十年高考真题分类汇编(2010-2019) 数学 专题07 解三角形

由bsin A=acos(B-6),可得sin A=.因为a

√7π√32√714√32

,cos 2A=2cosA-1=.

77所以,sin(2A-B)=sin 2Acos B-cos 2Asin B=

4√311√3×2?7×27=14.

35

3√38.(2017·天津·理T15)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a>b,a=5,c=6,sin B=. (1)求b和sin A的值; (2)求sin(2A+4)的值.

【解析】(1)在△ABC中,因为a>b, 故由sin B=,可得cos B=.

由已知及余弦定理,有b2=a2+c2-2accos B=13, 所以b=√13.由正弦定理

asinA

3545π

=sinB,得sin A=

3√13. 13b

asinBb

=13. 3√13所以,b的值为√13,sin A的值为

13(2)由(1)及a

π

12139.(2017·天津·文T15)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知asin A=4bsin B,ac=√5(a-b-c).

2

2

2

(1)求cos A的值; (2)求sin(2B-A)的值.

【解析】(1)由asin A=4bsin B,及由ac=√5(a-b-c

2

2

2

asinA=sinB,得a=2b.

2

b

),及余弦定理,得cos A=b+c2-a2

2bc

5=

5-5ac=-√5.

5ac

√

(2)由(1),可得sin A=2√5, 代入asin A=4bsin B,得sin B=asinA=√5. 4b

5

由(1)知,A为钝角,

所以cos B=√1-sin2B=2√5.

5

于是sin 2B=2sin Bcos B=, 4

5cos 2B=1-2sinB=,

故sin(2B-A)=sin 2Bcos A-cos 2Bsin A=5×(-5)?5×5=-2√5. 52

10.(2017·全国1·理T 17)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知△ABC的面积为a.

2

354√532√53sinA(1)求sin Bsin C;

(2)若6cos Bcos C=1,a=3,求△ABC的周长.

2a11

【解析】(1)由题设得acsin B=a,即csin B=3sinA. 23sinA2

由正弦定理得sin Csin B=故sin Bsin C=.

2312sinA

. 3sinA(2)由题设及(1)得cos Bcos C-sin Bsin C=-,即cos(B+C)=-.所以B+C=,故A=3. 21

由题设得bcsin A=a,即bc=8.

12122π3π

23sinA由余弦定理得b2+c2-bc=9,即(b+c)2-3bc=9,得b+c=√33. 故△ABC的周长为3+√33. 11.(2017·全国2·理T17)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sin(A+C)=8sin2. (1)求cos B;

(2)若a+c=6,△ABC的面积为2,求b.

【解析】(1)由题设及A+B+C=π,得sin B=8sin, 22B

B2故sin B=4(1-cos B).

上式两边平方,整理得17cosB-32cos B+15=0, 解得cos B=1(舍去),cos B=. (2)由cos B=得sin B=, 故S△ABC=acsin B=ac. 又S△ABC=2,则ac=. 由余弦定理及a+c=6得 b2=a2+c2-2accos B =(a+c)2-2ac(1+cos B)

17212

4171517817

15172

=36-2×

1715×+(1)=4. 217所以b=2.

12.(2017·全国3·理T17)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sin A+√3cos A=0,a=2√7,b=2. (1)求c;

(2)设D为BC边上一点,且AD⊥AC,求△ABD的面积. 【解析】(1)由已知可得tan A=-√3,所以A=. 在△ABC中,由余弦定理得28=4+c2-4ccos, 即c+2c-24=0.解得c=-6(舍去),c=4. (2)由题设可得∠CAD=2,

π

所以∠BAD=∠BAC-∠CAD=6.故△ABD

12

π

2

2π32π3面积与△ACD

1π2AB·AD·sin6面积的比值为1=1.

ACAD2·

又△ABC的面积为×4×2sin∠BAC=2√3,所以△ABD的面积为√3. 13.(2017·北京·理T15)在△ABC中,∠A=60°,c=a. (1)求sin C的值; (2)若a=7,求△ABC的面积.

【解析】(1)在△ABC中,因为∠A=60°,c=a, 所以由正弦定理得sin C=

3

7csinAa3737=7×2=14. 3√33√3(2)因为a=7,所以c=×7=3.

由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A得72=b2+32-2b×3×,解得b=8或b=-5(舍). 所以△ABC的面积S=bcsin A=×8×3×√3=6√3. 212

12

12???? ·????? =-6,S△ABC=3,求A和a. 14.(2017·山东·文T17)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知b=3,?ABAC???? ·????? =-6,所以bccos A=-6, 【解析】因为?ABAC又S△ABC=3,所以bcsin A=6.

因此tan A=-1,又0

由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A,得a2=9+8-2×3×2√2×(-2)=29,所以a=√29. √23π

415.(2016·北京,理15,12分,难度)在△ABC中,a+c=b+√2ac.

2

2

2

(1)求B的大小;

(2)求√2cos A+cos C的最大值. 【解析】(1)由余弦定理及题设得(2)由(1)知A+C=. √2cos A+cos C=√2cos A+cos(4-A) =√2cos A-√2cos A+√2sin A

223π

3π422

cos B=a+c-b

2ac2

=2ac=2.又因为0

=cos A+sin A=cos(A-4).因为0

22√2√2π

3π4

π

16.(2016·山东·理T16)在△ABC中,角A,B,C的对边分 别为a,b,c,已知2(tan A+tan B)=(1)证明:a+b=2c; (2)求cos C的最小值. 【解析】(1)证明由题意知2(

sinAsinB

+)cosAcosBtanAtanB

. +cosBcosA=

sinAsinB

+, cosAcosBcosAcosB化简得2(sin Acos B+sin Bcos A)=sin A+sin B, 即2sin(A+B)=sin A+sin B,因为A+B+C=π, 所以sin(A+B)=sin(π-C)=sin C.

从而sin A+sin B=2sin C.由正弦定理得a+b=2c. (2)解由(1)知

a+b

c=,所以2cos C=a2+b-c2=

2ab2

2

a2+b-(2)

2aba+b2

=8(b+a)?4≥2,

3ab11

当且仅当a=b时,等号成立.故cos C的最小值为. 17.(2016·天津·文T15)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知asin 2B=√3bsin A. (1)求B;

(2)若cos A=3,求sin C的值. 【解析】(1)在△ABC中,由

asinA

1

12

=sinB,可得asin B=bsin A,

π

2b

又由asin 2B=√3bsin A,得2asin Bcos B=√3bsin A=√3asin B,所以cos B=√3,得B=6.

(2)由cos A=,可得sin A=2√2,则sin C=sin[π-(A+B)]=sin(A+B)=sin(A+)=sin A+cos A=2√6+1.

3262361

π

√31