2020年九年级中考数学复习专题训练：《反比例函数》综合
1．如图，在平面直角坐标系中，将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，点C坐标为（﹣1，0），tan∠ACO＝2．一次函数y＝kx+b的图象经过点B、C，反比例函数y＝的图象经过点B．
（1）一次函数关系式为 、反比例函数的关系式为 ； （2）当x＜0时，kx+b﹣＜0的解集为 ；
（3）在x轴上找一点M，使得AM+BM的值最小，并求M的坐标和AM+BM的最小值． （4）若x轴上有两点E、F，点E在点F的左边，且EF＝1．当四边形ABEF周长最小时，请直接写出点E的横坐标为 ．
2．如图，一次函数y1＝k1x+4与反比例函数y2＝2），与y轴交于点C．
（1）k1＝ ，k2＝ ； （2）根据函数图象知，
①当y1＞y2时，x的取值范围是 ； ②当x为 时，y2＞﹣2x．
（3）过点A作AD⊥x轴于点D，点P是反比例函数在第一象限的图象上一点，设直线OP与线段AD交于点E，当S四边形ODAC：S△ODE＝4：1时，求点P的坐标．
（4）点M是y轴上的一个动点，当△MBC为直角三角形时，直接写出点M的坐标．
的图象交于点A（2，m）和B（﹣6，﹣
3．如图1，在平面直角坐标系中，放置有一个Rt△ABC，顶点A与原点O重合，边AC与x轴重合，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，反比例函数y＝的图象分别与AB和BC交于点D、
E，且此时点D恰为AB的中点．
（1）求反比例函数的表达式及点E的坐标；
（2）连接DE，在x轴上存在一点P，可使得△DEP成为以DE为腰的等腰三角形，试求出所有符合条件的点P的坐标；
（3）如图2，保持反比例函数图象不变，将△ABC沿x轴向左平移，使得点E成为BC的中点，求此时点D的坐标．
4．如图，反比例函数y＝（x＞0）过点A （3，4），直线AC与x轴交于点C （6，0），交y轴于点E，过点C作x轴的垂线BC交反比例函数图象于点B． （1）求k的值与B点的坐标；
（2）将直线EC向右平移，当点E正好落在反比例函数图象上的点E'时，直线交x轴于点F．请判断点B是否在直线EF上并说明理由；
（3）在平面内有点M，使得以A、B、F、M四点为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出符合条件的所有M点的坐标．
5．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝x与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A（2，a）． （1）求a，k的值；
（2）横，纵坐标都是整数的点叫做整点．点P（m，n）为射线OA上一点，过点P作x轴，y轴的垂线，分别交函数y＝（x＞0）的图象于点B，C．由线段PB，PC和函数y＝（x＞0）的图象在点B，C之间的部分所围成的区域（不含边界）记为W． ①若PA＝OA，求区域W内的整点个数；
②若区域W内恰有5个整点，结合函数图象，直接写出m的取值范围．
6．已知一次函数y＝ax+b的图象交x轴于点P，交反比例函数y＝（k≠0）的图象于A、
B两点，且A点坐标为（1，4）．
（1）求反比例函数y＝（k≠0）的解析式； （2）若PA：PB＝3：1，求P点坐标；
（3）在（2）的条件下，是否存在既相切于直线AP，又相切于x轴，且圆心C在反比例函数图象上的圆？若存在，求出C点的横坐标；若不存在，请说明理由．
7．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边AB在x轴正半轴上（点B在点A的右侧），
