的赛事共有三项：A、“半程马拉松”、B、“10公里”、C、“迷你马拉松”．小明参加了该项赛事的志愿者服务工作，组委会随机将志愿者分配到三个项目组．
（1）小明被分配到“迷你马拉松”项目组的概率为 ．
（2）为估算本次赛事参加“迷你马拉松”的人数，小明对部分参赛选手作如下调查： 调查总人数 50 100 200 500 1000 参加“迷你马拉松”人数 21 45 79 200 401 参加“迷你马拉松”频率 0.360 0.450 0.395 0.400 0.401 ①请估算本次赛事参加“迷你马拉松”人数的概率为 ．（精确到0.1） ②若本次参赛选手大约有30000人，请你估计参加“迷你马拉松”的人数是多少？ 【思路点拨】（1）利用概率公式直接得出答案；
（2）①利用表格中数据进而估计出参加“迷你马拉松”人数的概率； ②利用①中所求，进而得出参加“迷你马拉松”的人数． 【答案与解析】 解：（1）∵小明参加了该项赛事的志愿者服务工作，组委会随机将志愿者分配到三个项目组，
∴小明被分配到“迷你马拉松”项目组的概率为：； 故答案为：；
（2）①由表格中数据可得：本次赛事参加“迷你马拉松”人数的概率为：0.4；
故答案为：0.4；
②参加“迷你马拉松”的人数是：30000×0.4=12000（人）．
【总结升华】此题主要考查了利用频率估计概率：当大量重复试验时，频率会稳定在概率附近.正确理解频率与概率之间的关系是解题关键． 举一反三
【变式】某射手在同一条件下进行射击，结果如下表所示：
射击次数(ｎ) 击中靶心次数(ｍ) 击中靶心频率() 10 9 20 19 50 44 100 91 200 178 500 451 资料来源于网络 仅供免费交流使用
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(1)计算表中击中靶心的各个频率(精确到0.01)；
(2)这个射手射击一次，击中靶心的概率约是多少(精确到0.1)？
【答案】 (1)击中靶心的各个频率依次是：0.90，0.95，0.88，0.91，0.89，0.90. (2)这个射手击中靶心的概率约为0.9.
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【巩固练习】 一、选择题
1.（2015?沙县校级质检）已知抛一枚均匀硬币正面朝上的概率为，下列说法正确的是（ ）
A．连续抛一枚均匀硬币2次必有1次正面朝上 B．连续抛一枚均匀硬币10次，不可能正面都朝上
C．大量反复抛一枚均匀硬币，平均每100次出现正面朝上50次 D．通过抛一枚均匀硬币确定谁先发球的比赛规则是公平的 2. 下列事件中，属于必然事件的是（ ）
A．抛掷一枚1元硬币落地后，有国徽的一面向上 B．打开电视任选一频道，正在播放襄阳新闻
C．到一条线段两端点距离相等的点在该线段的垂直平分线上 D．某种彩票的中奖率是10%，则购买该种彩票100张一定中奖 3.下列说法正确的是( )
A.可能性很小的事件在一次试验中一定不会发生 B.可能性很小的事件在一次试验中一定发生 C.可能性很小的事件在一次试验中有可能发生 D.不可能事件在一次试验中也可能发生
4. 在不透明的袋中装有除颜色外，其余均相同的红球和黑球各一个，从中摸出一个球恰为红球的概率与一枚均匀硬币抛起后落地时正面朝上的概率的大小关系是( ) A．摸出红球的概率大于硬币正面朝上的概率 B．摸出红球的概率小于硬币正面朝上的概率 C．相等 D．不能确定
5.下列说法正确的是( )
A.抛掷一枚硬币5次，5次都出现正面，所以投掷一枚硬币出现正面的概率为1
B.“从我们班上查找一名未完成作业的学生的概率为0”表示我们班上所有的学生都完成了作业
C.一个口袋里装有99个白球和一个红球，从中任取一个球，得到红球的概率为1%，所以从袋中
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取至少100次后必定可以取到红球(每次取后放回，并搅匀)
D.抛一枚硬币，出现正面向上的概率为50%，所以投掷硬币两次，那么一次出现正面，一次出现反面.
6. 下图的转盘被划分成六个相同大小的扇形，并分别标上1，2，3，4，5，6这六个数字，指针停在每个扇形的可能性相等.四位同学各自发表了下述见解：
甲：如果指针前三次都停在了3号扇形，下次就一定不会停在3号扇形； 乙：只要指针连续转六次，一定会有一次停在 6号扇形；
丙：指针停在奇数号扇形的概率与停在偶数号扇形的概率相等；
丁：运气好的时候，只要在转动前默默想好让指针停在 6号扇形，指针停在6号扇形的可能性就会加大.其中，你认为正确的见解有( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二. 填空题
7. 不透明的袋子中装有4个红球、3个黄球和5个蓝球，每个球除颜色不同外其它都相同，从中任意摸出一个球，则摸出___________球的可能性最大．
8.（2015?武汉校级模拟）掷一枚均匀的硬币，前两次抛掷的结果都是正面朝上，那么第三次抛掷的结果正面朝上的概率为 ． 9.（2016?泰兴市一模）一个不透明的盒子中装有3个红球，2个黄球，这些球除了颜色外
其余都相同，从中随机摸出3个小球，则事件“所摸3个球中必含一个红球”是 （填“必然事件”、“随机事件”或“不可能事件”）
10．从某玉米种子中抽取6批，在同一条件下进行发芽试验，有关数据如下：
种子粒数 发芽种子粒85 数 0.85发芽频率 0 5 1 3 2 1 根据以上数据可以估计，该玉米种子发芽的概率约为 （精确到0.1）． 11. 一水塘里有鲤鱼、鲫鱼、鲢鱼共1000尾，一渔民通过多次捕捞试验后发现，鲤鱼、鲫鱼出现的频率是31％和42％，则这个水塘里有鲤鱼 尾，鲫鱼 尾. 12. 下面4个说法中，正确的个数为_______． (1)“从袋中取出一只红球的概率是99%”，这句话的意思是肯定会取出一只红球，因为概率已经很大．
(2)袋中有红、黄、白三种颜色的小球，这些小球除颜色外没有其他差别，因为小张
0.740.850.790.800.80398 652 793 1 604 4 005 100 400 800 1 000 2 000 5 000 资料来源于网络 仅供免费交流使用
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对取出一只红没有把握，所以小张说：“从袋中取出一只红球的概率是50%”． (3)小李说“这次考试我得90分以上的概率是200%”． (4)“从盒中取出一只红球的概率是0”，这句话是说取出一只红球的可能性很小． 三.解答题
13.（2016春?苏州期末）某种玉米种子在相同条件下的发芽实验结果如下表：
每批粒数n 发芽的粒数m 发芽的频率 （1）计算并完成表格；
（2）请估计，当n很大时，频率将接近 ；
（3）这种玉米种子的发芽概率的估计值是多少？请简要说明理由．
14. 王老汉为了与客户签订购销合同，对自己的鱼塘的鱼的总质量进行估计，第一次捞出100条，称得质量为184千克，并将每条鱼作上记号放入水中；当它们完全混合于鱼群后，又捞出200条，称得质量为416千克，且带有标记的鱼有20条.
①请你帮王老汉估计池塘中有多少条鱼？ ②请你帮王老汉估计池塘中的鱼有多重？
15. 下表记录了一名球员在罚球线上投篮的结果． 投篮次数(n) 投中次数(m) 投中频率() 50 28 100 60 150 78 200 104 250 123 300 152 350 176 100 65 0.65 150 111 0.74 200 136 0.68 500 345 0.69 800 560 1000 700 (1)计算表中的投中频率(精确到0.01)；
(2)这名球员投篮一次，投中的概率约是多少(精确到0.1)？
【答案与解析】
一、选择题 1．【答案】D.
【解析】解：A、连续抛一枚均匀硬币2次有可能一次正面朝上，2次正面朝上，0次正面
朝上，故A错误；
B、连续抛一枚均匀硬币10次，有可能正面都朝上，故B错误；
C、大量反复抛一枚均匀硬币，平均每100次出现正面朝上的次数不确定，故C错误；
D、通过抛一枚均匀硬币确定谁先发球的比赛规则是公平的，故D正确； 故选：D．
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2．【答案】C.
【解析】C选项是一性质定理，所以是正确的.
3．【答案】C.
【解析】可能性再小的事件也可能发生，只是概率要小而已. 4．【答案】C.
【解析】两种情况的概率均为50%. 5．【答案】B. 6．【答案】A.
【解析】只有丙是正确的，指针停在奇数号扇形的概率与停在偶数号扇形的概率都是50%. 二、填空题 7.【答案】蓝.
【解析】要求可能性的大小，只需求出各自所占的比例大小即可. 8．【答案】；
【解析】解：掷一枚均匀的硬币，前两次抛掷的结果都是正面朝上，那么第三次抛掷的结
果正面朝上的概率为，故答案为：．
9.【答案】必然事件.
【解析】解：∵盒子中装有3个红球，2个黄球，
∴从中随机摸出3个小球，则事件“所摸3个球中必含一个红球”是必然事件， 故答案为：必然事件．
10.【答案】0.8.
【解析】随着试验次数的增加，频率逐渐稳定在概率附近. 11.【答案】310,420；
【解析】鲤鱼1000?31％=310（尾），鲫鱼1000?42％=420（尾）. 12.【答案】0.
【解析】(1)中即使概率是99%，很大了，但是仍然有不是红球的可能，所以错误；
(2) 因为有三个球，机会相等，所以概率应该是(3) 概率的取值范围是
．
1； 3 (4) 应该是取出一只红球的可能性不存在． 三. 解答题 13.【解析】 解：（1）填表如下：
每批粒数n 发芽的粒数m 发芽的频率 100 65 0.65 150 111 0.74 200 136 0.68 500 345 0.69 800 560 0.70 1000 700 0.70 资料来源于网络 仅供免费交流使用
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（2）当n很大时，频率将接近0.70．
故答案为0.70；
（3）这种玉米种子的发芽概率的估计值是0.70．理由：
在相同条件下，多次实验，某一事件的发生频率近似等于概率． 14.【解析】
解：①100?20=1000（条） 200②(184+416)÷（100+200）×1000=2000（千克）
15.【解析】
解：(1)见下表： 投篮次数(n) 投中次数(m) 50 28 100 60 150 78 200 104 250 123 300 152 350 176 投中频率() 0.56 0.60 0.52 0.52 0.49 0.51 0.50 (2)这名球员投篮一次，投中的概率约是0.5.
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重难点突破
知识点梳理及重点题型巩固练习
图形的旋转--知识讲解
【学习目标】
1、掌握旋转的概念，探索它的基本性质，理解对应点到旋转中心的距离相等、对应点与旋转中
心连线所成的角彼此相等的性质；
2、能够按要求作出简单平面图形旋转后的图形，并能利用旋转进行简单的图案设计. 【要点梳理】
要点一、旋转的概念
将一个图形绕一个定点转动一定的角度，这样的图形运动称为图形的旋转.定点称为旋转中心，旋转的角度称为旋转角.
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要点诠释：旋转的三要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度；
图形的旋转不改变图形的形状、大小.
要点二、旋转的性质
一个图形和它经过旋转所得到的图形中：
(1)对应点到旋转中心的距离相等；
(2)两组对应点分别与旋转中心连线所成的角相等.
要点诠释：图形绕某一点旋转，既可以按顺时针旋转也可以按逆时针旋转.
