【考点】切线的性质；垂径定理；相似三角形的判定与性质． 【分析】（1）连接OM，MP是圆的切线，OM⊥PM，由角的等量关系可证∠DMP=∠MNP，由此得证．
（2）设BC交OM于E，已知直径BD的长，即可得到半径OA、OM的长，根据PA、OA的比例关系，可求出PA、PO的长，通过证△POM∽△OBE，根据相似三角形所得比例线段即可求出BE的长，从而根据垂径定理求出BC的值． 【解答】（1）证明：连接OM， ∵MP是圆的切线，∴OM⊥PM， ∴∠OMD+∠DMP=90°， ∵OA⊥OB，
∴∠OND+∠ODM=90°，
∵∠MNP=∠OND，∠ODM=∠OMD， ∴∠DMP=∠MNP， ∴PM=PN．
（2）解：设BC交OM于E， ∵BD=4，OA=OB=BD=2， ∴PA=3， ∴PO=5；
∵BC∥MP，OM⊥MP， ∴OM⊥BC，∴BE=BC； ∵∠BOM+∠MOP=90°， 在直角三角形OMP中， ∠MPO+∠MOP=90°， ∴∠BOM=∠MPO；
∵∠BEO=∠OMP=90°， ∴△OMP∽△BEO， ∴
，即=
，
解得：BE=， ∴BC=．
25．武警战士乘一冲锋舟从A地逆流而上，前往C地营救受困群众，途经B地时，由所携带的救生艇将B地受困群众运回A地，冲锋舟继续前进，到C地接到群众后立刻返回A地，途中曾与救生艇相遇．冲锋舟和救生艇
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距A地的距离y（千米）和冲锋舟出发后所用时间x（分）之间的函数图象如图所示．假设营救群众的时间忽略不计，水流速度和冲锋舟在静水中的速度不变． （1）请直接写出冲锋舟从A地到C地所用的时间． （2）求水流的速度．
（3）冲锋舟将C地群众安全送到A地后，又立即去接应救生艇．已知救生艇与A地的距离y（千米）和冲锋舟出发后所用时间x（分）之间的函数关系式为y=﹣多远处与救生艇第二次相遇？
x+11，假设群众上下船的时间不计，求冲锋舟在距离A地
【考点】一次函数的应用． 【分析】（1）根据图象求解；
（2）设水流速度为a千米/分，冲锋舟在静水中的速度为b千米/分，根据题意列出二元一次方程组解出a，b； （3）设线段a所在直线的函数解析式为y=kx+c，解出线段a的解析式．与（1）结合列出二元一次方程组可解． 【解答】解：（1）24分钟
（2）设水流速度为a千米/分，冲锋舟在静水中的速度为b千米/分，根据题意得
，
解得
答：水流速度是千米/分．
（3）如图，因为冲锋舟和水流的速度不变，所以设线段a所在直线的函数解析式为y=x+c， 将（44，0），代入得出：44×+c=0， 解得：c=﹣
，
，
∴线段a所在直线的函数解析式为：y=x﹣
由求出交点的坐标为（52，）．
∴冲锋舟在距离A地千米处与救生艇第二次相遇．
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26．如图，已知抛物线y=ax+bx﹣3与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，经过A、B、C三点的圆的圆心M（1，m）恰好在此抛物线的对称轴上，⊙M的半径为．设⊙M与y轴交于D，抛物线的顶点为E． （1）求m的值及抛物线的解析式；
（2）设∠DBC=α，∠CBE=β，求sin（α﹣β）的值；
（3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCE相似？若存在，请指出点P的位置，并直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
2
【考点】二次函数综合题． 【分析】（1）根据题意与图象可得点C的坐标，根据圆的性质可得点B的坐标，根据对称轴方程与点B的坐标即可求得函数的解析式；
（2）由抛物线的解析式可求得点A，E，B，C，D的坐标，判断Rt△BOD∽Rt△BCE，得∠CBE=∠OBD=β，因此sin（α﹣β）=sin（∠DBC﹣∠OBD）=sin∠OBC=（3）显然Rt△COA∽Rt△BCE，此时点P1（0，0），
过A作AP2⊥AC交y正半轴于P2，由Rt△CAP2∽Rt△BCE，得P2（0，）， 过C作CP3⊥AC交x正半轴于P3，由Rt△P3CA∽Rt△BCE，得P3（9，0），
故在坐标轴上存在三个点P1（0，0），P2（0，），P3（9，0），使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCE相似． 【解答】解：（1）由题意可知C（0，﹣3），﹣
=1，
；
∴抛物线的解析式为y=ax2﹣2ax﹣3（a＞0），
过M作MN⊥y轴于N，连接CM，则MN=1，CM=， ∴CN=2，于是m=﹣1． 同理可求得B（3，0），
2
∴a×3﹣2a×3﹣3=0，得a=1． ∴抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3． （2）由（1）得A（﹣1，0），E（1，﹣4），B（3，0），C（0，﹣3）． ∵M到AB，CD的距离相等，OB=OC， ∴OA=OD，
∴点D的坐标为（0，1）， ∴在Rt△BCO中，BC=∴
，
=3
，
在△BCE中，∵BC2+CE2=（32+32）+[（1﹣0）2+（﹣4+3）2]=20=（3﹣1）2+（0+4）2=BE2 ∴△BCE是Rt△
，
∴
，
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即，
∴Rt△BOD∽Rt△BCE，得∠CBE=∠OBD=β，
因此sin（α﹣β）=sin（∠DBC﹣∠OBD）=sin∠OBC=（3）显然Rt△COA∽Rt△BCE，此时点P1（0，0）． 过A作AP2⊥AC交y正半轴于P2， 由Rt△CAP2∽Rt△BCE，得P2（0，）．
过C作CP3⊥AC交x正半轴于P3，由Rt△P3CA∽Rt△BCE，得P3（9，0）． 故在坐标轴上存在三个点P1（0，0），P2（0，），P3（9，0）， 使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCE相似．
．
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