AB＝3，AD＝8，AD⊥x轴，CD在第一象限，边AD的中点E在函数y＝（x＞0）的图象
上，边BC交该函数图象于点F．连接BE． （1）求BE的长；
（2）若CF﹣BE＝2，求k的值．
8．若一个函数当自变量在不同范围内取值时，函数表达式不同，我们称这样的函数为分段函数，下面我们参照学习函数的过程与方法，探究分段函数y＝与性质，探究过程如下，请补充完整． （1）列表：
的图象
x y
… …
﹣4 3
﹣3 ﹣2 1
﹣1 0
0 1
1 2
2 1
3 4
… …
m n
其中，m＝ ，n＝ ．
（2）描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以相应的函数值y为纵坐标，描出相应的点，如图所示，请画出函数的图象． （3）研究函数并结合图象与表格，回答下列问题：
①点A（，y1），B（5，y2），C（x1，），D（x2，6）在函数图象上，则y1 y2，
x1 x2；（填“＞”，“＝”或“＜”）
②当函数值y＝1时，求自变量x的值；
（4）若直线y＝﹣x+b与函数图象有且只有一个交点，请直接写出b的取值范围．
9．如图，小明用图形计算器绘制了如图所示的关于y轴对称的图形，该图形由左右两侧的两段反比例函数图象和△ABC构成，点C恰为OD的中点，AB＝2，S△ABC＝2． （1）求左右两侧反比例函数的关系式（要求分别注明自变量的取值范围）； （2）平行于x轴的直线y＝a与该图形有三个交点，请求出交点坐标； （3）请分别写出直线y＝a与该图形有两个交点和没有交点时a的取值范围．
10．在平面直角坐标系xOy中，直线y＝2x+b与双曲线y＝交于A，B两点．P是线段AB上一点（不与点A，点B重合），过点P作平行于x轴的直线交双曲线y＝于点M，过点P作平行于y轴的直线交双曲线y＝于点N． （1）当点A的横坐标为1时，求b的值； （2）在（1）的条件下，设P点的横坐标为m， ①若m＝﹣1，判断PM与PN的数量关系，并说明理由； ②若PM＜PN，结合函数图象，直接写出m的取值范围．
11．如图，一次函数y1＝mx+n与反比例函数y2＝（x＞0）的图象分别交于点A（a，4）和点B（8，1），与坐标轴分别交于点C和点D． （1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）观察图象，当x＞0时，直接写出y1＞y2的解集；
（3）若点P是x轴上一动点，当△COD与△ADP相似时，求点P的坐标．
12．已知在平面直角坐标中，点A（m，n）在第一象限内，AB⊥OA且AB＝OA，反比例函数y＝的图象经过点A，
（1）当点B的坐标为（4，0）时（如图），求这个反比例函数的解析式；
（2）当点B在反比例函数y＝的图象上，且在点A的右侧时（如图2），用含字母m，
n的代数式表示点B的坐标；
（3）在第（2）小题的条件下，求的值．
13．已知△OAB的边BA⊥x轴于A，E为OB中点，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点
E，交AB于点F．
（1）若OA＝4，BF＝3，求k的值
（2）在（1）的条件下，过点E作EG⊥y轴于G，M为双曲线上第一象限内一点，作MN⊥x轴于N，交EG于H，若EN∥MG，求EN的长，并判断四边形MGNE的形状． （3）如图2，若OB的解析式y＝x（x≥0）图象上一点，P为OB上一点，过点P作x轴的垂线PR交x轴于R，交反比例函数图象于点Q，以PQ为斜边作等腰直角三角形PQS，
S点也在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，若△OPQ的面积为6，直接写出k的值．