要点三、旋转的作图
在画旋转图形时，首先确定旋转中心，其次确定图形的关键点，再将这些关键点沿指定的方向旋转指定的角度，然后连接对应的部分，形成相应的图形． 要点诠释：
作图的步骤：
(1)连接图形中的每一个关键点与旋转中心；
(2)把连线按要求（顺时针或逆时针）绕旋转中心旋转一定的角度（旋转角）； (3)在角的一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点； (4)连接所得到的各对应点. 【典型例题】
类型一、旋转的概念与性质
1.（2016春?内江期末）如图所示，△ABC直角三角形，延长AB到D，使BD=BC，在BC上取BE=AB，连接DE．△ABC顺时针旋转后能与△EBD重合，那么： （1）旋转中心是哪一点？旋转角是多少度？ （2）AC与DE的关系怎样？请说明理由．
【思路点拨】（1）由条件易得BC和BD，BA和BE为对应边，而△ABC旋转后能与△EBD重合，于是可判断旋转中心为点B；根据旋转的性质得∠ABE等于旋转角，从而得到旋转角度；（2）根据旋转的性质即可判断AC=DE，AC⊥DE． 【答案与解析】
解：（1）∵BC=BD，BA=BE，
∴BC和BD，BA和BE为对应边， ∵△ABC旋转后能与△EBD重合，
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∴旋转中心为点B； ∵∠ABC=90°，
而△ABC旋转后能与△EBD重合， ∴∠ABE等于旋转角， ∴旋转角是90度；
（2）AC=DE，AC⊥DE．理由如下：
∵△ABC绕点B顺时针旋转90°后能与△EBD重合， ∴DE=AC，DE与AC成90°的角，即AC⊥DE．
【总结升华】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等． 举一反三
【变式】 如图所示：O为正三角形ABC的中心．你能用旋转的方法将△ABC分成面积相等的三部分吗？如果能，设计出分割方案，并画出示意图．
【答案】下面给出几种解法：
解法一：连接OA、OB、OC即可．如图甲所示；
解法二：在AB边上任取一点D，将D分别绕点O旋转120°和240°得到D1、D2，连接OD、OD1、OD2即得，如图乙所示．
解法三：在解法二中，用相同的曲线连结OD、OD1、OD2 即得如图丙所示
2. 如图，将图(1)中的正方形图案绕中心旋转180°后，得到的图案是( )
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【答案】C.
【解析】抓住图形特征，观察图中的每个小的图形绕中心点旋转180°后能否与自身重合.
【总结升华】在解题的过程中，可看出如果选取的基本图形不同，可得到不同的形成过程，甚至所选取的基本图形相同，也有不同的形成过程，因此分析图案的形成过程旨在了解图形的变化规律，而不必强求分析的一致性．
类型二、旋转的作图
3.我们学习过：在平面内，将一个图形绕一个定点沿着某个方向转动一个角度，这样的图形运动叫做旋转，这个定点称为旋转中心．
（1）如图①，△ABC≌△DEF．△DEF能否由△ABC通过一次旋转得到？若能，请用直尺和圆规画出旋转中心，若不能，试简要说明理由；
（2）如图②，△ABC≌△MNK．△MNK能否由△ABC通过一次旋转得到？若能，请用直尺和圆规画出旋转中心，若不能，试简要说明理由．（保留必要的作图痕迹）
【答案与解析】 解：（1）能．
点O1就是所求作的旋转中心；
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（2）能．
点O2就是所求作的旋转中心．
【总结升华】考查了旋转变换的作图．关键是明确旋转中心与对应点的所连线段相等的性质，故作对应点连线的垂直平分线．
4.（2015?南宁）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣1，1），B（﹣3，1），C（﹣1，4）． （1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）将△ABC绕着点B顺时针旋转90°后得到△A2BC2，请在图中画出△A2BC2，并求出线段BC旋转过程中所扫过的面积（结果保留π）．
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【思路点拨】（1）根据题意画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1即可；（2）根据题意画出△ABC绕着点B顺时针旋转90°后得到△A2BC2，线段BC旋转过程中扫过的面积为扇形BCC2的面积，即
1圆的面积，求出即可． 4【答案与解析】
解：（1）如图所示，画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）如图所示，画出△ABC绕着点B顺时针旋转90°后得到△A2BC2，
由勾股定理得，BC=22+32=13，
线段BC旋转过程中所扫过得面积S=π（13）?21=4．
【总结升华】此题考查了作图﹣旋转变换，对称轴变换，以及扇形面积，作出正确的图形是解本题的关键． 举一反三
【388634 ：经典例题5-6】
【变式1】如图，画出?ABC绕点O逆时针旋转100?所得到的图形．
【答案】
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(∠AOA′=∠BOB′=∠COC′=100°)
【变式2】阅读材料： 如图（一），在已建立直角坐标系的方格纸中，图形①的顶点为A、B、C，要将它变换到图④（变换过程中图形的顶点必须在格点上，且不能超出方格纸的边界）． 例如：将图形①作如下变换（如图二）．
第一步：平移，使点C（6，6）移至点（4，3），得图②； 第二步：旋转，绕着点（4，3）旋转180°，得图③； 第三步：平移，使点（4，3）移至点O（0，0），得图④． 则图形①被变换到了图④．
解决问题：
（1）在上述变化过程中A点的坐标依次为：
（4，6）→（ ， ）→（ ， ）→（ ， ） （2）如图（三），仿照例题格式，在直角坐标系的方格纸中将△DEF经过平移、旋转、翻折
等变换得到△OPQ．（写出变换步骤，并画出相应的图形）
【答案】解：（1）（2，3）→（6，3）→（2，0），
（2）第一步：翻折，沿DE所在直线翻折180°，得图2；
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第二步：旋转，绕着点（5，4）逆时针旋转90°，得图3； 第三步：平移，使点（3，4）移至点O（0，0），得图4．
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图形的旋转--巩固练习
【巩固练习】
一. 选择题
1. 下图中，不是旋转对称图形的是( )．
2.下列图形绕某点旋转180°后，不能与原来图形重合的是( ).
3. 有下列四个说法，其中正确说法的个数是( )． ①图形旋转时，位置保持不变的点只有旋转中心；
②图形旋转时，图形上的每一个点都绕着旋转中心旋转了相同的角度； ③图形旋转时，对应点与旋转中心的距离相等；
④图形旋转时，对应线段相等，对应角相等，图形的形状和大小都没有发生变化． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4.如图，4×4的正方形网格中，△MNP绕某点旋转一定的角度，得到△M1N1P1，则其旋转中心可能是( )．
A．点A B．点B C．点C D．点D
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5．如图，△ADE绕点D的顺时针旋转，旋转的角是∠ADE，得到△CDB，那么下列说法错误的是( )．
A．DE平分∠ADB B．AD＝DC C．AE∥BD D．AE＝BC
6.（2015?东西湖区校级模拟）如图，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A′B′C′，且点
B刚好落在A′B′上，若∠A=25°，∠BCA′=45°，则∠A′BA等于（ ）
A．30° B．35° C．40° D．45° 二. 填空题 7.（2016?白银二模）如图，△ABC绕点A顺时针旋转80°得到△AEF，若∠B=100°，∠F=50°，
则∠α的度数是 ．
8.针表的分针匀速旋转一周需要60分钟，则经过15分钟，分针旋转了__________度. 9．正三角形绕其中心至少旋转__________ 度，可与其自身重合.
10. （2015?福州）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=，将△ABC绕点C逆时针旋转60°，得到△MNC，连接BM，则BM的长是 ．
11.（2015?吉林）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5cm，BC=12cm，将△ABC绕点B顺时针旋转60°，得到△BDE，连接DC交AB于点F，则△ACF与△BDF的周长之和为 cm．
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12. 如图，P是正三角形ABC内的一点，且PA=6，PB=8，?PC=10，若将△PAC绕点A逆时针旋转后，?得到△P′AB，?则点P?与点P′之间的距离为_____，∠APB=_______°．
三． 综合题
13.如图，O是边长为a的正方形ABCD的中心，将一块半径足够长、圆心角为直角
的扇形纸板的圆心放在O点处，并将纸板绕O点旋转，其半径分别交AB、AD于点M、N，
求证：正方形ABCD的边被纸板覆盖部分的总长度为定值a
AMB1N32DOC
14.（2016春?平南县期末）在如图的正方形网格中，有一个格点三角形ABC（即三角形的顶点都在格点上）． （1）在图中作出三角形ABC关于直线l对称的三角形A1B1C1；
（2）作出三角形ABC的格点P按逆时针方向旋转90°后得到的三角形A2B2C2．
15.（2015?黄冈中学自主招生）阅读下面材料：
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小伟遇到这样一个问题：如图1，在△ABC（其中∠BAC是一个可以变化的角）中，AB=2，AC=4，以BC为边在BC的下方作等边△PBC，求AP的最大值． 小伟是这样思考的：利用变换和等边三角形将边的位置重新组合．他的方法是以点B为旋转中心将△ABP逆时针旋转60°得到△A′BC，连接A′A，当点A落在A′C上时，此题可解（如图2）．
请你回答：AP的最大值是 ．
参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题：
如图3，等腰Rt△ABC．边AB=4，P为△ABC内部一点，则AP+BP+CP的最小值是 ．（结果可以不化简）
【答案与解析】
一、选择题 1．【答案】B. 2．【答案】B. 3．【答案】D. 4．【答案】B；
【解析】连接对应点PP交点即是旋转中心. 1,MM1,NN1,做三条线段的垂直平分线，5．【答案】C；
【解析】因为旋转，△ADE≌△CDB,即可证得A,B,D成立. 6．【答案】C;
【解析】解：∵∠A=25°，∠BCA′=45°，
∴∠BCA′+∠A′=∠B′BC=45°+25°=70°， ∵CB=CB′，
∴∠BB′C=∠B′BC=70°， ∴∠B′CB=40°， ∴∠ACA′=40°，
∵∠A=∠A′，∠A′DB=∠ADC， ∴∠ACA′=∠A′BA=40°． 故选：C．
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二、填空题
7. 【答案】50°；
【解析】解：∵△ABC绕点A顺时针旋转80°得到△AEF，
∴∠C=∠F=50°，∠BAE=80°， 而∠B=100°，
∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=180°﹣100°﹣50°=30°， ∴∠α=80°﹣30°=50°． 故答案为：50°．
8.【答案】90°. 【解析】360?o15=90°. 609.【答案】120°. 10.【答案】1+； 11.【答案】42；
【解析】解：∵将△ABC绕点B顺时针旋转60°，得到△BDE，
∴△ABC≌△BDE，∠CBD=60°， ∴BD=BC=12cm，
∴△BCD为等边三角形， ∴CD=BC=CD=12cm，
在Rt△ACB中，AB=
=13，
△ACF与△BDF的周长之和=AC+AF+CF+BF+DF+BD=AC+AB+CD+BD=5+13+12+12=42（cm），
故答案为：42．
12.【答案】6；150°；
【解析】△PAC绕点A逆时针旋转后得到△P'AB
所以AP?AP,∠PAC?∠PAB,P'B?PC, 即∠P'AP=60°，PP'=AP= AP′=6， 所以∠P'PA=60°
又因为P'P=6，PB=8，P'B=10 所以△P'PB是直角三角形， 即∠P'PB=90° 所以∠APB=150°.
