2018年北京市怀柔区高三查漏补缺数学试题

2018北京市怀柔区高三数学查漏补缺

2018.5

15-1．已知函数f(x)?cos2x?sin2x. （I）求f(0)的值；

（II）求函数f(x)的最大值和最小值，并分别写出使函数取得最大值和最小值时的x值. 解：（I）f(0)?cos0?sin20?1. ------------------------------------------------------------------6分 （II）f(x)?cos2x?sin2x?1?2sin2x?sin2x??3sin2x?1， -------------------8分

所以f(x)最大值是1，最小值是?2. ------------------------------------------------10分 当sinx?0时，即x?k?(k?Z)时函数f(x)取得最大值1， 当sinx??1时，即x?k???22(k?Z)时函数f(x)取得最小值?2.-------13分

15-2．已知函数f(x)?2cos2x?sinx?4cosx． （Ⅰ）求f?()的值；

?3（Ⅱ）求f(x)的最大值和最小值． 解：（I）f()?2cos?32???39?sin2?4cos??1??? 3334422（II）解：f(x)?2(2cosx?1)?(1?cosx)?4cosx

=3cosx?4cosx?1 =3(cosx?)?22327,x?R 3 因为cosx?[?1,1]，

所以，当cosx??1时，f(x)取最大值6；当cosx?27时，f(x)取最小值? 331CD, 点216-1．已知：四棱锥P-ABCD,PA?平面ABCD,底面ABCD是直角梯形，?A?90?，且AB∥CD,AB?F在线段PC上运动，

(1) 当F为PC的中点时，求证：BF∥平面PAD； (2) 设

|PF|??，求当?为何值时有BF?CD。 |FC| 解: (1)证明：取PD的中点E,连结EF、AE， 因为点F为PC的中点，所以EF∥CD，且EF? 1CD， 21

而AB∥CD,AB?1CD，所以EF∥AB且EF=AB 2所以四边形EFBA是平行四边形，所以BF∥AE 因为BF?平面PAD,AE?平面PAD

所以BF∥平面PAD （8分）

（2）因为BF?CD，而由CD?AD,CD?PA知CD?平面PAD 所以BF∥平面PAD，由（1）知F为PC的中点，所以??1 （14分）

16-2．如图，四棱锥E?ABCD中，平面EAD?平面ABCD,DC// AB,BC?CD,

EA?ED,且AB?4，BC?CD?EA?ED?2.

（I）求证：BD?平面ADE；

（II）求BE和平面CDE所成角的正弦值； （III）在线段CE上是否存在一点F使得 平面BDF?平面CDE，请说明理由. 解：（I）由BC?CD，BC?CD?2.,

可得BD?22．

由EA?ED，且EA?ED?2， 可得AD?22． 又AB?4． 所以BD?AD．

又平面EAD?平面ABCD， 平面ADE ?平面ABCD ?AD，

E D A C

B z E C

D x A B y BD?平面ABCD，

所以BD?平面ADE． ……………５分 （II）如图建立空间直角坐标系D?xyz，

则D(0,0,0)，B(0,22,0)，C(?2,2,0)，E(2,0,2)，

????????????BE?(2,?22,2)，DE?(2,0,2)，DC?(?2,2,0)．

????????设n?(x,y,z)是平面CDE的一个法向量，则n?DE?0，n?DC?0， ?x?z?0,即?

?x?y?0.?令x?1，则n?(1,1,?1)．

设直线BE与平面CDE所成的角为?，

????????|BE?n||2?22?2|2?则sin??|cos?BE,n?|????． ??3|BE|?|n|23?32

所以BE和平面CDE所成的角的正弦值

（III）设CF??CE，??[0,1]．

2． ……………1０分 3????????????????????DC?(?2,2,0)，CE?(22,?2,2)，DB?(0,22,0). ????????????????????则DF?DC?CF?DC??CE?2(2??1,???1,?)．

????????设m?(x',y',z')是平面BEF一个法向量，则n?EB?0，n?EF?0， ?y'?0,即?