14．如图1在平面直角坐标系xOy中，双曲线y＝（k≠0）与直线y＝ax+b（a≠0）交于
A、B两点，直线AB分别交x轴、y轴于C、D两点，E为x轴上一点，已知OA＝OC＝OE，A点坐标为（3，4）．
（1）分别求出双曲线与直线的函数表达式；
（2）将线段OE沿x轴平移得线段O′E′（如图2），在移动过程中，是否存在某个位置使|BO′﹣AE′|的值最大？若存在，求出|BO′﹣AE′|的最大值及此时点O′的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）将直线OA沿线段CE平移，平移过程中交y＝（x＞0）的图象于点M（M不与A重合），交x轴于点N（如图3）在平面内找一点G，在平移过程中，是否存在某个位置
使以M，N，E，G为顶点的四边形为菱形？若存在，求出G的坐标；若不存在，请说明理由．
15．如图①，在矩形OABC中，OA＝4，OC＝3，分别以OC、OA所在的直线为x轴、y轴，建立如图所示的坐标系，连接OB，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过线段OB的中点D，并与矩形的两边交于点E和点F，直线l：y＝kx+b经过点E和点F． （1）求反比例函数的解析式； （2）连接OE、OF，求△OEF的面积；
（3）在第一象限内，请直接写出关于x的不等式kx+b≤的解集： ． （4）如图②，将线段OB绕点O顺时针旋转一定角度，使得点B的对应点H恰好落在x轴的正半轴上，连接BH，作OM⊥BH，点N为线段OM上的一个动点，求HN+值．
ON的最小
16．如图，四边形OABC是矩形，A、C分别在y轴、x轴上，且OA＝6cm，OC＝8cm，点P从点A开始以2cm/s的速度向B运动，点Q从点B开始以1cm/s的速度向C运动，设运动时间为t．
（1）如图（1），当t为何值时，△BPQ的面积为4cm2？ （2）当t为何值时，以B、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似？
（3）如图（2），在运动过程中的某一时刻，反比例函数y＝的图象恰好同时经过P、
Q两点，求这个反比例函数的解析式．
17．如图，直线AB经过A（1，0）、B（0，1）两点，动点P在曲线y＝
（x＞0）上运动，
PM⊥x轴，垂足分别为点M、N，PM、PN与直线AB分别交于点E、F．
（1）求证：矩形OMPN的面积为定值； （2）求AF?BE的值；
（3）求动点P到直线AB的最短距离．
18．如图，在平面直角坐标系中，OA⊥OB，AB⊥x轴于点C，点A（＝的图象上．
（1）求反比例函数y＝的表达式；
，1）在反比例函数y（2）在x轴的负半轴上存在一点P，使得S△AOP＝S△AOB，求点P的坐标；
（3）若将直线AB绕点B按逆时针方向旋转α°（0＜α＜180）后使得旋转后的直线与双曲线在第三象限的分支只有一个公共点．直接写出α值．
19．已知点A（1，
）．
（1）将点A绕点O逆时针旋转30°得到点B，作出图形并直接写出点B的坐标； （2）将点O绕点A旋转60°后得到点C，点E在直线AC上，且AE＝AO，若点E在反比例函数y＝的图象上，求m的值；
（3）在（1）的条件下，点D（3，﹣1），若将线段BD向右平移1个单位长度后与反例函数y＝的图象有且仅有一个公共点，请直接写出n的取值范围．
20．【阅读理解】对于任意正实数a、b， ∵（
﹣
）2≥0， ≥0， ，
∴a+b﹣2∴a+b≥2
只有当a＝b时，等号成立． 【数学认识】在a+b≥2
（a、b均为正实数）中，若ab为定值k，则a+b≥2
．
，只
有当a＝b时，a+b有最小值2【解决问题】 （1）若x＞0，4x+
有最小值为 ，此时x＝ ．
