【答案】见解析. 【解析】 【分析】
（1）根据切线长定理即可得出结论；
（2）①圆外切四边形是内心到四边的距离相等，即可得出结论； ②根据圆外切四边形的对边和相等，即可求出结论；
③根据圆外切四边形的性质求出第四边，利用周长建立方程求解即可得出结论． 【详解】
性质探讨：圆外切四边形的对边和相等，理由：
如图1，已知：四边形ABCD的四边AB，BC，CD，DA都于⊙O相切于G，F，E，H． 求证：AD+BC=AB+CD．
证明：∵AB，AD和⊙O相切，∴AG=AH，同理：BG=BF，CE=CF，DE=DH，∴AD+BC=AH+DH+BF+CF=AG+BG+CE+DE=AB+CD，即：圆外切四边形的对边和相等． 故答案为：圆外切四边形的对边和相等；
性质应用：①∵根据圆外切四边形的定义得：圆心到四边的距离相等．
∵平行四边形和矩形不存在一点到四边的距离相等，而菱形和正方形对角线的交点到四边的距离相等． 故答案为：B，D；
②∵圆外切四边形ABCD，∴AB+CD=AD+BC．
∵AB=12，CD=8，∴AD+BC=12+8=20，∴四边形的周长是AB+CD+AD+BC=20+20=40． 故答案为：40；
③∵相邻的三条边的比为5：4：7，∴设此三边为5x，4x，7x，根据圆外切四边形的性质得：第四边为5x+7x﹣4x=8x．
∵圆外切四边形的周长为48cm，∴4x+5x+7x+8x=24x=48，∴x=2，∴此四边形的四边为4x=8cm，5x=10cm，7x=14cm，8x=16cm．
【点睛】
本题是圆的综合题，主要考查了新定义圆的外切的性质，四边形的周长，平行四边形，矩形，菱形，正方形的性质，切线长定理，理解和掌握圆外切四边形的定义是解答本题的关键．
5．如图，已知△ABC中，AB=AC，∠A=30°，AB=16，以AB为直径的⊙O与BC边相交于点D，与AC交于点F，过点D作DE⊥AC于点E． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）求CE的长；
（3）过点B作BG∥DF，交⊙O于点G，求弧BG的长．
【答案】（1）证明见解析（2）8-43（3）4π 【解析】 【分析】
（1）如图1，连接AD，OD，由AB为⊙O的直径，可得AD⊥BC，再根据AB=AC，可得BD=DC，再根据OA=OB，则可得OD∥AC，继而可得DE⊥OD，问题得证； （2）如图2，连接BF，根据已知可推导得出DE=
1BF，CE=EF，根据∠A=30°，AB=16，可2得BF=8，继而得DE=4，由DE为⊙O的切线，可得ED2=EF?AE，即42=CE?（16﹣CE），继而可求得CE长；
（3）如图3，连接OG，连接AD，由BG∥DF，可得∠CBG=∠CDF=30°，再根据AB=AC，可推导得出∠OBG=45°，由OG=OB，可得∠OGB=45°，从而可得∠BOG=90°，根据弧长公式即
?的长度. 可求得BG【详解】
（1）如图1，连接AD，OD； ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ADB=90°，即AD⊥BC， ∵AB=AC， ∴BD=DC， ∵OA=OB， ∴OD∥AC， ∵DE⊥AC， ∴DE⊥OD， ∴∠ODE=∠DEA=90°， ∴DE为⊙O的切线； （2）如图2，连接BF，
∵AB为⊙O的直径， ∴∠AFB=90°， ∴BF∥DE， ∵CD=BD，
1BF，CE=EF， 2∵∠A=30°，AB=16， ∴BF=8， ∴DE=4，
∵DE为⊙O的切线， ∴ED2=EF?AE，
∴DE=
∴42=CE?（16﹣CE），
∴CE=8﹣43，CE=8+43（不合题意舍去）； （3）如图3，连接OG，连接AD， ∵BG∥DF， ∴∠CBG=∠CDF=30°， ∵AB=AC， ∴∠ABC=∠C=75°， ∴∠OBG=75°﹣30°=45°， ∵OG=OB，
∴∠OGB=∠OBG=45°， ∴∠BOG=90°，
?的长度=∴BG90???8=4π． 180
【点睛】
本题考查了圆的综合题，涉及了切线的判定、三角形中位线定理、圆周角定理、弧长公式等，正确添加辅助线、熟练掌握相关的性质与定理是解题的关键.
6．如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC为⊙O的直径，过点C作AC的垂线交AD的延长线于点E，点F为CE的中点，连接DB， DF． （1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）若DB平分∠ADC，AB=52，AD∶DE=4∶1，求DE的长．
【答案】(1)见解析;(2)5 【解析】
分析：（1）直接利用直角三角形的性质得出DF=CF=EF，再求出∠FDO=∠FCO=90°，得出答案即可；
（2）首先得出AB=BC即可得出它们的长，再利用△ADC～△ACE，得出AC2=AD?AE，进而得出答案． 详解：（1）连接OD． ∵OD=CD，∴∠ODC=∠OCD．
∵AC为⊙O的直径，∴∠ADC=∠EDC=90°．
∵点F为CE的中点，∴DF=CF=EF，∴∠FDC=∠FCD，∴∠FDO=∠FCO． 又∵AC⊥CE，∴∠FDO=∠FCO=90°，∴DF是⊙O的切线． （2）∵AC为⊙O的直径，∴∠ADC=∠ABC=90°．
?，∴BC=AB=52． ∵DB平分∠ADC，∴∠ADB=∠CDB，∴?AB=BC在Rt△ABC中，AC2=AB2+BC2=100． 又∵AC⊥CE，∴∠ACE=90°，
ACAE=，∴AC2=AD?AE． ADAC设DE为x，由AD：DE=4：1，∴AD=4x，AE=5x，
∴△ADC～△ACE，∴
∴100=4x?5x，∴x=5，∴DE=5．
点睛：本题主要考查了切线的判定以及相似三角形的判定与性质，正确得出AC2=AD?AE是解题的关键．
7．如图，已知Rt△ABC中，C=90°，O在AC上，以OC为半径作⊙O，切AB于D点，且BC=BD．
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