(2??1)x'?(???1)y'??z'?0.?令x'?1，则m?(1,0,?2??1?)．

2??11?0，???[0,1].

3若平面BEF?平面CDE，则m?n?0，即1??所以，在线段CE上存在一点F使得平面BEF?平面CDE.……………14分

17-1．某大学为调研学生在A，B两家餐厅用餐的满意度，从在A，B两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取了100人，每人分别对这两家餐厅进行评分，满分均为60分．

整理评分数据，将分数以10为组距分成6组：[0,10)，[10,20)，[20,30)，[30,40)，[40,50)，[50,60]，得到A餐厅分数的频率分布直方图，和B餐厅分数的频数分布表：

B餐厅分数频数分布表 分数区间 频数 [0,10) 2 3 5 15 [10,20) [20,30) [30,40) [40,50) 40 35 [50,60] （Ⅰ）在抽样的100人中，求对A餐厅评分低于30的人数； （Ⅱ）从对B餐厅评分在[0,20)范围内的人中随机选出2人，求2人中恰有1人评分在[0,10)范围内的概率； （Ⅲ）如果从A，B两家餐厅中选择一家用餐，你会选择哪一家？说明理由． 解：（Ⅰ）由A餐厅分数的频率分布直方图，得

对A餐厅评分低于30的频率为(0.003?0.005?0.012)?10?0.2，[ 2分]

所以，对A餐厅评分低于30的人数为100?0.2?20． [ 3分] （Ⅱ）对B餐厅评分在[0,10)范围内的有2人，设为M1,M2；

对B餐厅评分在[10,20)范围内的有3人，设为N1,N2,N3．

3

从这5人中随机选出2人的选法为：

(M1,M2)，(M1,N1)，(M1,N2)，(M1,N3)，(M2,N1)，(N1,N2)，(N1,N3)，(N2,N3)，(M2,N2)，(M2,N3)，

共10种．[ 7分]

其中，恰有1人评分在[0,10)范围内的选法为：(M1,N1)，(M1,N2)，(M1,N3)，(M2,N1)，(M2,N2)，

(M2,N3)，共6种．[ 9分]

故2人中恰有1人评分在[0,10)范围内的概率为P?63?．[10分] 105（Ⅲ）从两个餐厅得分低于30分的人数所占的比例来看：

由（Ⅰ）得，抽样的100人中，A餐厅评分低于30的人数为20， 所以，A餐厅得分低于30分的人数所占的比例为20%． B餐厅评分低于30的人数为2?3?5?10，

所以，B餐厅得分低于30分的人数所占的比例为10%．

所以会选择B餐厅用餐． [13分]

17-2．（本小题13分）

某公司（人数众多）为鼓励员工利用网络进行营销，准备为员工办理手机流量套餐.

为了解员工手机流量使用情况，通过抽样，得到100位员工每人手机月平均使用流量L(单位：M)的数据，其频率分布直方图如右：

将频率视为概率，以直方图给的数 据作为依据，回答以下问题：

（Ⅰ）从该公司的员工中随机抽取3人，

求这3人中至少有1人手机月流量 不低于700M的概率；

（Ⅱ）据了解，某网络营运商推出两款

流量套餐，详情如下：

套餐名称 月套餐费(单位：元) 月套餐流量(单位：M) A B 20 30 700 1000 流量套餐的规则是：每月1日收取套餐费.如果手机实际使用流量超出套餐流量，则需要购买流量叠加包，每一个叠加包(包含200M的流量)需要10元，可以多次购买；如果当月流量有剩余，将会被清零.该企业准备为所有员工订购其中一款流量套餐，保证员工的流量使用，并支付所有费用.你认为该企业订购哪一款套餐更经济？请说明理由.

（Ⅰ）解：依题意，(0.0008?0.0022?a?0.0035?0.0008?0.0002)?100?1. 得a?0.0025.

从该公司的员工中随机抽取3人，可近似的看为独立重复实验，每人手机月流量超过700M的概率为

1-(0.0008?0.0022)?100?0.7.

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