三．解答题 13.【解析】
解：因为∠AOD=∠MON=90°，即∠1+∠3=∠2+∠3
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所以∠1=∠2
又因为正方形ABCD,所以OA=OD,∠BA0=∠ODA 所以△OAM≌△ODN,即AM=DN 所以AM+AN=AN+DN=AD=a
AMB14.【解析】
1N32DOC
解：（1）分别找出点A、B、C关于直线l对称的点A1、B1、C1，顺次连接三点即可得出三角形A1B1C1，如图1所示．
（2）连接AP、BP、CP，以点P为中心按逆时针方向旋转90°后，得到点A2、B2、C2，顺次连接三点即可得出三角形A2B2C2，如图2所示．
15.【解析】 解：（1）如图2，∵△ABP逆时针旋转60°得到△A′BC，
∴∠A′BA=60°，A′B=AB，AP=A′C
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∴△A′BA是等边三角形， ∴A′A=AB=BA′=2，
在△AA′C中，A′C＜AA′+AC，即AP＜6，
则当点A′A、C三点共线时，A′C=AA′+AC，即AP=6，即AP的最大值是：6； 故答案是：6．
（2）如图3，∵Rt△ABC是等腰三角形，∴AB=BC．
以B为中心，将△APB逆时针旋转60°得到△A′P′B．则A′B=AB=BC=4，PA=P′A′，PB=P′B，
∴PA+PB+PC=P′A′+P′B+PC． ∵当A′、P′、P、C四点共线时，（P′A+P′B+PC）最短，即线段A′C最短， ∴A′C=PA+PB+PC， ∴A′C长度即为所求．
过A′作A′D⊥CB延长线于D． ∵∠A′BA=60°（由旋转可知）， ∴∠1=30°． ∵A′B=4，
∴A′D=2，BD=2， ∴CD=4+2．
在Rt△A′DC中A′C=
=
=）．
=2
+2
；
∴AP+BP+CP的最小值是：2+2（或不化简为
故答案是：2+2（或不化简为）．
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中心对称与中心对称图形--知识讲解
【学习目标】
1、理解中心对称和中心对称图形的定义和性质，掌握他们之间的区别和联系； 2、掌握关于原点对称的点的坐标特征，以及如何求对称点的坐标； 3、探索图形之间的变化关系（轴对称、平移、旋转及其组合），灵活运用轴对称、平移和旋转的组合进行图案设计． 【要点梳理】
要点一、中心对称和中心对称图形
1.中心对称： 把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心． 这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点． 要点诠释：（1）有两个图形，能够完全重合，即形状大小都相同；
（2）位置必须满足一个条件：将其中一个图形绕着某一个点旋转180°能够与另一个图形重合 (全等图形不一定是中心对称的，而中心对称的两个图形一定是全等的) .
2.中心对称图形： 把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 要点诠释：(1)中心对称图形指的是一个图形；
（2）线段，平行四边形，圆等等都是中心对称图形.
3.中心对称与中心对称图形的区别与联系： 区别 中心对称 ①指两个全等图形之间的相互位置关系． ②对称中心不定． 如果将中心对称的两个图形看成一个整体（一个图形），那么这个图形就是中心对称图形． 中心对称图形 ①指一个图形本身成中心对称． ②对称中心是图形自身或内部的点． 如果把中心对称图形对称的部分看成是两个图形，那么它们又关于中心对称． 联系 要点二、关于原点对称的点的坐标特征 关于原点对称的两个点的横、纵坐标均互为相反数.即点坐标为
，反之也成立.
关于原点的对称点
要点三、中心对称、轴对称、旋转对称
【 388635
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：中心对称与中心对称图形的区别与联系】 1.中心对称图形与旋转对称图形的比较：
2.中心对称图形与轴对称图形比较：
要点诠释：中心对称图形是特殊的旋转对称图形；掌握三种图形的不同点和共同点是灵活运用的前提. 【典型例题】
类型一、中心对称和中心对称图形
【 388635
：例3及练习】
1.（2015春?鄄城县期末）如图，△ABC与△A1B1C1关于点O成中心对称，下列说法：
①∠BAC=∠B1A1C1；②AC=A1C1； ③OA=OA1； ④△ABC与△A1B1C1的面积相等，其中正确的有（ ）
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A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D
【解析】中心对称的两个图形全等，则①②④正确； 对称点到对称中心的距离相等，故③正确； 故①②③④都正确． 故选D．
【总结升华】中心对称的关键是：旋转180°之后可以与原来的图形重合. 举一反三
【变式】如图，若正方形EFGH由正方形ABCD绕某点旋转得到，则可以作为旋转中心的是（ ）
A．M或O或N B．E或O或C C．E或O或N D．M或O或C
【答案】A 【 388635
：经典例题2】
2. 我们平时见过的几何图形,如:线段、角、等腰三角形、等边三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形中，有哪些是中心对称图形？哪些是轴对称图形？中心对称图形指出对称中心，轴对称图形指出对称轴. 【答案与解析】
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【总结升华】线段、角、等腰三角形、等边三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形是重要的几种对称几何图形，要了解其性质特点更要熟记.
类型二、作图
3. （2016?聊城）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣3，5），B（﹣2，1），C（﹣1，3）． （1）若△ABC经过平移后得到△A1B1C1，已知点C1的坐标为（4，0），写出顶点A1，B1的坐标；
（2）若△ABC和△A2B2C2关于原点O成中心对称图形，写出△A2B2C2的各顶点的坐标； （3）将△ABC绕着点O按顺时针方向旋转90°得到△A3B3C3，写出△A3B3C3的各顶点的坐标．
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【思路点拨】（1）利用点C和点C1的坐标变化得到平移的方向与距离，然后利用此平移规律写出顶点A1，B1的坐标；
（2）根据关于原点对称的点的坐标特征求解；
（3）利用网格和旋转的性质画出△A2B3C3，然后写出△A2B3C3的各顶点的坐标． 【答案与解析】 解：（1）如图，△A1B1C1为所作，
因为点C（﹣1，3）平移后的对应点C1的坐标为（4，0），
所以△ABC先向右平移5个单位，再向下平移3个单位得到△A1B1C1， 所以点A1的坐标为（2，2），B1点的坐标为（3，﹣2）； （2）因为△ABC和△A1B2C2关于原点O成中心对称图形， 所以A2（3，﹣5），B2（2，﹣1），C2（1，﹣3）； （3）如图，△A2B3C3为所作，A3（5，3），B3（1，2），C3（3，1）；
【总结升华】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°． 举一反三 【 388635
：例5及练习】
【变式】如图①， O1，O2，O3，O4为四个等圆的圆心，A，B，C，D为切点，请你在图中画出一条直线，将这四个圆分成面积相等的两部分，并说明这条直线经过的两个点是 ；如图②，O1，O2，O3，O4，O5为五个等圆的圆心，
A，B，C，D，E为切点，请你在图中画出一条直线，将这五个圆分成面积相等的两．．．
部分，并说明这条直线经过的两个点是 ． ECC o3 o4 o3 o5 o4 BBD D o1 o1 o2 o2 AA 图① 图②
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【答案】
图①：O1O3或O2O4或AC或BD;图②：O5M或O4A
类型三、利用图形变换的性质进行计算或证明
4.已知：如图，三角形ABM与三角形ACM关于直线AF成轴对称，三角形ABE与三角形DCE关于点E成中心对称，点E、D、M都在线段AF上，BM的延长线交CF于点P．
（1）求证：AC=CD；
（2）若∠BAC=2∠MPC，请你判断∠F与∠MCD的数量关系，并说明理由．
【解题思路】（1）利用中心对称图形的性质以及轴对称图形的性质得出全等三角形进而得出对应线段相等；（2）利用（1）中所求，进而得出对应角相等，进而得出答案． 【答案与解析】（1）证明：∵△ABM与△ACM关于直线AF成轴对称， ∴△ABM≌△ACM， ∴AB=AC，
又∵△ABE与△DCE关于点E成中心对称， ∴△ABE≌△DCE， ∴AB=CD， ∴AC=CD；
（2）解：∠F=∠MCD．
理由：由（1）可得∠BAE=∠CAE=∠CDE，∠CMA=∠BMA， ∵∠BAC=2∠MPC，∠BMA=∠PMF，
∴设∠MPC=α，则∠BAE=∠CAE=∠CDE=α， 设∠BMA=β，则∠PMF=∠CMA=β， ∴∠F=∠CPM﹣∠PMF=α﹣β， ∠MCD=∠CDE﹣∠DMC=α﹣β， ∴∠F=∠MCD．
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【总结升华】此题主要考查了中心对称图形的性质以及全等三角形的性质等知识，根据题意得出对应角相等进而得出是解题关键． 举一反三
【 388635
：例4及练习】
【变式】如图，三个圆是同心圆，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】
?. 4苏教版八年级下册数学
重难点突破
知识点梳理及重点题型巩固练习
中心对称与中心对称图形--巩固练习
【巩固练习】
一. 选择题
1. （2016?哈尔滨）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D． 2. （2015春?高密市期末）下列说法中错误的是（ ） A．成中心对称的两个图形全等
B．成中心对称的两个图形中，对称点的连线被对称轴平分 C．中心对称图形的对称中心是对称点连线的中心
D．中心对称图形绕对称中心旋转180°后，都能与自身重合
3. 在线段、等腰梯形、平行四边形、矩形、菱形、正方形、等边三角形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的图形有( ) A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 4.下列说法正确的是( )
A.两个会重合的三角形一定成轴对称 B.两个会重合的三角形一定成中心对称
C.成轴对称的两个图形中，对称线段平行且相等
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D.成中心对称的两个图形中，对称线段平行(或在同一条直线上)且相等 5.如图所示，已知△ABC与△CDA关于点O对称，过点O任作直线EF分别交AD、BC于点E、F，下面的结论：(1)点E和点F；点B和点D是关于中心O的对称点；(2)直线BD必经过点O；(3)四边形ABCD是中心对称图形；(4)四边形DEOC与四边形BFOA的面积必相等；(5)△AOE与△COF成中心对称，其中正确的个数为( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 5个 6．在下列四种图形变换中，本题图案不包含的变换是( ) ①中心对称 ②旋转 ③轴对称 ④平移 A．①② B．②③ C．③④ D．①④
二. 填空题
7. 如图，若将△ABC绕点O顺时针旋转180°后得到△A?B?C?，则A点的对应点A?点的坐标是________.
8. 如图，△A1B1C1与△ABC关于y轴对称，△A2B2C2与△A1B1C1关于x轴对称，则△A2B2C2与△ABC的关系是__________.
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9．绕一定点旋转180°后与原来图形重合的图形是中心对称图形，正六边形就是这样的图形．小明发现将正六边形绕着它的中心旋转一个小于180°的角，也可以使它与原来的正六边形重合，请你写出小明发现的一个旋转角的度数：_____________________.
10.在平面直角坐标系中，已知点P0的坐标为(1，0)，将点P0绕着原点O按逆时针方向旋转60°得点P1，延长OP1到点P2，使OP2=2OP1，再将点P2绕着原点O按逆时针方向旋转60°得点P3，则点P3的坐标是_____.
11.如图所示，△ABC中，∠BAC＝120°，∠DAE＝60°，AB＝AC，△AEC绕点A旋转到△AFB的位置；∠FAD＝__________，∠FBD＝__________．
12. （2016?杭州）在平面直角坐标系中，已知A（2，3），B（0，1），C（3，1），若
线段AC与BD互相平分，则点D关于坐标原点的对称点的坐标为 ． 三． 综合题
13. 如图，△DEF是由△ABC绕点O顺时针旋转180°后得到的图形. (1)请指出图中所有相等的线段； (2)写出图中所有相等的角；
(3)图中哪些三角形可以看成是关于点O成中心对称的？
14.如图，矩形ABCD在平面直角坐标系的位置如图，A（0，0）、B（6，0）、D（0，
4）．
（1）根据图形直接写出点C的坐标： ；
（2）已知直线m经过点P（0，6）且把矩形ABCD分成面积相等的两部分，请只
用直尺准确地画出直线m，并求该直线m的解析式．
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15. 如图，为边的求AP的最大、最小值.
是等边三角形，
【答案与解析】
一、选择题
1.【答案】D.
【解析】A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故A错误； B、是中心对称图形，不是轴对称图形，故B错误； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故C错误； D、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故D正确． 故选：D． 2．【答案】B
【解析】在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形与另一
个图形重合，那么就说明这两个图形的形状关于这个点成中心对称中心对称，中心对称图形的对称中心是对称点连线的交点，根据中心对称图形的定义和性质可知A、C、D正确，B错误．故选：B． 3．【答案】B
【解析】既是轴对称图形，又是中心对称图形的图形有线段、矩形、菱形、正
方形.
4．【答案】D 5．【答案】D
【解析】已知△ABC与△CDA关于点O对称,所以点A对称点是点C, 点B对称
点是点D,即四边形ABCD是平行四边形，从而推得（1）（2）（3）（4）（5）正确。
6．【答案】D 【解析】旋转180°与原图像不能重合，所以①是错误的；平移应该是整个图
形通过平移得到新图形，所以④是错误的.
