范围:方程(组)与不等式(组)一、 选择题(每小题3分,共24分)
1.已知a A.-a<-b B.b-a>0 C.1-a<1-b D.a2 2.关于x的一元二次方程x2 -4x+3=0的解为 ( ) A.x1=-1,x2=3 B.x1=1,x2=-3 C.x1=1,x2=3 D.x1=-1,x2=-3 3.分式方程+=1的解是 ( ) A.x=1 B.x=-1 C.x=3 D.x=-3 4.不等式x+1≥2x-1的解集在数轴上表示为 ( ) 单元测试(二) 限时:45分钟 满分:100分 图D2-1 5.某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念,全班共送1035张照片,如果全班有x名同学,根据 题意,列出方程为 ( ) A.x(x+1)=1035 B.x(x-1)=1035×2 C.x(x-1)=1035 D.2x(x+1)=1035 6.我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题:“一条竿子一条索,索比竿子长一托.折回索子来量竿,却比竿 子短一托.”其大意为:现有一根竿和一条绳索,用绳索去量竿,绳索比竿长5尺;如果将绳索对半折后再去量竿,就比竿短 5尺.设绳索长x尺,竿长y尺,则符合题意的方程组是 ( ) A. B. C. D. 7.已知3是关于x的方程x-5x+c=0的一个根,则这个方程的另一个根是 ( ) 2 A.-2 B.2 C.5 D.6 8.若关于x的一元一次不等式组 A.m>4 B.m≥4 的解集是x>3,则m的取值范围是 ( ) C.m<4 D.m≤4 二、 填空题(每小题3分,共24分) 9.不等式2x+9≥3(x+2)的正整数解是 . 10.某商品经过连续两次降价,销售单价由原来的125元降到80元,则平均每次降价的百分率为 . 11.已知是关于x,y的二元一次方程组的解,则a+b= . 12.若2n(n≠0)是关于x的方程x-2mx+2n=0的根,则m-n的值为 . 2 13.若关于x的分式方程+2 =2a无解,则a的值为 . 14.若关于x的一元二次方程x+4x-k=0有实数根,则k的取值范围是 . 15.A,B两市相距200千米,甲车从A市到B市,乙车从B市到A市,两车同时出发,已知甲车速度比乙车速度快15千米/ 时,且甲车比乙车早半小时到达目的地,若设乙车的速度是x千米/时,则根据题意,可列方程为 . 16.对于任意两个实数对(a,b)和(c,d),规定:当且仅当a=c且b=d时,(a,b)=(c,d).定义运算“?”:(a,b)?(c,d)=(ac-bd,ad+bc).若(1,2)?(p,q)=(5,0),则p= ,q= . 三、 解答题(共52分) 17.(15分)解方程或不等式组: (1)(x+1)(x-1)+2(x+3)=8; (2)+=; (3)并在数轴上表示出它的解集. 18.(7分)小李读一本名著,第一天读了36页,第二天读了剩余部分的,这两天共读了整本书的,这本名著共有多少页? 19.(8分)某厂为支援灾区人民,要在规定时间内加工1500顶帐篷.在加工了300顶帐篷后,厂家把工作效率提高到原来的 1.5倍,结果提前4天完成任务,求该厂原来每天加工多少顶帐篷? 20.(10分)已知关于x的一元二次方程x+mx+m-2=0. 2 (1)求证:无论m取任何实数,此方程总有两个不相等的实数根; (2)设x+mx+m-2=0的两个实数根为x1,x2,若y=++4x1x2,求出y与m的函数关系式; (3)在(2)的条件下,若-1≤m≤2,求y的取值范围. 2 21.(12分)为拓宽学生视野,引导学生主动适应社会,促进书本知识和生活经验的深度融合,我市某中学决定组织部分班级 去赤壁开展研学旅行活动.在参加此次活动的师生中,若每位老师带17个学生,还剩12个学生没人带;若每位老师带18 个学生,就有一位老师少带4个学生,现有甲、乙两种大客车,它们的载客量和租金如下表所示: 甲种客车 乙种客车 载客量(人/辆) 30 42 租金(元/辆) 300 400 学校计划此次研学旅行活动的租车总费用不超过3100元,为了安全,每辆客车上至少要有2名老师. (1)参加此次研学旅行活动的老师和学生各有多少人? (2)既要保证所有师生都有车坐,又要保证每辆客车上至少要有2名老师,可知租用客车总数为 辆. (3)你能得出哪几种不同的租车方案?其中哪种租车方案最省钱?请说明理由. 