（2）如图，已知直线L1：y＝x+1与x轴交于点A，过点A的另一直线L2与双曲线y＝（x＞0）相交于B（2，m），若点C为双曲线上任意一点，作CD∥y轴交直线L1于点
D，试求当线段CD最短时，求△ACD面积．
参考答案
1．解：（1）如图1中，过点B作BF⊥x轴于点F，
∵点C坐标为（﹣1，0）， ∴OC＝1， ∵tan∠ACO＝2＝∴OA＝2，
点A坐标为（0，2）． ∴OA＝2，OC＝1， ∵∠BCA＝90°， ∴∠BCF+∠ACO＝90°， 又∵∠CAO+∠ACO＝90°， ∴∠BCF＝∠CAO， ∴△AOC≌△CFB（AAS）， ∴FC＝OA＝2，BF＝OC＝1， ∴点B的坐标为（﹣3，1），
将点B的坐标代入反比例函数解析式可得：1＝， 解得：m＝﹣3，
故可得反比例函数解析式为y＝﹣， 将点B、C的坐标代入一次函数解析式可得：
，
，
解得：．
故可得一次函数解析式为y＝﹣x﹣． 故答案为：y＝﹣x﹣，y＝﹣．
（2）结合点B的坐标及图象，可得当x＜0时，kx+b﹣＜0的解集为：﹣3＜x＜0． 故答案为：﹣3＜x＜0．
（3）如图2中，作点A关于x轴的对称点A′，连接 B A′与x轴 的交点即为点M，
设直线BA'的解析式为y＝ax+b，将点A'及点B的坐标代入可得：
，解得：
，
故直线BA'的解析式为y＝﹣x﹣2，
令y＝0，可得﹣x﹣2＝0，解得：x＝﹣2，故点M 的坐标为（﹣2，0），
AM+BM＝BM+MA′＝BA′＝＝3，
．
综上可得：点M的坐标为（﹣2，0），AM+BM的最小值为3
（4）如图3中，把B向右平移1个单位得到B′（﹣2，1），作点A关于x轴的对称点
A′（0，﹣2），连接A′B′交x轴于点F，
∵直线A′B′的解析式为y＝﹣x﹣2， ∴F（﹣，0）， ∴OF＝ ∴OE＝1+＝ ∴点E的横坐标为， 故答案为．
2．解：（1）将点B（﹣6，﹣2）代入y1＝k1x+4， ﹣2＝﹣6k1+4，解得：k1＝1； 将点B（﹣6，﹣2）代入y2＝﹣2＝
，解得：k2＝12．
①，
故答案为：1；12．
（2）①观察函数图象可知：当﹣6＜x＜0或x＞2时，一次函数图象在反比例函数图象上方，
∴当y1＞y2时，x的取值范围是﹣6＜x＜0或x＞2． 故答案为：﹣6＜x＜0或x＞2．
②过点O作直线l：y＝﹣2x，如图1所示．
观察图形可知：x＞0时，反比例函数图象在直线l上方， 故答案为：x＞0．
（3）依照题意，画出图形，如图2所示．
当x＝2时，m＝x+4＝6， ∴点A的坐标为（2，6）； 当x＝0时，y1＝x+4＝4， ∴点C的坐标为（0，4）．
∵S四边形ODAC＝（OC+AD）?OD＝×（4+6）×2＝10，S四边形ODAC：S△ODE＝4：1， ∴S△ODE＝OD?DE＝×2DE＝10×， ∴DE＝2.5，即点E的坐标为（2，2.5）． 设直线OP的解析式为y＝kx， 将点E（2，2.5）代入y＝kx，得 2.5＝2k，解得：k＝，
∴直线OP的解析式为y＝x②．
联立①②并解得：，，
∵点P在第一象限， ∴点P的坐标为（，
）．
（4）依照题意画出图形，如图3所示．
当∠CMB＝90°时，BM∥x轴， ∴点M的坐标为（0，﹣2）； 当∠CBM＝90°时，
∵直线AC的解析式为y＝x+4， ∴∠BCM＝45°，
∴△BCM为等腰直角三角形， ∴CM＝﹣2xB＝12，
∴点M的坐标为（0，﹣8）．
综上所述：当△MBC为直角三角形时，点M的坐标为（0，﹣2）或（0，﹣3．解：（1）∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝4， ∴点B、C的坐标分别为：（4，4）、（4，0）， ∵D为AB的中点，故点D（2，2），
将点D的坐标代入反比例函数表达式得：2＝，解得：k＝4，