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二、填空题
7.【答案】(3，-2)
8.【答案】关于原点O中心对称.
【解析】通过画图可以发现经过两次轴对称，△A2B2C2在第四象限，与原三角形中心对称.
9.【答案】60°或120°. 【解析】正六边形的中心角是360°÷6=60°，所以旋转角是60°的倍数即可. 10.【答案】
【解析】准确的画图将为我们研究问题提供较好的思维切入点，据题意，画示意图.
由图可知，P3与P2关于y轴对称，因此只须求得P2坐标，而我们可 以发现△OP0P2为含60°角的直角三角形，所以可以知道
，
.
11.【答案】60°；60°.
【解析】因为△AEC绕点A旋转到△AFB的位置，所以△AEC≌△AFB， 即∠FAB=∠EAC,∠ACB=
∠FBA,又因为∠BAC＝120°，∠DAE＝60°， 所以∠FAD=∠BAD +∠FAB=∠BAD+∠EAC =120°-
60°=60°；所以∠FBD=∠ABC+∠FBA=∠ABC+∠ACB=180°-120°=60°. 12.【答案】（﹣5，﹣3）．
【解析】如图所示：∵A（2，3），B（0，1），C（3，1），线段AC与BD互相平分， ∴D点坐标为：（5，3），
∴点D关于坐标原点的对称点的坐标为：（﹣5，﹣3）．
三．解答题 13.【解析】
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因为△DEF是由△ABC绕点O顺时针旋转180°后得到的，所以这两个三角形关于
点O成中心对称 (1)图中相等的线段有：
(2)图中相等的角有：
(3)图中关于点O成中心对称的三角形有：
△ABC与△DEF，△ABO与△DEO，△ACO与△DFO，△BCO与△EFO.
14.【解析】 解：（1）∵B（6，0）、D（0，4）， ∴点C的横坐标是6，纵坐标是4， ∴点C的坐标为（6，4）； 故答案为：（6，4）； （2）直线m如图所示，
对角线OC、BD的交点坐标为（3，2）， 设直线m的解析式为y=kx+b（k≠0）， 则
，
解得，
所以，直线m的解析式为y=﹣x+6．
15.【解析】已知条件AB=3，AC=2与所求的AP比较分散.考虑到三角形， 若则可得
则
绕点P逆时针旋转是等边三角形，
与所求
到
，
， 就集中到
中
是等边
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（特殊情况A，，B三点在同一直线）. 由于， 所以.
即 AP的最大值为5，最小值为1.
苏教版八年级下册数学
重难点突破
知识点梳理及重点题型巩固练习
平行四边形（提高）
【学习目标】
1．理解平行四边形的概念，掌握平行四边形的性质定理和判定定理；
2．能初步运用平行四边形的性质进行推理和计算，并体会如何利用所学的三角形的知识解决四边形的问题．
3. 能综合运用平行四边形的判定定理和平行四边形的性质定理进行证明和计算． 【要点梳理】
要点一、平行四边形的定义
平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 平行四边形ABCD记作“ABCD”，读作“平行四边形ABCD”.
要点诠释：平行四边形的基本元素：边、角、对角线.相邻的两边为邻边，有四对；相对的边为对边，有两对；相邻的两角为邻角，有四对；相对的角为对角，有两对；对角线有两条.
要点二、平行四边形的性质
1．边的性质：平行四边形两组对边平行且相等；
2．角的性质：平行四边形邻角互补，对角相等； 3．对角线性质：平行四边形的对角线互相平分；
4．平行四边形是中心对称图形，对角线的交点为对称中心. 要点诠释：（1）平行四边形的性质中边的性质可以证明两边平行或两边相等；角的性质
可以证明两角相等或两角互补；对角线的性质可以证明线段的相等关系或倍半关系.
（2）由于平行四边形的性质内容较多，在使用时根据需要进行选择. （3）利用对角线互相平分可解决对角线或边的取值范围的问题，在解答时应
联系三角形三边的不等关系来解决.
要点三、平行四边形的判定
1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形； 2.两组对边分别相等的四边形是平行四边形； 3.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
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4.两组对角分别相等的四边形是平行四边形； 5.对角线互相平分的四边形是平行四边形. 要点诠释：（1）这些判定方法是学习本章的基础，必须牢固掌握，当几种方法都能判定
同一个平行四边形时，应选择较简单的方法.
（2）这些判定方法既可作为判定平行四边形的依据，也可作为“画平行四边
形”的依据.
要点四、平行线间的距离 1.两条平行线间的距离：
（1）定义：两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线间的距离.注：距离是指垂线段的长度，是正值. （2）平行线间的距离处处相等
任何两平行线间的距离都是存在的、唯一的，都是夹在这两条平行线间最短的线段的长度. 两条平行线间的任何两条平行线段都是相等的. 2.平行四边形的面积：
平行四边形的面积＝底×高；等底等高的平行四边形面积相等. 【典型例题】
类型一、平行四边形的性质
1、如图，平行四边形ABCD的周长为60cm，对角线交于O，△AOB的周长比△BOC?的周长大8cm，求AB，BC的长．
【答案与解析】
解： ∵四边形ABCD是平行四边形． ∴ AB＝CD，AD＝BC，AO＝CO， ∵ □ABCD的周长是60．
∴2AB＋2BC＝60，即AB＋BC＝30，① 又∵△ AOB的周长比△BOC的周长大8．
即（AO＋OB＋AB）－（BO＋OC＋BC）＝AB－BC＝8， ② 由①②有
解得
∴AB，BC的长分别是19cm和11cm．
【总结升华】根据平行四边形对角线互相平分，利用方程的思想解题. 举一反三：
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【变式】（2015春?安岳县期末）如图，平行四边形ABCD中，点E是DC边上一点，连接AE、BE，已知AE是∠DAB的平分线，BE是∠CBA的平分线． （1）求证：AE⊥BE；
（2）若AE=3，BE=2，求平行四边形ABCD的面积．
【答案】 解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC+∠BAD=180°，
∵BE、AE分别平分∠ABC和∠BAD，
∴∠ABE+∠BAE=
1×180°=90°， 2∴∠AEB=90°， 即AE⊥BE； （2）∵AE⊥BE
∴S△ABE=AE×BE÷2=3，
∴平行四边形ABCD的面积=2S△ABE=6．
类型二、平行四边形的判定
2、如图所示，ABCD中，延长AB到E，延长CD到F，使得BE＝DF． 求证：AC与EF互相平分．
【思路点拨】要证明AC、EF互相平分，只需证明AC、EF是某一平行四边形的两条对角线即可，这样，本题就转化为证明四边形AECF是平行四边形的问题了． 【答案与解析】
证明：方法一：连接AF、CE，ABCD中，AB＝DC，AE∥CF． ∴ ∠CFE＝∠AEF．
又∵ DF＝BE，∴ CF＝AE， 而EF＝FE，∴ △CFE≌△AEF， ∴ ∠CEF＝∠AFE，∴ CE∥AF， ∴ 四边形AECF是平行四边形． 即AC与EF互相平分．
方法二：连接AF、CE，在ABCD中，DCAB． ∵ DF＝BE，∴ CF＝AE，∴ CFAE，
∴ 四边形AECF为平行四边形，即AC、EF互相平分．
【总结升华】(1)本题也可直接证△COF≌△AOE，利用其他的判定方法来证，在本题中，证
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法二相对来说比较简单．(2)由于平行四边形的判定方法较多，所以经常出现可用多种方法证明，此时应选择简单的方法． 举一反三：
【变式】以锐角△ABC的边AC、BC向形外作等边△ACD、等边△BCE，作等边△ABF，连接DF、CE如图所示．求证：四边形DCEF是平行四边形．
【答案】
证明：在等边△ADC和等边△AFB中 ∠DAC＝∠FAB＝60°． ∴ ∠DAF＝∠CAB．
又∵ AD＝AC，AF＝AB． ∴ △ADF≌△ACB(SAS)． ∴ DF＝CB＝CE．
同理，△BAC≌△BFE，∴ EF＝AC＝DC．
∴ 四边形DCEF是平行四边形(两组对边分别相等的四边形是平行四边形)．
3、（2017秋?海宁市校级月考）如图，口ABCD中，∠ABC=60°，E、F分别在CD和BC的延长线上，AE∥BD，EF⊥BC，EF=3，则AB的长是___________．
【思路点拨】根据直角三角形性质求出CE长，利用勾股定理即可求出AB的长． 【答案】． 【解析】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，AB=CD， ∵AE∥BD，
∴四边形ABDE是平行四边形， ∴AB=DE=CD， 即D为CE中点， ∵EF⊥BC， ∴∠EFC=90°，
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∵AB∥CD，
∴∠DCF=∠ABC=60°， ∴∠CEF=30°， 设CF=x，则CE=2x，
勾股定理得，x2+32=（2x）2，解得x=3， ∴CE=23， ∴AB=
，
．
故答案为：
【总结升华】本题考查了平行线性质，勾股定理，含30度角的直角三角形性质等知识点的应用，此题综合性比较强．
类型三、构造平行四边形，应用性质
4、在等边三角形ABC中，P为ΔABC内一点，PD∥AB，PE∥BC，PF//AC，D，E，F分别在AC，AB和BC上，试说明：PD＋PF＋PE＝BA.
【答案与解析】
解：延长FP交AB于G, 延长DP交BC于H，
∵四边形AGPD，EBHP为平行四边形，
∴PD＝AG，PH＝BE.ΔGEP，ΔPHF为等边三角形 ∴PF＝PH＝BE, PE＝GE, ∴PD＋PF＋PE＝AG＋BE＋GE＝AB.
【总结升华】添加辅助线构造平行四边形是当题目中有平行关系的条件时经常使用的方法.
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【巩固练习】
一.选择题
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1．平行四边形一边长12cm，那么它的两条对角线的长度可能是( )．
A.8cm和16cm B.10cm和16cm C.8cm和14cm D.8cm和12cm 2．（2015?应城市二模）如图，口ABCD的周长为20cm，AC与BD相交于点O，OE⊥AC交AD于E，则△CDE的周长为（ ）
A．6cm B．8cm C．10cm D．12cm 3．平行四边形两邻边分别为24和16，若两长边间的距离为8，则两短边间的距离为( )．
A.5 B.6 C.8 D.12
4. 如图所示，在ABCD中，EF∥AB，GH∥AD，下图中有（ ）个平行四边形.
A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 5. 如图，在
ABCD中， 对角线AC、BD相交于点O. E、F是对角线AC上的两个不同点，
当E、F两点满足下列条件时，四边形DEBF不一定是平行四边形( ).
A. AE＝CF
B.DE＝BF
C.?ADE??CBF D.?AED??CFB
6.（2016?广东模拟）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F是对角线AC上的两点，给出下列四个条件：①AE=CF；②DE=BF；③∠ADE=∠CBF；④∠ABE=∠CDF．其中不能判定四边形DEBF是平行四边形的有（ ）
A．0个
B．1个 C．2个 D．3个
二.填空题
7. 如图，在ABCD中，E是BA延长线上一点，AB＝AE，连结EC交AD于点F，若CF平分
∠BCD，AB＝3，则BC的长为 ．
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8. 在ABCD中, ∠A的平分线分BC成4cm和3cm的两条线段, 则
_______________. 9.如图，在
ABCD的周长为
ABCD中，AB＝3，AD＝4，∠ABC＝60°，过BC的中点E作EF⊥AB，垂足为点
F，与DC的延长线相交于点H，则△DEF的面积是__________.
10.（2015春?监利县期末）已知直线a∥b，点M到直线a的距离是5cm，到直线b的距离
是3cm，那么直线a和直线b之间的距离为 ．
11．如图，在ABCD中，AB＝6，AD＝9，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于
点F，BG⊥AE，垂足为G，AF＝5，BG?42，则△CEF的周长为______．
12.如图所示，六边ABCDEF中，AB平行且等于ED，AF平行且等于CD，BC平行且等于FE，对角线FD⊥BD．已知FD＝24cm，BD＝18cm．则六边形ABCDEF的面积是______.
