“三个二次”一家亲

“三个二次”一家亲

——轻松破解以二次函数为主的代数综合题

一元二次方程、一元二次不等式、二次函数三者之间具有亲密的关系，它们的美丽邂逅构成了中考代数部分的综合大题．其中，二次函数与x轴的交点与一元二次方程之间的关系更是各地中考必考内容．

三者的关系表：

y?ax2?bx?c ax2?bx?c?0 （a?0） （a?0） 一元二次方程 抛物线与x轴交点 ax2?bx?c?0 （或ax?bx?c?0）（a?0） 一元二次不等式 抛物线在x轴上方（或下方）的部分 2从数上 从形上 函数 抛物线

数形结合理解“三个二次”：

1、若a?0，则可以得到下表：

??0 ??0 ??0 y?ax2?bx?c 此方程无实根 ax2?bx?c?0 ax2?bx?c?0 ax2?bx?c?0

x?x1或x?x2 x?x1?x2 x?x1 x?x2或x?x1 x1?x?x2 ax2?bx?c?0 恒成立 无实根 无实根 6

2、若a?0时，可以得到下表：

??0 ??0 ??0 y?ax2?bx?c x?x1或ax2?bx?c?0 x?x2 x?x1?x2 此方程无实根 ax2?bx?c?0 x1?x?x2 无实根 无实根 x?x2或ax?bx?c?0 x?x1

2x?x1 ax2?bx?c?0 恒成立 例1：已知二次函数y?2x?(2a?b)x?b，当且仅当1?x?2时，y?0.则二次函数解析式_____________________.

2例2： 关于x方程x?x?n?0没有实数根，则抛物线y?x?x?n的顶点在第____

22象限.

解法一：代数方法：

2关于x方程x?x?n?0没有实数根???(?1)?4(?n)?0，得到1?4n?0．而

22抛物线y?x?x?n的顶点坐标为(,?解法二：数形结合：

121?4n)，即可得到答案 42关于x方程x?x?n?0没有实数根?抛物线y?x?x?n与x轴无交点，又因为

2a?1?0，所以图象开口向上，并且在x轴上方，又对称轴为x?

1，即可得出答案． 2例3 ：若m、n(m?n)是关于x的方程1?(x?a)(x?b)?0的两根，且a?b， 则

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a、b、m、n 的大小关系是 ．

分析：解读条件若m、n(m?n)是关于x的方程1?(x?a)(x?b)?0的两根：

?(m?a)(m?b)?1,①等价于将m、n代入满足方程1?(x?a)(x?b)?0，即?，引出

(n?a)(n?b)?1.?解法一：(m?a)、(m?b);(n?a)、(n?b)必须同号，排除法即可得到答案.

②等价于（m,0),(n,0)为二次函数y?1?(x?a)(x?b)与x轴的交点坐标.引出解法二：二次函数y?1?(x?a)(x?b)的图像是将抛物线y??(x?a)(x?b)向上平移1个单位长度得到的，而(a,0),(b,0)是抛物线y??(x?a)(x?b)与x轴的交点坐标，根据图像得到答案.

变式练习：设一元二次方程?x?1??x?2??m?m?0?的两实根分别为?，?，则?，

maOby=(x-a)(x-b)ny=1-(x-a)(x-b)yx?满足（ ）

A.1?????2 B.1???2?? C.??1???2 D.??1且??2

2例4：关于x的方程a(x?m)?b?0的解是x1??2，x2?1（a，m，b均为常数，2，则方程a(x?m?2)?b?0的解是 ． a?0）

2?x?1?1?x?3????例5：已知函数y??，则使y?k成立的x值恰好有三个，则k的

2???x?5??1?x?3?值为 ．

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(3,3)y=ky

例6：二次函数y?ax?bx?c(a?0)的图象如图所示，根据图象解答下列问题： （1）写出方程ax?bx?c?0的两个根． （2）写出不等式ax?bx?c?0的解集．

（3）写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围．

（4）若方程ax?bx?c?k有两个不相等的实数根，求k的取值范围．

解：（1） x?1或3 （2） 1?x?3 （3） x?2

O 22222y211234x（4） ∵顶点?2,2?，∴抛物线解析式为y?a?x?2??2，把?1,0?代入，得a??2， ∴y??2?x?2??2??2x?8x?6，

22∴?2x?8x?6?k，即2x?8x?6?k?0有两个不相等的实数根，∴

22??8?

2?4?2?6?k??0，即k?2．

例7：已知二次函数y?ax?bx?c?a?0?的图象如图所示，有下列5个结论：

2① abc?0；② b?a?c；③ 4a?2b?c?0； ④ 2c?3b；⑤ a?b?m(am?b)（m?1的实数）． 其中正确的结论有 (填序号)

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解析：由图象知a?0，c?0，再由?b?0得b?0，故①不正确； 2a由图象得，当x??1时，y?0，即a?b?c?0，亦即b?a?c，故②不正确； 当x?2时y?0，于是有4a?2b?c?0，故③正确； 由?bbb?1，得b??2a，a??，代入b?a?c，得b???c，即2c?3b，故2a22④正确；

??2a???a?a?bb?b2b2?2b??2m?am?b??am?bm?a?m?m??a?m???????a?2a?4a4a4a??22，故⑤正确．这是从计算的角度判断的．

其实，从图象上看，⑤应该这样判断：因为对称轴为x?1，当x?1时，y?a?b?c，所以顶点坐标为?1,a?b?c?；当x?m时，y?am?bm?c，而m?1的实数，所以点

2?m,am2?bm?c?为抛物线上顶点以外的其它点；很显然此时顶点为抛物线最高点，所以

2顶点纵坐标为该函数的最大值，因而a?b?c?am?bm?c，即

a?b?am2?bm?m?am?b?．如此，借助数形结合，则⑤的判断就轻而易举了．

当然，还可以这样理解：∵b??2a，∴a?b??a，

m?am?b??am2?bm?am2?2am?a?m2?2m?， a?b?m?am?b???a?a?m2?2m???a?m?1?，

2∵m?1，a?0，∴?a?m?1??0．故⑤正确．

例8：已知抛物线y?x?kx?2234． k2（k为常数，且k?0）

（1）证明：此抛物线与x轴总有两个交点；

（2）设抛物线与x轴交于M、N两点，若这两点到原点的距离分别为OM、ON，且

1ON

?1OM?23，求k的值．

例9：已知关于x的方程x2?(m?3)x?m?4?0. （1）求证：方程总有两个实数根；

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