8）． 故反比例函数表达式为：y＝①，
设点E（4，m），将点E的坐标代入上式并解得：m＝1， 故点E（4，1）；
（2）设点P（m，0），而点D、E的坐标分别为：（2，2）、（4，1），
DE2＝（4﹣2）2+（2﹣1）2＝5，PD2＝（m﹣2）2+4；PE2＝（m﹣4）2+1，
当DE＝PD时，则5＝（m﹣2）2+4，解得：m＝1或3； 当DE＝PE时，同理可得：m＝2或6；
故点P的坐标为：（1，0）或（2，0）或（3，0）或（6，0）；
（3）设三角形ABC向左平移了m个单位，
则点C、B的坐标分别为：（4﹣m，0）、（4﹣m，4）， ∵点E为BC的中点， ∴点E（4﹣m，2），
将点E的坐标代入反比例函数表达式得：2＝
，解得：m＝2，
故点C、B的坐标分别为：（2，0）、（2，4），点A（﹣2，0）， 设直线AB的表达式为：y＝sx+t，则故直线AB的表达式为：y＝x+2②， 联立①②并解得：故点D的坐标为：（
或﹣1，
+1）．
（舍去）；
，解得：
，
4．解：（1）把点A（3，4）代入y＝（x＞0），得
k＝xy＝3×4＝12，
故该反比例函数解析式为：y＝∵点C（6，0），BC⊥x轴， ∴把x＝6代入反比例函数y＝∴B（6，2）．
综上所述，k的值是12，B点的坐标是（6，2）；
，得：y＝
＝2，
．
（2）设直线A、C的表达式为：y＝kx+b，则
，解得：
，
故直线AC的表达式为：y＝﹣x+8， 令x＝0，则y＝8，故点E（0，8）， 设直线EC向右平移m个单位，
则平移后直线的表达式为：y＝﹣（x﹣m）+8，则点E′（m，8）， ∵点E′在反比例函数上，
∴将点E′坐标代入反比例函数表达式得：8m＝12，解得：m＝， 则平移后直线的表达式为：y＝﹣（x﹣）+8＝﹣x+10， 令y＝0，则x＝
，故点F（
，0）；
当x＝6时，y＝﹣x+10＝2， 故点B在直线EF上；
（3）设点M的坐标为（s，t），
而点A、B、F的坐标分别为：（3，4）、（6，2）、（①当AB是边时，
点A向右平移3个单位向下平移2个单位得到B，
同样点M（N）向右平移3个单位向下平移2个单位得到N（M）， 故
或
，解得：
或
，
，0）；
故点M的坐标为：（②当AB是对角线时，
，﹣2）或（，2）；
由中点公式得：，解得：，
故点M的坐标为（，6）；
综上，点M的坐标为：（，﹣2）或（，2）或（，6）．
5．解：（1）∵直线l：y＝x与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A（2，a）． ∴
，
∴点A（2，3）， ∵反比例函数∴k＝3×2＝6；
（2）①∵点P为射线OA上一点，且PA＝OA， ∴A为OP中点， ∵A（2，3），
∴点P的坐标为（4，6）， 将x＝4代入将y＝6代入
中，得
，
过点A，
中，得x＝1，
∵PB，PC分别垂直于x轴和y轴， ∴B（4，），C（1，6）， 如图，
结合函数图象可知，区域W内有5个整点； ②当点P在点A下方时，如图，
结合函数图象可知，当≤m＜1时，区域W内有5个整点； 当点P在点A上方时，如图，
结合函数图象可知，当综上所述：当≤m＜1或
时，区域W内有5个整点； 时，区域W内有5个整点；
6．解：（1）∵点A（1，4）在反比例函数y＝的图象上， ∴4＝， ∴k＝4，
从而可得所求反比例函数的解析式为y＝．
（2）如图，分别过A，B作AN⊥x轴，BM⊥x轴，N，M为垂足．
当点B在反比例函数的左支图象上时， ∵PA：PB＝3：1，
∴AN：BM＝3：1，又由已知AN＝4， ∴BM＝， ∴OM＝3，
设OP＝a，则PN＝a+1，PM＝3﹣a，由已知可得即此时P点坐标为（﹣2，0）． 当点B在反比例函数的右支图象上时， ∵PA：PB＝3：1，