三.解答题
13.（2015?张掖校级模拟）已知：如图四边形ABCD是平行四边形，P、Q是直线AC上的点，且AP=CQ．求证：四边形PBQD是平行四边形．
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14.如图1所示，（1）已知D是等腰△ABC底边BC上一点，DE∥AC，交AB于点E．DF∥AB，
交AC于点F．请你探究DE、DF、AB之间的关系，并说明理由．（2）如图2所示，已知D是等腰△ABC底边BC延长线上一点，DE∥AC，交BA的延长线于点E．DF∥AB，交AC的延长线于点F．请你探究DE、DF、AB之间的关系，并说明理由．
图1 图2
15.（2016?南京一模）如图，已知点E，C在线段BF上，BE=EC=CF，AB∥DE，∠ACB=∠F． （1）求证：△ABC≌△DEF；
（2）试判断：四边形AECD的形状，并证明你的结论．
【答案与解析】
一.选择题 1．【答案】B；
【解析】设对角线长为2a，2b，需满足a?b?12，只有B选项符合题意. 2．【答案】C；
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=DC，AD=BC，OA=OC， ∵?ABCD的周长为20cm， ∴AD+DC=10cm， 又∵OE⊥AC， ∴AE=CE，
∴△CDE的周长=DE+CE+DC=DE+AE+DC=AD+DC=10cm； 故选：C．
3．【答案】D； 【解析】过C点作CF垂直于BD的延长线，CF就是两短边间的距离，如图所示，∠C＝30°，CF＝
11CD??24?12. 22资料来源于网络 仅供免费交流使用
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4.【答案】C； 【解析】在ABCD中，∵ EF∥AB，GH∥AD．∴ EF∥AB∥CD，GH∥AD∥BC．∴ 除ABCD
外，还有8个平行四边形：AGHD、BGHC、ABFE、DEFC、DEOH、HOFC、AEOG、OGBF．即图中有9个平行四边形． 5.【答案】B；
【解析】C选项和D选项均可证明△ADE≌△CBF，从而得到AE＝CF，EO＝FO，BO＝DO，所
以可证四边形DEBF是平行四边形.
6.【答案】B；
【解析】解：由平行四边形的判定方法可知：若是四边形的对角线互相平分，可证明这个
四边形是平行四边形，②不能证明对角线互相平分，①③④可以，故选B．
二.填空题 7.【答案】6；
【解析】易证△AEF≌△DCF，所以AF＝DF，由CF平分∠BCD，AD∥BC可证AB＝DC＝DF＝3，所以BC＝AD＝6. 8.【答案】20cm或22cm；
【解析】由题意，AB可能是4，也可能是3，故周长为20cm或22cm. 9.【答案】23；
【解析】由题意，平行四边形的高为33，S△DEF?S梯形ABED?S△BEF?S△ADF 2?933??23?23. 2210.【答案】2cm或8cm；
【解析】解：当M在b下方时，距离为5﹣3=2cm；
当M在a、b之间时，距离为5+3=8cm． 故答案为：2cm或8cm.
11．【答案】7；
【解析】可证△ABE与△CEF均为等腰三角形，AB＝BE＝6，CE＝CF＝9－6＝3，由勾股定
理算得AG＝EG＝2，所以EF＝AF－AE＝5－4＝1，△CEF的周长为7.
12.【答案】432；
【解析】连接AC交BD于G，AE交DF于H．根据一组对边平行且相等的四边形是平行四
边形，得平行四边形AEDB和AFDC．易得AC＝FD，EH＝BG．计算该六边形的面积可以分成3部分计算，即平行四边形AFDC的面积+三角形ABC的面积+三角形EFD的面积FD?BD＝24×18＝432．
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二.解答题 13.【解析】
证明：连接BD交AC与O点，
∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AO=CO，BO=DO， 又∵AP=CQ， ∴AP+AO=CQ+CO， 即PO=QO，
∴四边形PBQD是平行四边形．
14.【解析】
解： (1)DE＋DF＝AB．
理由如下：因为DE∥AC，DF∥AB，
所以由平行四边形的定义可得四边形AEDF是平行四边形， 所以DF＝AE．
又因为△ABC是等腰三角形，所以∠B＝∠C． 因为DE∥AF，所以∠C＝∠EDB．
所以∠B＝∠EDB．所以△BDE是等腰三角形，所以BE＝DE， 所以DE＋DF＝BE＋AE＝AB．
(2)若D在BC的延长线上，则(1)中的结论不成立，正确结论是DE－DF＝AB． 理由如下：因为DE∥AC，DF∥AB， 所以四边形AFDE是平行四边形． 所以DF＝AE，DE＝AF．
因为△ABC是等腰三角形，所以∠B＝∠ACB． 又因为∠ACB＝∠FCD，所以∠B＝∠FCD．
又因为AB∥DF，所以∠B＝∠FDC．所以∠FCD＝∠FDC，所以DF＝FC， 所以DE－DF＝AF－CF＝AC＝AB． 15.【解析】
证明：（1）∵AB∥DE，
∴∠B=∠DEF， ∵BE=EC=CF， ∴BC=EF，
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在△ABC和△DEF中
∴△ABC≌△DEF．
（2）四边形AECD的形状是平行四边形，
证明：∵△ABC≌△DEF， ∴AC=DF， ∵∠ACB=∠F， ∴AC∥DF，
∴四边形ACFD是平行四边形， ∴AD∥CF，AD=CF， ∵EC=CF， ∴AD∥EC，AD=CE，
∴四边形AECD是平行四边形．
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重难点突破
知识点梳理及重点题型巩固练习
矩形（提高）
【学习目标】
1. 理解矩形的概念.
2. 掌握矩形的性质定理与判定定理. 【要点梳理】
【 特殊的平行四边形（矩形） 知识要点】 要点一、矩形的定义
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
要点诠释：矩形定义的两个要素：①是平行四边形；②有一个角是直角.即矩形首先是一个平行四边形，然后增加一个角是直角这个特殊条件. 要点二、矩形的性质
矩形的性质包括四个方面：
1.矩形具有平行四边形的所有性质； 2.矩形的对角线相等；
3.矩形的四个角都是直角；
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4.矩形是轴对称图形，它有两条对称轴. 要点诠释：（1）矩形是特殊的平行四边形，因而也是中心对称图形.过中心的任意直线
可将矩形分成完全全等的两部分.
（2）矩形也是轴对称图形，有两条对称轴（分别通过对边中点的直线）.对
称轴的交点就是对角线的交点（即对称中心）.
（3）矩形是特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形的所有性质，从而矩形
的性质可以归结为从三个方面看：从边看，矩形对边平行且相等；从角看，矩形四个角都是直角；从对角线看，矩形的对角线互相平分且相等.
要点三、矩形的判定
矩形的判定有三种方法：
1.定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 2.对角线相等的平行四边形是矩形. 3.有三个角是直角的四边形是矩形.
要点诠释：在平行四边形的前提下，加上“一个角是直角”或“对角线相等”都能判定平行四边形是矩形.
要点四、直角三角形斜边上的中线的性质
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 要点诠释：（1）直角三角形斜边上的中线的性质是矩形性质的推论.性质的前提是直角
三角形，对一般三角形不可使用.
（2）学过的直角三角形主要性质有：①直角三角形两锐角互余；②直角三
角形两直角边的平方和等于斜边的平方；③直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半.
（3）性质可以用来解决有关线段倍分的问题.
【典型例题】
类型一、矩形的性质
1、如图所示，已知四边形ABCD是矩形，△PBC和△QCD都是等边三角形，且点P在矩
形上方，点Q在矩形内．求证：(1)∠PBA＝∠PCQ＝30°；(2)PA＝PQ．
【思路点拨】(1)矩形的四个内角都等于90°，利用条件△PBC和△QCD都是等边三角形，容易求得∠PBA和∠PCQ度数；(2)利用(1)的结论以及矩形的性质进一步证明△PAB≌△PQC(SAS)，从而证得PA＝PQ． 【答案与解析】
证明：(1)∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ ∠ABC＝∠BCD＝90°．
∵ △PBC和△QCD是等边三角形， ∴ ∠PBC＝∠PCB＝∠QCD＝60°，
∴ ∠PBA＝∠ABC－∠PBC＝30°，∠PCD＝∠BCD－∠PCB＝30°．
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∴∠PCQ＝∠QCD－∠PCD＝30°，故∠PBA＝∠PCQ＝30° (2)∵ 四边形ABCD是矩形，∴ AB＝DC． ∵ △PBC和△QCD是等边三角形， ∴ PB＝PC，QC＝DC＝AB．
∵ AB＝QC，∠PBA＝∠PCQ，PB＝PC． ∴ △PAB≌△PQC，∴ PA＝PQ．
【总结升华】利用矩形的性质，可以得到许多的结论，在解题时，针对问题列出有用的结论作论据即可． 举一反三：
【变式】如图所示，把矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的点B?处，点A落在
点A?处．
(1)求证：B?E?BF；
(2)设AE＝a，AB＝b，BF＝c，试猜想a、b、c之间有何等量关系，并给予证明． 【答案】
证明：(1)由折叠可得?B?FE??BFE．
∵ AD∥BC， ∴ ?B?EF??BFE??B?FE， ∴ B?E?B?F， ∴ B?E?BF．
(2)猜想a?b?c．理由：
由题意，得A?E?AE?a，A?B??AB?b． 由(1)知B?E?BF?c．
在△A?B?E中，∵ ?A??90°，A?E?a，A?B??b，B?E?c， ∴ a?b?c．
2、如图所示，矩形ABCD中，AC、BD相交于O，AE平分∠BAD交BC于E，∠CAE＝15°，求∠BOE的度数．
222222
【思路点拨】∠BOE在△BOE中，易知∠OBE＝30°，直接求∠BOE有困难，转为考虑证BO＝BE．由AE平分∠BAD可求∠BAE＝45°得到AB＝BE，进一步可得等边△AOB．有AB＝OB．证得BO＝BE． 【答案与解析】
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解：∵ 四边形ABCD是矩形， ∴ ∠DAB＝∠ABC＝90°，AO＝
11AC，BO＝BD，AC＝BD． 22 ∴ AO＝BO．
∵ AE平分∠BAD，∴ ∠BAE＝45°． ∴ ∠AEB＝90°－45°＝45°＝∠BAE． ∴ BE＝AB．
∵ ∠CAE＝15°，∴ ∠BAO＝60°． ∴ △ABO是等边三角形． ∴ BO＝AB，∠ABO＝60°． ∴ BE＝BO，∠OBE＝30°． ∴ ∠BOE＝
180°?30°?75°． 2【总结升华】矩形被每条对角线分成两个直角三角形，被两条对角线分成四个等腰三角形，因此矩形中的计算问题可以转化到直角三角形和等腰三角形中去解决． 类型二、矩形的判定
3、（2015?连云港二模）如图，AB=AC，AD=AE，DE=BC，且∠BAD=∠CAE． （1）求证：△ABE≌△ACD；
（2）求证：四边形BCDE是矩形．
【思路点拨】（1）利用SAS证得两个三角形全等即可；（2）要证明四边形BCED为矩形，则要证明四边形BCED是平行四边形，且对角线相等． 【答案与解析】
（1）证明：∵∠BAD=∠CAE， ∴∠EAB=∠DAC， 在△ABE和△ACD中
∵AB=AC，∠EAB=∠DAC，AE=AD ∴△ABE≌△ACD（SAS）； （2）∵△ABE≌△ACD， ∴BE=CD， 又DE=BC，
∴四边形BCDE为平行四边形． ∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB ∵△ABE≌△ACD， ∴∠ABE=∠ACD， ∴∠EBC=∠DCB
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∵四边形BCDE为平行四边形， ∴EB∥DC，
∴∠EBC+∠DCB=180°， ∴∠EBC=∠DCB=90°， 四边形BCDE是矩形．
【总结升华】本题主要考查矩形的判定，证明对角线相等的平行四边形是矩形，解题的关键是熟练掌握矩形的判定方法． 举一反三： 【变式】（2016?云南模拟）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，并且∠A=∠D． （1）求证：四边形ABCD是矩形．
（2）点E是AB边的中点，F为AD边上一点，∠1=2∠2，若CE=4，CF=5，求DF的长.
