（2）X可能取0，1，2，所以X分布列为： X P 数学期望
Y可能取0，1，2，所以Y分布列为： Y P 数学期望
．
0 1 2
，
0 1 2 ，，，
，，
【点评】本小题主要考查统计与概率的相关知识，其中包括方差的求法、基本概率的应用以及离散型随机变量的数学期望的求法．本题主要考查学生的数据处理能力．
20．已知椭圆C：
+
=1（a＞b＞0）的上顶点为（0，1），且离心率为
．
（Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）证明：过椭圆C1：
+
=1（m＞n＞0）上一点Q（x0，y0）的切线方程为
+
=1；
（Ⅲ）过圆x2+y2=16上一点P向椭圆C引两条切线，切点分别为A，B，当直线AB分别与x轴、y轴交于M，N两点时，求|MN|的最小值．
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的简单性质． 【专题】直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】（Ⅰ）运用离心率公式和椭圆的a，b，c的关系，解得a，b，进而得到椭圆方程； （Ⅱ）讨论直线的斜率不存在和存在，设出直线方程，联立椭圆方程，运用判别式为0，解得方程的一个跟，得到切点坐标和切线的斜率，进而得到切线方程；
（Ⅲ）设点P（xP，yP）为圆x2+y2=16上一点，求得切线PA，PB的方程，进而得到切点弦方程，再由两点的距离公式可得|MN|，结合基本不等式，即可得到最小值． 【解答】解：（Ⅰ）由题意可得b=1，e==又a2﹣b2=c2，解得a=2，b=1， 即有椭圆C方程为
+y2=1．
+
=1，
，
（Ⅱ）证明：当斜率存在时，设切线方程为y=kx+t，联立椭圆方程可得n2x2+m2（kx+t）2=m2n2，化简可得： （n2+m2k2）x2+2m2ktx+m2（t2﹣n2）=0，①
由题可得：△=4m4k2t2﹣4m2（n2+m2k2）（t2﹣n2）=0 化简可得：t2=m2k2+n2，①式只有一个根，记作x0， x0=﹣
=﹣
，x0为切点的横坐标，
，
，
切点的纵坐标y0=kx0+t=所以
=﹣
，所以k=﹣
所以切线方程为：y﹣y0=k（x﹣x0） =﹣
（x﹣x0），
化简得： +=1．
当切线斜率不存在时，切线为x=±m，也符合方程+=1，
综上+=1（m＞n＞0）上一点Q（x0，y0）的切线方程为+=1；
（Ⅲ）设点P（xP，yP）为圆x2+y2=16上一点， PA，PB是椭圆
+y2=1的切线，
+y1y=1，
切点A（x1，y1），B（x2，y2），过点A的椭圆的切线为
过点B的椭圆的切线为由两切线都过P点，
+y2y=1． +y1yP=1，
+y2yP=1
即有切点弦AB所在直线方程为M（0，
），N（
，0），
+yyP=1．
|MN|2=+=（+）?
=（17++）≥（17+2）=，
当且仅当则|MN|
=即xP2=，yP2=时取等，
，即|MN|的最小值为．
【点评】本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的离心率和方程的运用，考查直线和椭圆的位置关系，联立直线和椭圆方程，运用判别式为0，考查化简整理的运算能力，以及基本不等式的运用，属于中档题．
21．定义在R上的函数f（x）满足
．
（1）求函数f（x）的解析式； （2）求函数g（x）的单调区间；
（3）如果s、t、r满足|s﹣r|≤|t﹣r|，那么称s比t更靠近r．当a≥2且x≥1时，试比较和ex﹣1+a哪个更靠近lnx，并说明理由．
【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；函数解析式的求解及常用方法；利用导数研究函数的单调性．
【专题】导数的综合应用．
【分析】（1）求出函数的导数，利用赋值法，求出f′（1）=f′（1）+2﹣2f（0），得到f（0）=1．然后求解f′（1），即可求出函数的解析式．
，
（2）求出函数的导数g′（x）=ex+a，结合a≥0，a＜0，分求解函数的单调区间即可． （3）构造
，通过函数的导数，判断函数的单调性，
结合当1≤x≤e时，当1≤x≤e时，推出|p（x）|＜|q（x）|，说明比ex﹣1+a更靠近lnx．当x＞e时，通过作差，构造新函数，利用二次求导，判断函数的单调性，证明比ex﹣1+a更靠近lnx．
【解答】解：（1）f′（x）=f′（1）e2x﹣2+2x﹣2f（0），所以f′（1）=f′（1）+2﹣2f（0），即f（0）=1．又
，
所以f′（1）=2e2，所以f（x）=e2x+x2﹣2x． （2）∵f（x）=e2x﹣2x+x2， ∴
∴g′（x）=ex﹣a．
①当a≤0时，g′（x）＞0，函数f（x）在R上单调递增； ②当a＞0时，由g′（x）=ex﹣a=0得x=lna，
∴x∈（﹣∞，lna）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减；x∈（lna，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增．
综上，当a≤0时，函数g（x）的单调递增区间为（∞，∞）；
当a＞0时，函数g（x）的单调递增区间为（lna，+∞），单调递减区间为（﹣∞，lna）． （3）解：设
，∵
，∴p（x）在
，
x∈[1，+∞）上为减函数，又p（e）=0，∴当1≤x≤e时，p（x）≥0，当x＞e时，p（x）＜0．∵
，
，∴q′（x）在x∈[1，+∞）上为增函
数，又q′（1）=0，∴x∈[1，+∞）时，q'（x）≥0，∴q（x）在x∈[1，+∞）上为增函数，∴q（x）≥q（1）=a+1＞0． ①当1≤x≤e时，设数，
∴m（x）≤m（1）=e﹣1﹣a，
，则
，
，∴m（x）在x∈[1，+∞）上为减函
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