18.(2016·四川·文T 18)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且(1)证明:sin Asin B=sin C; (2)若b+c-a=bc,求tan B. 【解析】(1)证明根据正弦定理,可设则a=ksin A,b=ksin B,c=ksin C. 代入
cosAcosB
+ba
asinA2
2
2
cosAcosB
+ba=c.
sinC
65=sinB=sinC=k(k>0).
bc
=c中,有ksinA+ksinB=ksinC,
sinCcosAcosBsinC
变形可得sin Asin B=sin Acos B+cos Asin B=sin(A+B).
在△ABC中,由A+B+C=π,有sin(A+B)=sin(π-C)=sin C,所以sin Asin B=sin C. (2)解由已知,b+c-a=bc, 222
根据余弦定理,有cos A=b+c-a=3.
2bc52
2
2
65
所以sin A=√1-cos2A=. 由(1),sin Asin B=sin Acos B+cos Asin B, 所以sin B=cos B+sin B, 故tan B=
sinB
=4. cosB4545354519.(2016·浙江·文T 16)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知b+c=2acos B. (1)证明:A=2B;
(2)若cos B=,求cos C的值.
【解析】(1)证明由正弦定理得sin B+sin C=2sin Acos B,
故2sin Acos B=sin B+sin(A+B)=sin B+sin A·cos B+cos Asin B,于是sin B=sin(A-B). 又A,B∈(0,π),故0 因此A=π(舍去)或A=2B,所以,A=2B. (2)解由cos B=得sin B=√5,cos 2B=2cos2B-1=-,故cos A=-,sin A=4√5, 3923191923 cos C=-cos(A+B)=-cos Acos B+sin Asin B=. 20.(2016·全国1·理T17)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2cos C(acos B+bcos A)=c. (1)求C; 2227(2)若c=√7,△ABC的面积为 3√3,求△ABC2的周长. 【解析】(1)由已知及正弦定理,得 2cos C(sin Acos B+sin Bcos A)=sin C, 即2cos Csin(A+B)=sin C. 故2sin Ccos C=sin C. 可得cos C=,所以C=3. (2)由已知,absin C=3√3.又C=3,所以ab=6. 212π 12π 由已知及余弦定理,得a+b-2abcos C=7. 故a2+b2=13,从而(a+b)2=25. 所以△ABC的周长为5+√7. 21.(2016·浙江·理T16)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知b+c=2acos B. (1)证明:A=2B; (2)若△ABC的面积S=a,求角A的大小. 4 2 22 【解析】(1)证明由正弦定理得sin B+sin C=2sin Acos B, 故2sin Acos B=sin B+sin(A+B) =sin B+sin Acos B+cos Asin B. 于是sin B=sin(A-B). 又A,B∈(0,π),故0 因此A=π(舍去)或A=2B,所以,A=2B. (2)解由S=得absin C=, 424故有sin Bsin C=sin 2B=sin Bcos B. 因sin B≠0,得sin C=cos B. 又B,C∈(0,π),所以C=2±B. 当B+C=2时,A=2; 当C-B=2时,A=4. π π π π π 1 2 a2 1 a2 综上,A=2或A=4. 22.(2015·全国2·理T17)△ABC中,D是BC上的点,AD平分∠BAC,△ABD面积是△ADC面积的2倍. (1)求 sinB ; sinCππ (2)若AD=1,DC=√2,求BD和AC的长. 2【解析】(1)S△ABD=AB·ADsin∠BAD, S△ADC=AC·ADsin∠CAD. 因为S△ABD=2S△ADC,∠BAD=∠CAD,所以AB=2AC. 由正弦定理可得 sinBsinC1212 = ACAB=. 12(2)因为S△ABD∶S△ADC=BD∶DC,所以BD=√2. 在△ABD和△ADC中,由余弦定理知 AB2=AD2+BD2-2AD·BDcos∠ADB,AC2=AD2+DC2-2AD·DCcos∠ADC. 故AB2+2AC2=3AD2+BD2+2DC2=6.由(1)知AB=2AC,所以AC=1. 23.(2015·全国1·文T17)已知a,b,c分别为△ABC内角A,B,C的对边,sin2B=2sin Asin C. (1)若a=b,求cos B; (2)设B=90°,且a=√2,求△ABC的面积. 【解析】(1)由题设及正弦定理可得b=2ac. 又a=b,可得b=2c,a=2c. 222 由余弦定理可得cos B=a+c-b=1. 2 2ac4 (2)由(1)知b=2ac. 因为B=90°,由勾股定理得a+c=b. 故a2+c2=2ac,得c=a=√2. 所以△ABC的面积为S=ac=1. 24.(2015·浙江·理T16)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知A=4,b2-a2=c2. (1)求tan C的值; (2)若△ABC的面积为3,求b的值. 【解析】(1)由b2-a2=c2及正弦定理得sin2B-=sin2C,所以-cos 2B=sin2C. 2221 1 1 π 1 2122 2 2 2 又由A=4,即B+C=π,得-cos 2B=sin 2C=2sin Ccos C,解得tan C=2. (2)由tan C=2,C∈(0,π)得sin C=2√5,cos C=√5. 55π 34又因为sin B=sin(A+C)=sin(4+C), 所以sin B= 3√10. 10 3π 由正弦定理得c=2√2b, 又因为A=,bcsin A=3,所以bc=6√2.故b=3. 4225.(2015·山东·理T16)设f(x)=sin xcos x-cos(x+4). 2 π1 π (1)求f(x)的单调区间; (2)在锐角△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若f(2)=0,a=1,求△ABC面积的最大值. 【解析】(1)由题意知 π π 1+cos(2x+2)f(x)=sin2x? 22π π A = sin2x1-sin2x=sin 2x-1. ?222由-2+2kπ≤2x≤2+2kπ,k∈Z,可得-4+kπ≤x≤4+kπ,k∈Z; 由2+2kπ≤2x≤+2kπ,k∈Z,可得4+kπ≤x≤+kπ,k∈Z. 所以f(x)的单调递增区间是[-4+kπ,4+kπ](k∈Z); 单调递减区间是[4+kπ,4+kπ](k∈Z). (2)由f(2)=sin A-=0,得sin A=, 由题意知A为锐角,所以cos A=. 2 √3π π 3π 2π 3π4ππ π3π A 1212 由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A, 可得1+√3bc=b2+c2≥2bc, 即bc≤2+√3,且当b=c时等号成立. 因此bcsin A≤ 12 2+√3. 44 所以△ABC面积的最大值为2+√3. 26.(2015·陕西·理T17)△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,向量m=(a,√3b)与n=(cos A,sin B)平行. (1)求A;
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