【答案】
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠A+∠D=180°， 又∠A=∠D，
∴∠A=∠D=90°，
∴四边形ABCD是矩形；
（2）解：延长DA，CE交于点G，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAB=∠B=90°，AD∥BC， ∴∠GAE=90°，∠G=∠ECB， ∵E是AB的中点， ∴AG=BE，
??G??ECB?在△AGE和△BCE中，??GAE??B
?AE?BE?∴△AGE≌△BCE（AAS） ∴AG=BC，
设DF=x，则CD?CF?DF?CG?DG 即5?x?8??5?x?
22222222277，即DF?． 55类型三、直角三角形斜边上的中线的性质
解得：x?资料来源于网络 仅供免费交流使用
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4、如图所示，BD、CE是△ABC两边上的高，G、F分别是BC、DE的中点．
求证：FG⊥DE．
【答案与解析】
证明：连接EG、DG，∵ CE是高， ∴ CE⊥AB．
∵ 在Rt△CEB中，G是BC的中点， ∴ EG＝
11BC，同理DG＝BC． 22 ∴ EG＝DG．
又∵ F是ED的中点， ∴ FG⊥DE． 【总结升华】直角三角形斜边中线的性质是依据矩形的对角线互相平分且相等推出来的．根据这个性质．又可以推出直角三角形的斜边上的中线把直角三角形分成了两个等腰三角形．温馨提示：若题目中给出直角三角形斜边上的中点，常设法用此性质解决问题． 举一反三：
【 特殊的平行四边形（矩形） 例11】
【变式】如图，∠MON＝90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM，ON上，当B在边ON上
运动时，A随之在边OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB＝2，BC＝1，运动过程中，点D到点O的最大距离为（ ）
A.2?1 B.5 C.1455 D. 52
【答案】A；
解：如图，取AB的中点E，连接OE、DE、OD，
∵OD≤OE＋DE，
∴当O、D、E三点共线时，点D到点O的距离最大， 此时，∵AB＝2，BC＝1，
∴OE＝AE＝
1AB＝1， 2资料来源于网络 仅供免费交流使用
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DE＝AD2?AE2?12?12?2，
∴OD的最大值为：2?1.
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知识点梳理及重点题型巩固练习
【巩固练习】 一.选择题
1.下列关于矩形的说法中正确的是( )
A．对角线相等的四边形是矩形 B．对角线互相平分的四边形是矩形 C．矩形的对角线互相垂直且平分 D．矩形的对角线相等且互相平分
2. 矩形一个角的平分线分矩形一边为1cm和3cm两部分，则它的面积为（ ）
A.3cm2
B. 4cm C. 12cm D. 4cm或12cm
22223.（2016春?青浦区期末）已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，延长BA到点E，使AE=AB，联结ED，EC，AC，添加一个条件，能使四边形ACDE成为矩形的是（ ）
A．AC=CD B．AB=AD C．AD=AE D．BC=CE
4. 把一张长方形的纸片按如图所示的方式折叠,EM、FM为折痕,折叠后的C点落在B′M或B′M的延长线上,那么∠EMF的度数是( )
A.85° B.90° C.95° D.100° 5．如图，四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝∠CDA＝90°，BE⊥AD于点E，且四边形ABCD的面积为8，则BE＝( )
A.2
B.3 C.22 D.23
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6. 矩形的面积为120cm，周长为46cm，则它的对角线长为（ ）
A.15cm B.16cm C.17cm D.18cm 二.填空题
7．如图，四边形ABCD是一张矩形纸片，AD＝2AB，若沿过点D的折痕DE将A角翻折，使点A落在BC上的A1处，则∠EA1B＝______°.
2
8．如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，对角线AC的垂直平分线分别交AD，BC于点E、F，连结CE，则CE的长______．
9. 如图所示，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOD＝120°，AB＝4cm，则矩形对角线AC长为________cm．
10.（2016·黄冈）如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边CD、BC上，DC=3DE=3a，将矩形沿直线EF折叠，使点C恰好落在AD边上的点P处，则FP=_______.
11.（2015?南漳县模拟）矩形ABCD的∠A的平分线AE分BC成两部分的比为1：3，若矩形
ABCD的面积为36，则其周长为 ．
12.如图所示，将矩形ABCD沿AE向上折叠，使点B落在DC边上的F处，若△AFD的周长
为9，△ECF的周长为3，则矩形ABCD的周长为___________.
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三.解答题 13．（2015?铁力市二模）如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC于点E；PF⊥CD于点F，连接EF，给出下列五个结论：①AP=EF；②AP⊥EF；③∠PFE=∠BAP；④PD=EC；
222
⑤PB+PD=2PA，正确的有几个？
14.已知：如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，BE⊥AC于E，DF⊥AC于F，点O既是AC的中点，又是EF的中点． （1）求证：△BOE≌△DOF；
（2）若OA＝
1BD，则四边形ABCD是什么特殊四边形？说明理由． 2
15.已知：如图，在矩形ABCD中，E、F分别是边BC、AB上的点，且EF＝ED，EF⊥ED． 求证：AE平分∠BAD．
【答案与解析】 一.选择题 1.【答案】D； 2.【答案】D；
【解析】矩形的短边可能是1，也可能是3，所以面积为4×1或4×3. 3.【答案】D；
【解析】添加一个条件BC=CE.
理由：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥CD且AB=CD，
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∵AE=AB，∴AE∥CD且AE=CD，∴四边形DEAC为平行四边形， ∵BC=EC，AE=AB，∴∠EAC=90°，∴平行四边形ACDE是矩形.
4.【答案】B；
【解析】∠EMF＝∠EMB′＋∠FMB′＝
111∠BMC′＋∠CMC′＝×180°＝90°. 2225．【答案】C；
【解析】过点C做BE垂线，垂足为F，易证△BAE≌△CBF，所以BF＝AE，BE＝CF，所以
2总面积＝AE×BE＋CF×EF＝ AE×BE＋BE×（BE－AE）＝BE?8，BE?22.
6.【答案】C；
【解析】设边长为a、b，则a?b?23,ab?120,解得a?b?289，所以对角线为
22289?17.
二.填空题 7．【答案】60°；
【解析】AD＝A1D＝2CD，所以∠CA1D＝30°，∠EA1B＝60°. 8.【答案】
13； 6222 【解析】设AE＝CE＝x，DE＝3?x，x??3?x??2，x?13. 69.【答案】8；
【解析】由矩形的性质可知△AOB是等边三角形，∴ AC＝2AO＝2AB＝8cm． 10.【答案】23a；
【解析】作FM⊥AD于M，如图所示：
则MF=DC=3a，由题意可得：CE=2a，
由折叠可得：PE=CE=2a=2DE，∠EPF=∠C=90°， ∴∠DPE=30°，∴∠MPF=60°，∠MFP=30°，∴FP=11.【答案】30或10
；
3a?2?23a. 3资料来源于网络 仅供免费交流使用
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【解析】∵AE平分∠DAB，
∴∠DAE=∠EAB，
∵四边形ABCD是矩形， ∴AD=BC，DC=AB，AD∥BC， ∴∠DEA=∠BEA， ∴∠EAB=∠BEA， ∴AB=BE，
①设BE=x，CE=3x，则AD=4x，AB=x， ∵矩形ABCD的面积为36， ∴x?4x=36，
解得：x=3（舍负），
即AD=BC=4x=12，AB=CD=x=3，
∴矩形的周长为：AB+BC+CD+AD=2×（3+12）=30； ②设BE=3x，CE=x，则AD=4x，AB=3x， ∵矩形ABCD的面积为36， ∴3x?4x=36， 解得：x=
（舍负）
， 即AD=BC=4x=4，AB=CD=x=，
∴矩形的周长为：AB+BC+CD+AD=2×（4+）=10；
故答案为：30或10．
12.【答案】12；
【解析】设BE＝EF＝x，CE＝b，CF＝a，DF＝y，则x?b?y?y?a?x9?,a?b?解得y?3，矩形ABCD的周长＝2?y?a?x?b??2??3?3??12.
三.解答题 13.【解析】
解：①正确，连接PC，可得PC=EF，PC=PA，∴AP=EF；
②正确；延长AP，交EF于点N，则∠EPN=∠BAP=∠PCE=∠PFE，可得AP⊥EF； ③正确；∠PFE=∠PCE=∠BAP； ④错误，PD=
PF=
CE；
⑤正确，PB2
+PD2
=2PA2
．
所以正确的有4个：①②③⑤. 14.【解析】
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3，
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（1）证明：∵BE⊥AC．DF⊥AC，
∴∠BEO＝∠DFO＝90°， ∵点O是EF的中点， ∴OE＝OF，
又∵∠DOF＝∠BOE， ∴△BOE≌△DOF（ASA）；
（2）解：四边形ABCD是矩形．理由如下：
∵△BOE≌△DOF， ∴OB＝OD， 又∵OA＝OC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵OA＝
11BD，OA＝AC， 22∴BD＝AC，
∴ABCD是矩形．
15.【解析】
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠C＝∠BAD＝90°，AB＝CD， ∴∠BEF＋∠BFE＝90°． ∵EF⊥ED，
∴∠BEF＋∠CED＝90°． ∴∠BFE＝∠CED． 又∵EF＝ED， ∴△EBF≌△DCE． ∴BE＝CD．
∴BE＝AB．∴∠BAE＝∠BEA＝45°． ∴∠EAD＝45°． ∴∠BAE＝∠EAD． ∴AE平分∠BAD．
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菱形（提高）
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1. 理解菱形的概念.
2. 掌握菱形的性质定理及判定定理． 【要点梳理】
要点一、菱形的定义
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
要点诠释：菱形的定义的两个要素：①是平行四边形.②有一组邻边相等.即菱形是一个平行四边形，然后增加一对邻边相等这个特殊条件. 要点二、菱形的性质
菱形除了具有平行四边形的一切性质外，还有一些特殊性质： 1.菱形的四条边都相等；
2.菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角. 3.菱形也是轴对称图形，有两条对称轴（对角线所在的直线），对称轴的交点就是对称中心. 要点诠释：（1）菱形是特殊的平行四边形，是中心对称图形，过中心的任意直线可将
菱形分成完全全等的两部分.
（2）菱形的面积由两种计算方法：一种是平行四边形的面积公式：底×高；
另一种是两条对角线乘积的一半（即四个小直角三角形面积之和）.实际上，任何一个对角线互相垂直的四边形的面积都是两条对角线乘积的一半.
（3）菱形可以用来证明线段相等，角相等，直线平行，垂直及有关计算问
题.
