课时作业64 排列与组合
1．(2019·昆明质检)互不相同的5盆菊花，其中2盆为白色，2盆为黄色，1盆为红色，先要摆成一排，要求红色菊花摆放在正中间，白色菊花不相邻，黄色菊花也不相邻，共有摆放方法( D )
A．A55种
22C．A4A2种
B．A22种
122
D．C12C2A2A2种
解析：红色菊花摆放在正中间，白色菊花不相邻，黄色菊花也不
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相邻，即红色菊花两边各一盆白色菊花，一盆黄色菊花，共有C12C2A22A2种摆放方法．
2．(2019·广州测试)某学校获得5个高校自主招生推荐名额，其中甲大学2个，乙大学2个，丙大学1个，并且甲大学和乙大学都要求必须有男生参加，学校通过选拔定下3男2女共5个推荐对象，则不同的推荐方法共有( B )
A．36种 C．22种
B．24种 D．20种
解析：根据题意，分两种情况讨论：第一种，3名男生每个大学
2各推荐1人，2名女生分别推荐给甲大学和乙大学，共有A33A2＝12种
推荐方法；第二种，将3名男生分成两组分别推荐给甲大学和乙大学，
222共有C3A2A2＝12种推荐方法．故共有24种推荐方法，选B.
3．(2019·广东珠海模拟)将5个不同的球放入4个不同的盒子中，每个盒子至少放一个球，则不同放法共有( C )
A．480种 C．240种
B．360种 D．120种
解析：根据题意，将5个不同的球放入4个不同的盒子中，每个盒子至少放一个球，则必须有2个小球放入1个盒子，其余的小球各单独放入一个盒子，分2步进行分析：①先将5个小球分成4组，有
4C25＝10种分法；②将分好的4组全排列，放入4个盒子，有A4＝24
种情况，则不同放法有10×24＝240种．故选C.
4．某小区有排成一排的7个车位，现有3辆不同型号的车需要停放，如果要求剩余的4个车位连在一起，那么不同的停放方法的种数为( C )
A．16 C．24
B．18 D．32
解析：将4个车位捆绑在一起，看成一个元素，先排3辆不同型
3
号的车，在3个车位上任意排列，有A3＝6(种)排法，再将捆绑在一起
的4个车位插入4个空档中，有4种方法，故共有4×6＝24(种)方法．
5．(2019·河北保定一模)甲、乙、丙、丁四位同学高考之后计划去A、B、C三个不同社区进行帮扶活动，每人只能去一个社区，每个社区至少一人．其中甲必须去A社区，乙不去B社区，则不同的安排方法种数为( B )
A．8 C．6
B．7 D．5
解析：根据题意，分2种情况讨论：①乙和甲一起去A社区，此时将丙丁二人安排到B、C社区即可，有A22＝2种情况，②乙不去A社区，则乙必须去C社区，若丙丁都去B社区，有1种情况，若丙丁中有1人去B社区，则先在丙丁中选出1人，安排到B社区，剩下1人安排到A或C社区，有2×2＝4种情况，则不同的安排方法种数有2＋1＋4＝7种，故选B.
6．将7个人(其中包括甲、乙、丙、丁4人)排成一排，若甲不能在排头，乙不能在排尾，丙、丁两人必须相邻，则不同的排法共有( B )
A．1 108种 C．960种
B．1 008种 D．504种
26
解析：将丙、丁两人进行捆绑，看成一人．将6人全排列有A2A6
2525
种排法；将甲排在排头，有A2A5种排法；乙排在排尾，有A2A5种排24法；甲排在排头，乙排在排尾，有A2A4种排法．则甲不能在排头，乙
262525
不能在排尾，丙、丁两人必须相邻的不同排法共有A2A6－A2A5－A2A54＋A22A4＝1 008(种)．
7．从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60°的共有( C )
A．24对 C．48对
是原正方体的12条面对角线．
一个正四面体中两条棱成60°角的有(C26－3)对，两个正四面体有
2(C26－3)×2对．又正方体的面对角线中平行成对，所以共有(C6－
B．30对 D．60对
解析：利用正方体中两个独立的正四面体解题，如图，它们的棱
3)×2×2＝48对，故选C.
8．(2019·河南豫北名校联考)2018年元旦假期，高三的8名同学准备拼车去旅游，其中(1)班、(2)班、(3)班、(4)班每班各两名，分乘甲乙两辆汽车，每车限坐4名同学(乘同一辆车的4名同学不考虑位置)，其中(1)班两位同学是孪生姐妹，需乘同一辆车，则乘坐甲车的4名同学中恰有2名同学是来自同一个班的乘坐方式共有( B )
A．18种 C．48种
B．24种 D．36种
解析：由题意，有两类：第一类，一班的2名同学在甲车上，甲
2
车上剩下两个要来自不同的班级，从三个班级中选两个，有C3＝3种，11然后分别从选择的班级中再选择一个学生，有C2C2＝4种，故有3×4
＝12种．第二类，一班的2名同学不在甲车上，则从剩下的3个班级中选择一个班级的两名同学在甲车上，有C13＝3种，然后再从剩下的
1两个班级中分别选择一人，有C1这时共有3×4＝12种，根2C2＝4种，
据分类计数原理得，共有12＋12＝24种不同的乘车方式，故选B.
9．(2019·洛阳统考)某校有4个社团向高一学生招收新成员，现有3名同学，每人只选报1个社团，恰有2个社团没有同学选报的报法
有36种(用数字作答)．
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解析：解法一 第一步，选2名同学报名某个社团，有C3·C4＝
12种报法；第二步，从剩余的3个社团里选一个社团安排另一名同学，有C1C1 3·1＝3种报法．由分步乘法计数原理得共有12×3＝36种报法．
解法二 第一步，将3名同学分成两组，一组1人，一组2人，共C23种方法；第二步，从4个社团里选取2个社团让两组同学分别报
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名，共A4种方法．由分步乘法计数原理得共有C2A4＝36种报法． 3·
10．(2019·豫南九校联考)某医院拟派2名内科医生，3名外科医生和3名护士共8人组成两个医疗分队，平均分到甲、乙两个村进行义务巡诊，其中每个分队都必须有内科医生，外科医生和护士，则不同的分配方案有36种．
2
解析：2名内科医生的分法为A2，3名外科医生与3名护士的分21222112
法为C3C3＋C13C3，共有A2(C3C3＋C3C3)＝36(种)不同的分法．
11．(2019·衡水模拟)某宾馆安排A，B，C，D，E五人入住3个房间，每个房间至少住1人，且A，B不能住同一房间，则共有114种不同的安排方法．(用数字作答)
解析：5个人住3个房间，每个房间至少住1人， 则有(3,1,1)和
3(2,2,1)两种，当为(3,1,1)时，有C5·A33＝60(种)，A，B住同一房间有3C1A3＝18(种)，共有3·
2
C5·C233
60－18＝42(种)，当为(2,2,1)时，有A2·A3＝
2
2
90(种)，A，B住同一房间有C3·A33＝18(种)，
故有90－18＝72(种)，
根据分类加法计数原理可知，共有42＋72＝114(种)．
12．(2019·上海崇明一模)从5男3女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人志愿者服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有780种不同的选法．
解析：要求服务队中至少有1名女生，则分3种情况讨论：
1
①选出志愿者服务队的4人中有1名女生，有C3 5C3＝30种选法，
这4人选2人作为队长和副队长有A24＝12种，其余2人为普通队员，有1种情况，
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