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【解析】由S△ADC=×2×DC×=3-√3,解得DC=2(√3-1), 22则BD=√3-1,BC=3(√3-1).

∵在△ABD中,AB2=4+(√3-1)2-2×2×(√3-1)×cos 120°=6,∴AB=√6. 在△ACD中,AC=4+[2(√3-1)]-2×2×2(√3-1)×cos 60°=24-12√3,∴AC=√6(√3-1). 2

2

1√3222

则cos∠BAC=AB+AC-BC

2AB·AC

=6+24-12√3-9(4-2√3)2×√6×√6×(√3-1)=2,

1

∴∠BAC=60°.

26.(2010·全国·文T16)在△ABC中,D为BC边上一点,BC=3BD,AD=√2,∠ADB=135°.若AC=√2AB,则BD=___________. 【答案】2+√5 【解析】依据题意作出图形,如图,设AB=a,AC=√2a,BD=k,DC=2k,在三角形ABD与三角形ADC中由余弦定理,有

a2=k2+2+2k,{2所以k2-4k-1=0,所以k=2+√5. 2

2a=4k+2-4k,

三、计算题

1.(2019·全国1·理T17)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.设(sin B-sin C)=sinA-sin Bsin C. (1)求A;

(2)若√2a+b=2c,求sin C.

【解析】(1)由已知得sinB+sinC-sinA=sin Bsin C, 故由正弦定理得b+c-a=bc. 由余弦定理得

22

cos A=b+c-a

2bc

2

2

2

2

2

2

2

2

2

1=2. 因为0°

(2)由(1)知B=120°-C,由题设及正弦定理得√2sin A+sin(120°-C)=2sin C,

即

√62+

√32cos C+sin C=2sin C, √212可得cos(C+60°)=-.

2由于0°

2故sin C=sin(C+60°-60°)

=sin(C+60°)cos 60°-cos(C+60°)sin 60° =√6+√2.

42.(2019·全国3·T18)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知asin (1)求B;

(2)若△ABC为锐角三角形,且c=1,求△ABC面积的取值范围. 【解析】(1)由题设及正弦定理得sin Asin因为sin A≠0,所以sin

A+C

=sin B. 2A+CB

=cos, 22A+C

=sin Bsin A. 2A+C

=bsin A. 2由A+B+C=180°,可得sin故cos=2sincos.

B2B2B2因为cos≠0,故sin=,因此B=60°.

222

(2)由题设及(1)知△ABC的面积S△ABC=√3a. 4BB1

由正弦定理得a=csinA=sin(120°-C)=

sinC

sinC1

. +2tanC2

√3由于△ABC为锐角三角形,故0°

8

2

1

2因此,△ABC面积的取值范围是(

√38,2).

√33.(2019·天津·理T15文T16)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知b+c=2a,3csin B=4asin C.

(1)求cos B的值; (2)求sin（2B+6）的值.

π

【解析】(1)在△ABC中,由正弦定理

bsinB=sinC,得bsin C=csin B,又由3csin B=4asin C,得3bsin C=4asin

a2+c2b

cos B=2ac-2

c

C,即3b=4a.又因为

42

b+c=2a,得到b=a,c=a.由余弦定理可得

33

=

a2+9a2-9a222·a·3a

416

=-.

78π

14

(2)由(1)可得sin B=√1-cos2B=√15,从而sin 2B=2sin Bcos B=-√15,cos 2B=cos2B-sin2B=-,故sin（2B+6）

48=sin 2Bcos 6+cos 2Bsin 6=-√15×√3?7×1=-3√5+7.

828216ππ

4.(2019·江苏·T15)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c. (1)若a=3c,b=√2,cos B=,求c的值; (2)若

sinA

a

23

=

cosB

,求2b

sin(B+2)的值.

23π

【解析】(1)因为a=3c,b=√2,cos B=,

222

由余弦定理cos B=a+c-b,

2ac

得23=

(3c)+c-(√2)2×3c×csinAacosB

2

2

2

,即c2=.所以c=√3.

313(2)因为

=2b, =

b, sinB由正弦定理得

cosB2basinA=b,所以cos B=2sin B.

sinB

从而cos2B=(2sin B)2,

即cos2B=4(1-cos2B),故cos2B=. 因为sin B>0,所以cos B=2sin B>0, 从而cos B=2√5.因此sin(B+2)=cos B=2√5. 5

5

π455.(2018·全国1·理T17)在平面四边形ABCD中,∠ADC=90°,∠A=45°,AB=2,BD=5. (1)求cos∠ADB; (2)若DC=2√2 ,求BC.

【解析】(1)在△ABD中,由正弦定理得由题设知,

5sin45°

2

BDsin∠A=sin∠ADB.

5AB

√2=sin∠ADB,所以sin∠ADB=.

由题设知,∠ADB<90°,所以cos∠ADB=√1-2=√23. 255

(2)由题设及(1)知,cos∠BDC=sin∠ADB=. 5√2在△BCD中,由余弦定理得BC=BD+DC-2·BD·DC·cos∠BDC=25+8-2×5×2√2×所以BC=5.

6.(2018·北京·理T15)在△ABC中,a=7,b=8,cos B=-. (1)求∠A;

(2)求AC边上的高.

【解析】(1)在△ABC中,∵cos B=-,∴B∈(2,π), ∴sin B=√1-cos2B=

a

由正弦定理,得sinA4√3. 7b

7

4√3, 7222

√25=25.

17

17

π

=sinB?sinA=

8∴sin A=.

2√3∵B∈(2,π),∴A∈(0,2),∴A=3. (2)在△ABC中,sin C=sin(A+B)=sin Acos B+sin Bcos A=如图所示,在△ABC中,过点B作BD⊥AC于点D. ∵sin C=,∴h=BC·sin C=7×∴AC边上的高为3√3.

2hBC3√314√3πππ

. ×(-)+×=

272714114√33√3=2,

3√3

7.(2018·天津·理T15文T16)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知bsin A=acos (B-6). (1)求角B的大小;

(2)设a=2,c=3,求b和sin(2A-B)的值. 【解析】(1)在△ABC中,由正弦定理

π

a

sinAπ

=

b

,可得sinBπ

bsin A=asin B.

又由bsin A=acos(B-6),得asin B=acos(B-6),

即sin B=cos(B-6),可得tan B=√3.又因为B∈(0,π),所以B=3.

(2)在△ABC中,由余弦定理及a=2,c=3,B=3,有b2=a2+c2-2accos B=7,故b=√7. π

π

π