要点三、菱形的判定
菱形的判定方法有三种：
1.定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形. 2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 3.四条边相等的四边形是菱形. 要点诠释：前两种方法都是在平行四边形的基础上外加一个条件来判定菱形，后一种方法是在四边形的基础上加上四条边相等. 【典型例题】
类型一、菱形的性质
1、如图所示，菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，∠B＝∠EAF＝60°，∠BAE＝18°．求∠CEF的度数．
【思路点拨】由已知∠B＝60°，∠BAE＝18°，则∠AEC＝78°．欲求∠CEF的度数，只要求出∠AEF的度数即可，由∠EAF＝60°，结合已知条件易证△AEF为等边三角形，从而∠AEF＝60°．
【答案与解析】 解：连接AC．
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∵ 四边形ABCD是菱形， ∴ AB＝BC，∠ACB＝∠ACF． 又∵ ∠B＝60°，
∴ △ABC是等边三角形．
∴ ∠BAC＝∠ACB＝60°，AB＝AC． ∴ ∠ACF＝∠B＝60°． 又∵ ∠EAF＝∠BAC＝60° ∴ ∠BAE＝∠CAF． ∴ △ABE≌△ACF． ∴ AE＝AF．
∴ △AEF为等边三角形． ∴ ∠AEF＝60°．
又∵ ∠AEF＋∠CEF＝∠B＋∠BAE，∠BAE＝18°， ∴ ∠CEF＝18°．
【总结升华】当菱形有一个内角为60°时，连接菱形较短的对角线得到两个等边三角形，有助于求相关角的度数．在求角的度数时，一定要注意已知角与所求角之间的联系． 2、（2016?龙岩）如图，在周长为12的菱形ABCD中，AE=1，AF=2，若P为对角线BD上一动点，则EP+FP的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【思路点拨】作F点关于BD的对称点F′，则PF=PF′，由两点之间线段最短可知当E、P、F′在一条直线上时，EP+FP有最小值，然后求得EF′的长度即可． 【答案】C． 【解析】
解：作F点关于BD的对称点F′，则PF=PF′，连接EF′交BD于点P． ∴EP+FP=EP+F′P．
由两点之间线段最短可知：当E、P、F′在一条直线上时，EP+FP的值最小，此时EP+FP=EP+F′P=EF′．
∵四边形ABCD为菱形，周长为12， ∴AB=BC=CD=DA=3，AB∥CD， ∵AF=2，AE=1， ∴DF=AE=1，
∴四边形AEF′D是平行四边形， ∴EF′=AD=3．
∴EP+FP的最小值为3． 故选：C．
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【总结升华】本题主要考查的是菱形的性质、轴对称﹣﹣路径最短问题，明确当E、P、F′在一条直线上时EP+FP有最小值是解题的关键． 举一反三：
【变式】（2015春?潍坊期中）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E是AB的中点，如果EO=2，求四边形ABCD的周长．
【答案】
解：∵四边形ABCD为菱形， ∴BO=DO，即O为BD的中点， 又∵E是AB的中点，
∴EO是△ABD的中位线， ∴AD=2EO=2×2=4，
∴菱形ABCD的周长=4AD=4×4=16． 类型二、菱形的判定
3、（2014春?郑州校级月考）如图，在等边三角形ABC中，BC=6cm，射线AG∥BC，点E从点A出发沿射线AG以lcm/s的速度运动，同时点F从点B出发沿线射BC以2cm/s的速度运动，设运动时间为t（s）．
（1）连接EF，当EF经过AC边的中点D时，求证：△ADE≌△CDF； （2）当t为多少时，四边形ACFE是菱形．
【思路点拨】（1）由题意得到AD=CD，再由AG与BC平行，利用两直线平行内错角相等得到两对角相等，利用AAS即可得证；
（2）若四边形ACFE是菱形，则有CF=AC=AE=6，由E的速度求出E运动的时间即可． 【答案与解析】
（1）证明：∵AG∥BC，
∴∠EAD=∠DCF，∠AED=∠DFC， ∵D为AC的中点， ∴AD=CD，
在△ADE和△CDF中，
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，
∴△ADE≌△CDF（AAS）；
（2）解：①若四边形ACFE是菱形，则有CF=AC=AE=6， 则此时的时间t=6÷1=6（s）． 故答案为：6s．
【总结升华】此题考查了菱形的判定，全等三角形的判定与性质等知识，弄清题意是解本题的关键.
举一反三：
【变式】已知，在△ABC中，AB＝AC＝a，M为底边BC上任意一点，过点M分别作AB、AC的平行线交AC于P，交AB于Q. ⑴求四边形AQMP的周长；
⑵M位于BC的什么位置时，四边形AQMP为菱形？说明你的理由.
【答案】 解：（1）∵MQ∥AP，MP∥AQ，
∴四边形AQMP是平行四边形 ∴QM＝AP
又∵AB＝AC，MP∥AQ，
∴∠2＝∠C，△PMC是等腰三角形，PM＝PC ∴QM＋PM＝AP＋PC＝AC＝a ∴四边形AQMP的周长为2a
（2）M位于BC的中点时，四边形AQMP为菱形.
∵M位于BC的中点时,易证△QBM与△PCM全等, ∴QM＝PM,
∴四边形AQMP为菱形
类型三、菱形的综合应用
4、如图所示，菱形ABCD中，AB＝4，∠ABC＝60°，∠EAF＝60°，∠EAF的两边分别交BC、CD于E、F．
(1)当点E、F分别在边BC、CD上时，求CE＋CF的值．
(2)当点E、F分别在CB、DC的延长线时，CE、CF又存在怎样的关系，并证明你的结论．
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【思路点拨】(1)由菱形的性质可知AB＝BC，而∠ABC＝60°，即联想到△ABC为等边三角形，∠BAC＝60°，又∠EAF＝60°，所以∠BAE＝∠CAF，可证△BAE≌△CAF，得到BE＝CF，所以CE+CF＝BC．(2)思路基本与(1)相同但结果有些变化． 【答案与解析】 解：(1)连接AC．
在菱形ABCD中，BC＝AB＝4，AB∥CD．
∵ ∠ABC＝60°，∴ AB＝AC＝BC，∠BAC＝∠ACB＝60°． ∴ ∠ACF＝60°，即∠ACF＝∠B．
∵ ∠EAF＝60°，∠BAC＝60°， ∴ ∠BAE＝∠CAF．
∴ △ABE≌△ACF(ASA)， ∴ BE＝CF．
∴ CE＋CF＝CE＋BE＝BC＝4．
(2)CE－CF＝4．连接AC如图所示．
∵ ∠BAC＝∠EAF＝60°， ∴ ∠EAB＝∠FAC．
∵ ∠ABC＝∠ACD＝60°， ∴ ∠ABE＝∠ACF＝120°． ∵ AB＝AC，
∴ △ABE≌△ACF(ASA)， ∴ BE＝CF．
∴ CE－CF＝CE－BE＝BC＝4．
【总结升华】(1)菱形的性质的主要应用是证明角相等、线段相等、两直线平行、两线段互相垂直、互相平分等．(2)注意菱形中的60°角的特殊性，它让菱形这个特殊的平行四边形变得更加特殊，常与等边三角形发生联系．
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重难点突破
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知识点梳理及重点题型巩固练习
【巩固练习】
一.选择题
1.下列命题中，正确的是( ) A.两邻边相等的四边形是菱形
B.一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形 C.对角线垂直且一组邻边相等的四边形是菱形 D.对角线垂直的四边形是菱形
2. 菱形的周长为高的8倍，则它的一组邻角是（ ）
A.30°和150° B.45°和135° C.60°和120° D.80°和100° 3．已知菱形的周长为40cm，两条对角线的长度比为3：4，那么两条对角线的长分别为（ ）
A．6cm，8cm B. 3cm，4cm C. 12cm，16cm D. 24cm，32cm
4. （2015?青神县一模）如图，在菱形ABCD中，∠ADC=72°，AD的垂直平分线交对角线BD于点P，垂足为E，连接CP，则∠CPB的度数是（ ）
A.108° B.72° C.90° D.100°
5. （2016?枣庄）如图，四边形ABCD是菱形，AC=8，DB=6，DH⊥AB于H，则DH等于（ ）
A．
B．
C．5
D．4
6. 如图，菱形ABCD和菱形ECGF的边长分别为2和3，∠A＝120°，则图中阴影部分的面积是（ ） A.3 B.2 C.3 D.2
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二.填空题 7. （2015?江西三模）将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF．若AB=3，则BC的长为 ．
8．如图，已知菱形ABCD，其顶点A、B在数轴上对应的数分别为－4和1，则BC＝_____.
9．如图，菱形ABCD的边长是2cm，E是AB中点， 且DE⊥AB，则菱形ABCD的面积为
______cm.
2
10．已知菱形ABCD的周长为20cm，且相邻两内角之比是1∶2，则菱形的两条对角线的长
和面积分别是 ．
11. 如图,菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC＝8，BD＝6，过点O作OH⊥AB，垂
足为H，则点O到边AB的距离OH＝ ．
12.如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC＝12，BD＝16，E为AD中点，点
P在x轴上移动，小明同学写出了两个使△POE为等腰三角形的P点坐标（－5，0）和（5，0）．请你写出其余所有符合这个条件的P点坐标__________________.
三.解答题
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13. （2015?建湖县一模）如图，△ABC中，∠ACB=60°，分别以△ABC的两边向形外作等边△BCE、等边△ACF，过A作AM∥FC交BC于点M，连接EM． 求证：（1）四边形AMCF是菱形； （2）△ACB≌△MCE．
14. （2016?安顺）如图，在?ABCD中，BC=2AB=4，点E、F分别是BC、AD的中点． （1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）当四边形AECF为菱形时，求出该菱形的面积．
15．如图，菱形ABCD的边长为2，BD＝2，E、F分别是边AD，CD上的两个动点（不与端点重合），且满足AE＋CF＝2．
(1)求证：△BDE≌△BCF；
(2)判断△BEF的形状，并说明理由；
(3)设△BEF的面积为S，求S的取值范围．
【答案与解析】
一.选择题 1.【答案】B； 2.【答案】A；
【解析】由题意可知边长是高的2倍，所以一个内角为30°，另一个内角为150°. 3.【答案】C；
【解析】设两条对角线的长为6k,8k.所以有?3k???4k??102，∴k?2，所以两条对角线的长为12 ，16.
4.【答案】B；
【解析】连接PA，如图所示：
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∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ADP=∠CDP=∠ADC=36°，BD所在直线是菱形的对称轴， ∴PA=PC，
∵AD的垂直平分线交对角线BD于点P， ∴PA=PD， ∴PD=PC，
∴∠PCD=∠CDP=36°，
∴∠CPB=∠PCD+∠CDP=72°； 故选：B． 5.【答案】A.
【解析】∵四边形ABCD是菱形， ∴AO=OC，BO=OD，AC⊥BD， ∵AC=8，DB=6，
∴AO=4，OB=3，∠AOB=90°， 由勾股定理得：AB=∵S菱形ABCD=∴∴DH=故选A．
，
，
=5，
，
6.【答案】A；
3阴影部分面积＝两个菱形面积－△ABD面积－△DEF3，29315面积－△BGF面积＝23?3?3?3?3?3.
244 【解析】菱形的高分别是3和二.填空题
7.【答案】． ；
【解析】∵AECF为菱形，∴∠FCO=∠ECO，
由折叠的性质可知，∠ECO=∠BCE，又∠FCO+∠ECO+∠BCE=90°， ∴∠FCO=∠ECO=∠BCE=30°，
在Rt△EBC中，EC=2EB，又EC=AE，
AB=AE+EB=3，∴EB=1，EC=2，∴BC=. 8.【答案】5；
【解析】菱形四条边相等.
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9.【答案】23；
【解析】由题意∠A＝60°，DE＝3.