参考答案 1.B 2.C 3.A 4.B 5.C [解析] ∵全班有x名同学, ∴每名同学要送出(x-1)张. 又∵是互送照片, ∴总共送的张数应该是x(x-1)=1035. 故选C. 6.A [解析] 本题考查了二元一次方程组,解题的关键是找准等量关系.由“绳索比竿长5尺”,可得x=y+5;再根据 “将绳索对半折后再去量竿,就比竿短5尺”,可列得方程x=y-5.所以符合题意的方程组是 故选A. 7.B [解析] 把3代入方程得3-3×5+c=0,c=6.方程为x-5x+6=0,则方程的根为x1=2,x2=3.故选B. 22 8.D [解析] 两个不等式分别解出后为而不等式组的解集为x>3,由解不等式组口诀“同大取大”可知m-1<3, 解得m<4.当m-1=3,即m=4时,不等式组的解集也是x>3.综上所述m≤4.故选D. 9.1,2,3 [解析] 先解不等式,求出其解集是x≤3,再根据解集判断其正整数解为1,2,3. 10.20% [解析] 设平均每次降价的百分率为x,根据题意得125(1-x)=80,解得x1=0.2=20%,x2=1.8(不合题意,舍去). 2 故答案为20%. 11.5 [解析] 根据二元一次方程组的定义,将代入得解得所以a+b=5. 12. [解析] ∵2n(n≠0)是关于x的方程x-2mx+2n=0的根, 2 ∴(2n)-2m×2n+2n=0,原方程整理得4n-4mn+2n=0,∴2n(2n-2m+1)=0,∵n≠0,∴2n-2m+1=0,即2n-2m=-1,∴m-n=. 22 13.1或 [解析] 去分母,得x-3a=2a(x-3), 整理,得(1-2a)x=-3a. 当1-2a=0时,方程无解,a=; 当1-2a≠0时,x==3时,分式方程无解,a=1. 故a为1或. 14.k≥-4 [解析] ∵关于x的一元二次方程x+4x-k=0有实数根,∴Δ=b-4ac=4-4×1×(-k)≥0,解得k≥-4. 222 15.-= [解析] 根据题意可得甲车的速度为(x+15)千米/时,根据甲车比乙车早半小时到达目的地,可列出方 程-=. 16.1 -2 [解析] 由题意知(1,2) ? (p,q)=(p-2q,q+2p), 所以有 解得 17.解:(1)原方程可化为(x-1)(x+3)=0, 解得x1=1,x2=-3. (2)去分母,得3x+x+2=4, 解得x=. 经检验,x=是原方程的解. (3) 由不等式①得x<5, 由不等式②得x≥-1. 所以,原不等式组的解集为-1≤x<5. 解集在数轴上表示为 18.解:设这本名著共有x页. 根据题意,得 36+(x-36)=x. 解得x=216. 答:这本名著共有216页. 19.解:设原来每天加工x顶帐篷, 根据题意得 =++4, 解得x=100. 经检验,x=100是原方程的解,且符合题意. 答:该厂原来每天加工100顶帐篷. 20.解:(1)∵Δ=m-4(m-2)=(m-2)+4>0, 22 ∴无论m取任何实数,此方程总有两个不相等的实数根. (2)∵x1+x2=-m,x1x2=m-2, ∴y=+2 +4x1x2=(x1+x2)2+2x1x2=(-m)2+2(m-2)=m2+2m-4. 2 (3)∵y=m+2m-4=(m+1)-5, ∴顶点为(-1,-5). 又∵-1≤m≤2,∴当m=-1时,y最小值=-5; 当m=2时,y最大值=4.∴-5≤y≤4. 21.解:(1)设老师有x人,学生有y人,依题意得 解得 答:参加此次研学旅行活动的老师有16人,学生有284人. (2)由(1)得出老师有16人,要保证每辆客车上至少要有2名老师,则租用客车总数最多为8辆. 要保证所有师生都有车坐,假设都坐乙种客车,≈7.1,即最少需8辆. 综合得租用客车总数为8辆. (3)设乙种客车租m辆,则甲种客车租(8-m)辆. ∵租车总费用不超过3100元, ∴400m+300(8-m)≤3100,解得m≤7. 为使300名师生都有车坐, 则42m+30(8-m)≥300,解得m≥5. ∴5≤m≤7(m为整数).∴共有3种租车方案: 方案一:租用甲种客车3辆,乙种客车5辆,租车费用是2900元; 方案二:租用甲种客车2辆,乙种客车6辆,租车费用是3000元; 方案三:租用甲种客车1辆,乙种客车7辆,租车费用是3100元. ∴最节省费用的租车方案是:租用甲种客车3辆,乙种客车5辆.
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