100??1?32100?②?①?3?1?32??③?0?97? ?①?(?1)I????301010????310答案解：?A???????1?1001??1??04?3?101???1?32?7??????01??04?93?1②?(?)91?10?100?①?②?3?3??117?②?(?4)??0??③?????01?399???101??001?9??13??100113?? ?937??③????010237???4?1??001349??9?1?0?3?11??0? 39?141??39?0???100??????010?100?9?①?③?3②?③?71213?113????1所以A?237。
????349??
??13?6?3???（2）A =?4?2?1． ???11??2?14107???13?6?3100??1??①??4?2?1010? ?③?7I????4?2?1010????答案解：?A???????11001?11001??2??2?4107?4107??11?11??②?01? ?③??????02154128???82115???????0?1?7?20?13???0?1?7?20?13??②?①?4③?①?(?2)0??10?4?1?1?8?①?③?4?100?13??②?0102?7?1? ?③?(?8)??????0182115??????????012?12??001??0010?①?②?(?1)③?②0???13??。 ?1?7?1所以A?2???12??0? 7．设矩阵
?12??12?A??,B???23?，求解矩阵方程XA?B．
35????答案：
X?BA?1
10?②?(?1)?1210??1210?②?①?(?3)?12 ??A?I??????????????????3501??0?1?31??013?1??10?52??②?(?2) ?①???????013?1???52??A???
3?1???1
?12???52??10? X?BA?1?????????23??3?1???11?四、证明题
1．试证：若B1,B2都与
证明：∵ ∴
A可交换，则B1?B2，B1B2也与A可交换。
AB1?B1A，AB2?B2A
A(B1?B2)?AB1?AB2?B1A?B2A?(B1?B2)A A(B1B2)?AB1B2?B1AB2?B1B2A?(B1B2)A
即
B1?B2，B1B2也与A可交换。
2．试证：对于任意方阵证明：∵
A，A?AT，AAT,ATA是对称矩阵。
(A?AT)T?AT?(AT)T?AT?A?A?AT (AAT)T?(AT)T(A)T?AAT (ATA)T?(A)T(AT)T?ATA
∴ 3．设
A?AT，AAT,ATA是对称矩阵。
A,B均为n阶对称矩阵，则AB对称的充分必要条件是：AB?BA。
证明：充分性 ∵ ∴
AT?A，BT?B，(AB)T?AB
AB?(AB)T?BTAT?BA
必要性 ∵ ∴ 即4．设
AT?A，BT?B，AB?BA
(AB)T?(BA)T?ATBT?AB
AB为对称矩阵。
A为n阶对称矩阵，B为n阶可逆矩阵，且B?1?BT，证明B?1AB是对称矩阵。
AT?A，B?1?BT
(B?1AB)T?BTAT(B?1)T?B?1A(BT)?1?B?1A(B?1)?1?B?1AB
证明：∵ ∴
即
B?1AB是对称矩阵。
作业（四） （一）填空题 1.函数
f(x)?x?1_________内是单调减少的.答案：(?1,0)?(0,1) 在区间__________x2. 函数
y?3(x?1)2的驻点是________，极值点是 ，它是极 值点.
答案：x?1,x?1，小
?10e?p23.设某商品的需求函数为q(p)，则需求弹性Ep? .答案：?2p
14.行列式D1111?____________.答案：4
??1?1?1116??11??，则t__________时，方程组有唯一解.
325. 设线性方程组AX?b，且A?0?1????00t?10??答案：??1
（二）单项选择题
1. 下列函数在指定区间(??,??)上单调增加的是（ B ）．
A．sinx B．e x C．x 2 2. 已知需求函数q(p)A．4?2?4p D．3 – x
?100?2?0.4p，当p?10时，需求弹性为（ C ）．
ln2 B．4ln2 C．-4ln2 D．-4?2?4pln2
3. 下列积分计算正确的是（ A ）．
ex?e?xdx?0 A．??121
ex?e?xdx?0 B．??121
C．
?1-1xsinxdx?0
D．
?1-1(x2?x3)dx?0
4. 设线性方程组Am?nXA．r(A)?b有无穷多解的充分必要条件是（ D ）．
?r(A)?m B．r(A)?n C．m?n D．r(A)?r(A)?n
?x1?x2?a1?x2?x3?a25. 设线性方程组??x?2x?x?a233?1A．a1C．a1，则方程组有解的充分必要条件是（ C ）．
?a2?a3?0 B．a1?a2?a3?0 ?a2?a3?0 D．?a1?a2?a3?0
三、解答题
1．求解下列可分离变量的微分方程： (1)
y??ex?y
答案：原方程变形为：
dy?ex?y dx 分离变量得：e?ydy?exdx
?y 两边积分得：??ed(?y)??exdx
?y 原方程的通解为：?e?ex?C
dyxex（2）?2dx3y
答案：分离变量得：3y两边积分得：
2dy?xexdx
2x3ydy?xe??dx
原方程的通解为：
y3?xex?ex?C
2. 求解下列一阶线性微分方程： （1）
y??2y?(x?1)3 x?1??答案：原方程的通解为：
y?e
?2dxx?12(?e??x?1dx?22(x?1)dx?C)?e3?x?1d(x?1)2(?e??x?1d(x?1)2(x?1)3dx?C)
?eln(x?1)(?eln(x?1)(x?1)3dx?C)?(x?1)2(?(x?1)?2(x?1)3dx?C)
1?(x?1)2(?(x?1)dx?C)?(x?1)2(x2?x?C)
2y（2）y???2xsin2x
x答案：原方程的通解为：
??1dx?1dxy?e?(?e?2xsin2xdx?C)?ex(?e?x2xsin2xdx?C)
3.求解下列微分方程的初值问题： (1)
y??e2x?y,y(0)?0
答案：原方程变形为：
分离变量得：e两边积分得：
ydy?e2x?y dxdy?e2xdx
y?edy??e2xdx
y原方程的通解为：e将x?12xe?C 21 2?0，y?0代入上式得：C?y则原方程的特解为：e(2)xy???12x1e? 22y?ex?0,y(1)?0
1ex答案：原方程变形为：y??y?xx原方程的通解为：
y?e??xdx1xx1?xdxelnx?1lnxe(?edx?C)?e(?edx?C)?(?exdx?C)
1xxx
?1x(ex?C) 将x?1，y?0代入上式得：C??e
则原方程的特解为：
y?1x(ex?e) 4.求解下列线性方程组的一般解：
?x1?2x3?x4?0（1）???x1?x2?3x3?2x4?0
??2x1?x2?5x3?3x4?0答案：原方程的系数矩阵变形过程为：
?102?1?2?1?A????11?32?②?①?10?10?③??①??(??2)??01?11??③???②??01???????2?15?3????0?11?1???00由于秩(
A)=2 ??x1??2x3?x4（其中x3，x4为自由未知量）。 ?x2?x3?x4 ?2x1?x2?x3?x4?1（2）??x1?2x2?x3?4x4?2 ??x1?7x2?4x3?11x4?5答案：原方程的增广矩阵变形过程为： ?2?1111??12?A???12?142?142????(?①,②?)???2?1111?? ?17?4115????17?4115??②?①?(?2)?12?142??③??①?(???1)???0?53?7?3??12?142??③???②??0?53?7?3??????05?373????00000???64??1242?1015?②??(??1?5)???1?01?373??575?3??000555??①??②??(??2)???35?00???01?5?00005? 0??????由于秩( A)=2 ??x4161??5?x??35335x47（其中x3，x4为自由未知量）。 ?x2?5?5x3?5x45.当?为何值时，线性方程组 2?1??11?00???
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