10.【答案】5；53；
253； 2 【解析】菱形一个内角为60°，边长为5，所以两条对角线长为5和53，面积为
125?5?53?3. 221211.【答案】；
5AO?BO4?312??. 【解析】OH?AB5512.【答案】?8,0?,??25?,0?； ?8?【解析】由在菱形ABCD中，AC＝12，BD＝16，E为AD中点，根据菱形的性质与直角三
角形的性质，易求得OE的长，然后分别从①当OP＝OE时，②当OE＝PE时，③当OP＝EP时去分析求解即可求得答案．
三.解答题 13.【解析】 证明：（1）∵△ACF是等边三角形， ∴∠FAC=∠ACF=60°，AC=CF=AF， ∵∠ACB=60°， ∴∠ACB=∠FAC， ∴AF∥BC， ∵AM∥FC，
∴四边形AMCF是平行四边形， ∵AM∥FC，∠ACB=∠ACF=60°， ∴∠AMC=60°， 又∵∠ACB=60°，
∴△AMC是等边三角形， ∴AM=MC，
∴四边形AMCF是菱形；
（2）∵△BCE是等边三角形， ∴BC=EC，
在△ABC和△MEC中 ∵
，
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∴△ABC≌△MEC（SAS）．
14.【解析】
（1）证明：∵在?ABCD中，AB=CD， ∴BC=AD，∠ABC=∠CDA． 又∵BE=EC=BC，AF=DF=AD， ∴BE=DF．
∴△ABE≌△CDF．
（2）解：∵四边形AECF为菱形时， ∴AE=EC．
又∵点E是边BC的中点， ∴BE=EC，即BE=AE． 又BC=2AB=4， ∴AB=BC=BE，
∴AB=BE=AE，即△ABE为等边三角形， ?ABCD的BC边上的高可由勾股定理算得为∴菱形AECF的面积为2．
，
15．【解析】 解：（1）∵AE＋CF＝2＝CD＝DF＋CF ∴AE＝DF，DE＝CF， ∵AB＝BD
∴∠A＝∠ADB＝60° 在△BDE与△BCF中
?BD?BC???ADB??C ?DE?CF?∴△BDE≌△BCF
（2）由（1）得BE＝BF，∠EBD＝∠CBF
∴∠EBF＝∠EBD＋∠DBF＝∠DBF＋∠CBF＝∠CBD＝60°
∴△BEF是等边三角形
(3)∵3≤△BEF的边长＜2
∴332(3)2?S?(2) 44资料来源于网络 仅供免费交流使用
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∴
33?S?3. 4苏教版八年级下册数学
重难点突破
知识点梳理及重点题型巩固练习
正方形（提高）
【学习目标】
1．理解正方形的概念，了解平行四边形、矩形及菱形与正方形的概念之间的从属关系； 2．掌握正方形的性质及判定方法． 【要点梳理】
要点一、正方形的定义
四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形.
要点诠释：既是矩形又是菱形的四边形是正方形，它是特殊的菱形，又是特殊的矩形，更为特殊的平行四边形，正方形是有一组邻边相等的矩形，还是有一个角是直角的菱形. 要点二、正方形的性质
正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质. 1.边——四边相等、邻边垂直、对边平行； 2.角——四个角都是直角；
3.对角线——①相等，②互相垂直平分，③每条对角线平分一组对角；
4.是轴对称图形，有4条对称轴；又是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心. 要点诠释：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质，其对角线将正方形分为四个等腰直角三角形. 要点三、正方形的判定
正方形的判定除定义外，判定思路有两条：或先证四边形是菱形，再证明它有一个角是直角或对角线相等（即矩形）；或先证四边形是矩形，再证明它有一组邻边相等或对角线互相垂直（即菱形）.
要点四、特殊平行四边形之间的关系
或者可表示为：
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【典型例题】
类型一、正方形的性质
1、如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F分别在OD、OC上，且
DE＝CF，连接DF、AE，AE的延长线交DF于点M． 求证：AM⊥DF．
【思路点拨】根据DE＝CF，可得出OE＝OF，继而证明△AOE≌△DOF，得出∠OAE＝∠ODF，然后利用等角代换可得出∠DME＝90°，即得出了结论． 【答案与解析】
证明：∵ABCD是正方形，
∴OD＝OC， 又∵DE＝CF，
∴OD－DE＝OC－CF，即OE＝OF， 在Rt△AOE和Rt△DOF中，
?AO?DO???AOD??DOF， ?OE?OF?∴△AOE≌△DOF， ∴∠OAE＝∠ODF，
∵∠OAE＋∠AEO＝90°，∠AEO＝∠DEM， ∴∠ODF＋∠DEM＝90°， 即可得AM⊥DF．
【总结升华】此题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是通过全等的证明得出∠OAE＝∠ODF，利用等角代换解题． 举一反三：
【变式1】如图四边形ABCD是正方形，点E、K分别在BC，AB上，点G在BA的延长线上，
且CE＝BK＝AG．以线段DE、DG为边作DEFG．
(1)求证：DE＝DG，且DE⊥DG．
(2)连接KF，猜想四边形CEFK是怎样的特殊四边形，并证明你的猜想．
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【答案】
证明：(1)∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ DC＝DA，∠DCE＝∠DAG＝90°． 又∵ CE＝AG，
∴ △DCE≌△DAG，
∴ ∠EDC＝∠GDA，DE＝DG．
又∵ ∠ADE＋∠EDC＝90°， ∴ ∠ADE＋∠GDA＝90°，
∴ DE⊥DG．
(2)四边形CEFK为平行四边形． 证明：设CK，DE相交于M点，
∵ 四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形， ∴ AB∥CD，AB＝CD，EF＝DG，EF∥DG； ∵ BK＝AG，∴ KG＝AB＝CD． ∴ 四边形CKGD为平行四边形． ∴ CK＝DG＝EF，CK∥DG∥EF ∴ 四边形CEFK为平行四边形． 【 417083 正方形 例9】
【变式2】如图，三个边长均为2的正方形重叠在一起，O1、O2是其中两个正方形的中心，则阴影部分的面积是_______．
【答案】2；
提示：阴影部分面积等于正方形面积的一半.
类型二、正方形的判定
2、（2016?普宁市模拟）如图，矩形ABCD中，AD=6，DC=8，菱形EFGH的三个顶点E、G、H分別在矩形ABCD的边AB、CD、DA上，AH=2． （1）已知DG=6，求AE的长；
（2）已知DG=2，求证：四边形EFGH为正方形．
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【思路点拨】（1）先根据矩形的性质，利用勾股定理列出表达式：HG=DH+DG，HE=AH+AE，再根据菱形的性质，得到等式DH+DG=AH+AE，最后计算AE的长；
（2）先根据已知条件，用HL判定Rt△DHG≌Rt△AEH，得到菱形的一组邻边相等，进而判2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
定该菱形为正方形． 【答案与解析】 解：（1）∵AD=6，AH=2 ∴DH=AD﹣AH=4 ∵四边形ABCD是矩形 ∴∠A=∠D=90°
∴在Rt△DHG中，HG2
=DH2
+DG2 在Rt△AEH中，HE2
=AH2
+AE2
∵四边形EFGH是菱形 ∴HG=HE
∴DH2
+DG2
=AH2
+AE2 即42
+62
=22
+AE2
∴AE=
=4
（2）∵AH=2，DG=2 ∴AH=DG
∵四边形EFGH是菱形 ∴HG=HE
在Rt△DHG和Rt△AEH中
∴Rt△DHG≌Rt△AEH（HL） ∴∠DHG=∠AEH ∵∠AEH+∠AHE=90° ∴∠DHG+∠AHE=90°
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∴∠GHE=90° ∵四边形EFGH是菱形 ∴四边形EFGH是正方形
【总结升华】本题主要考查了矩形、菱形的性质以及正方形的判定，解决问题的关键是掌握：矩形的四个角都是直角，菱形的四条边都线段，有一组邻边相等的菱形是正方形．在解题时注意，求直角三角形的边长时，一般都需要考虑运用勾股定理进行求解．
举一反三： 【变式】（2015春?上城区期末）如图，矩形ABCD中，AD=6，DC=8，菱形EFGH的三个顶点E，G，H分别在矩形ABCD的边AB，CD，DA上，AH=2，连结CF． （1）若DG=2，求证：四边形EFGH为正方形； （2）若DG=6，求△FCG的面积．
【答案】
（1）证明：∵四边形EFGH为菱形，
∴HG=EH，
∵AH=2，DG=2， ∴DG=AH，
在Rt△DHG和△AEH中，
，
∴Rt△DHG≌△AEH， ∴∠DHG=∠AEH，
∵∠AEH+∠AHG=90°， ∴∠DHG+∠AHG=90°， ∴∠GHE=90°，
∵四边形EFGH为菱形， ∴四边形EFGH为正方形；
（2）解：作FQ⊥CD于Q，连结GE，如图，
∵四边形ABCD为矩形， ∴AB∥CD，
∴∠AEG=∠QGE，即∠AEH+∠HEG=∠QGF+∠FGE，
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∵四边形EFGH为菱形， ∴HE=GF，HE∥GF， ∴∠HEG=∠FGE， ∴∠AEH=∠QGF， 在△AEH和△QGF中
，
∴△AEH≌△QGF， ∴AH=QF=2， ∵DG=6，CD=8， ∴CG=2，
∴△FCG的面积=CG?FQ=×2×2=2． 类型三、正方形综合应用
3、E、F分别是正方形ABCD的边AD和CD上的点，若∠EBF＝45°． (1)求证：AE＋CF＝EF．
(2)若E点、F点分别是边DA、CD的延长线上的点，结论（1）仍成立吗？若成立，请证明，若不成立，写出正确结论并加以证明．
【答案与解析】 证明：（1）延长DC，使CH＝AE，连接BH， ∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ ∠A＝∠BCH＝90°，又AB＝BC，CH＝AE， ∴ Rt△BAE≌Rt△BCH， ∴ ∠1＝∠2，BE＝BH．
又∵ ∠1＋∠3＋∠4＝90°，∠4＝45°， ∴ ∠1＋∠3＝45°，∠2＋∠3＝45°，
?BE?BH,?在△EBF和△HBF中，??EBF??HBF,
?BF?BF,?∴ △EBF≌△HBF，
∴ EF＝FH＝FC＋CH＝AE＋CF．即AE＋CF＝EF． (2)如图所示：不成立，正确结论：EF＝CF－AE． 证明：在CF上截取CH＝AE，连接BH．
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∵ 四边形ABCD是正方形， ∴ 在Rt△EAB和Rt△HCB中，
?AE?CH,???EAB??HCB?90°, ?AB?BC,?∴ Rt△EAB≌Rt△HCB， ∴ BE＝BH，∠EBA＝∠HBC．
∵ ∠HBC ＋∠ABH＝90°，∴ ∠EBA ＋∠ABH＝90°． 又∵ ∠EBF＝45°，∴ ∠HBF＝45°， 即∠EBF＝∠HBF．
?BE?BH,?在△EBF和△HBF中??EBF??HBF,
?BF?BF,?∴ △EBF≌△HBF，
∴ EF＝FH＝CF－CH＝CF－AE，即EF＝CF－AE．
【总结升华】本题主要考察正方形的性质，全等三角形的性质和判定，关键在于用“截长补短”的方法正确地作出辅助线.
4、如图①所示，已知A、B为直线l上两点，点C为直线l上方一动点，连接AC、BC，
分别以AC、BC为边向△ABC外作正方形CADF和正方形CBEG，过点D作DD1⊥l于点D1，过点E作EE1⊥l于点E1．
（1）如图②，当点E恰好在直线l上时（此时E1与E重合），试说明DD1＝AB； （2）在图①中，当D、E两点都在直线l的上方时，试探求三条线段DD1、EE1、
AB之间的数量关系，并说明理由；
（3）如图③，当点E在直线l的下方时，请直接写出三条线段DD1、EE1、AB之
间的数量关系．（不需要证明）
【答案与解析】
（1）证明：∵四边形CADF、CBEG是正方形，
∴AD＝CA，∠DAC＝∠ABC＝90°，
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∴∠DAD1＋∠CAB＝90°， ∵DD1⊥AB，
∴∠DD1A＝∠ABC＝90°， ∴∠DAD1＋∠ADD1＝90°， ∴∠ADD1＝∠CAB， 在△ADD1和△CAB中，
??DD1A??ABC???ADD1??CAB， ?AD?CA?∴△ADD1≌△CAB（AAS）， ∴DD1＝AB；
（2）解：AB＝DD1＋EE1． 证明：过点C作CH⊥AB于H， ∵DD1⊥AB，
∴∠DD1A＝∠CHA＝90°， ∴∠DAD1＋∠ADD1＝90°， ∵四边形CADF是正方形， ∴AD＝CA，∠DAC＝90°， ∴∠DAD1＋∠CAH＝90°， ∴∠ADD1＝∠CAH， 在△ADD1和△CAH中，
??DD1A??CHA???ADD1??CAH， ?AD?CA?∴△ADD1≌△CAH（AAS）， ∴DD1＝AH；
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