∴AN：BM＝3：1，又由已知AN＝4， ∴BM＝， ∴OM＝3，
设OP＝a，则PN＝a﹣1，PM＝a﹣3，由已知可得即此时P点坐标为（4，0）．
（3）∵⊙C既相切于直线AP，又相切于x轴， ∴点C在∠APO或其外角的角平分线上，
当点P在x轴负半轴上，且点C在∠APO的角平分线时， 由（2）知，AP＝5，取点E（3，0），则PA＝PE， ∴线段AE的中点Q坐标为（2，2），
＝，解得a＝4， ＝，解得a＝2，
∴∠APO的角平分线为y＝x+1，
由，解得或，
∴C点很坐标为2或﹣4，
当点P在x轴负半轴上，且点C在∠APO的外角平分线上时，无解， 当点P在x轴正半轴上，且点C在∠APO的角平分线上时，无解， 当点P在x轴正半轴上，且点C在∠APO的外角平分线上时， 由（2）知，AP＝5，取点E（﹣1，0），则PA＝PE， ∴线段AE的中点Q坐标为（0，2）， ∴∠APO的角平分线为y＝﹣x+2， ∴∠APO的外角平分线为y＝2x﹣8， 由
，解得
+2或
或+2．
+2或
+2．
，
∴C点横坐标为﹣
综上所述，满足条件点C的横坐标为2或﹣4或﹣7．解：（1）由题意可知AE＝4，
∵矩形ABCD的边AB在x轴正半轴上，AD⊥x轴，且AB＝3， ∴BE＝
＝
＝5；
（2）∵BE＝5，CF﹣BE＝2， ∴CF＝7， ∵BC＝AD＝8， ∴BF＝8﹣7＝1，
设E（m，4），则F（m+3，1），
∵点E、F在函数y＝（x＞0）的图象上， ∴k＝4m＝（m+3）×1， 解得k＝4．
8．解：（1）x＝﹣3代入y＝|x+1|得，y＝2， ∴m＝2，
把x＝3代入y＝中得，y＝， ∴n＝， 故答案为2，； （2）如图所示：
（3）由图象可知A与B在y＝上，y随x的增大而减小，所以y1＞y2；
C与D在y＝|x﹣1|上，所以x1＞x2；
故答案为＞，＞；
②当y＝1时，x≤1时，有1＝|x+1|， ∴x＝0或x＝﹣2，
当y＝1时，x＞1时，有1＝， ∴x＝2，
故x＝0或x＝﹣2或x＝2； （4）由图象可知，﹣1＜b＜29．解：（1）S△ABC＝×AB×CD＝解得：CD＝2， ∵C恰为OD的中点，
∴OC＝CD＝2，故点C、D的坐标分别为：（0，2）、（0，4）； 图形关于y轴对称，AB＝2，
则点A、B的坐标分别为：（﹣1，4）、（1，4）； 设y轴左侧函数为y1，其表达式为：y1＝， 将点A的坐标代入上式并解得：k＝﹣4，
或b＞3．
×CD＝2，
故y1的表达式为：y1＝﹣（x≤﹣1）；
同理y轴右侧函数y2的表达式为：y2＝（x≥1）；
（2）从图象看，直线y＝a与该图形有三个交点时，直线y＝a过点C（0，2）， 将点C的坐标代入y1的表达式得：2＝﹣，解得：x＝﹣2，故交点为：（﹣2，2）； 同理直线y＝a与y2图象的交点坐标为：（2，2）； 故交点坐标为：（﹣2，2）、（0，2）、（2，2）；
（3）直线y＝a与该图形有两个交点时，y＝a在点C和x轴之间， 故0＜a＜4；
当直线y＝a与该图形没有交点时，直线y＝a在AB上方或x轴下方， 故a＞4或a≤0．
10．解：（1）点A的横坐标为1时，点A在反比例函数上，则点A（1，5）， 将点A的坐标代入直线表达式得：5＝2×1+b， 解得：b＝3；
（2）由（1）知，直线的表达式为：y＝2x+3，
令y＝0，则x＝﹣，即直线和x轴的交点坐标为：（﹣，0）， 设点P的坐标为（m，2m+3），则点M、N的坐标分别为：（①相等，理由：
当m＝﹣1时，点M、N的坐标分别为（5，1）、（﹣1，﹣5），点P（﹣1，1）， 则PM＝5+1＝6，PN＝1﹣（﹣5）＝6， 故PM＝PN； ②PM＝|
|，PN＝|2m+3﹣|；
，2m+3）、（m，）；
（Ⅰ）当点P在第一象限时， 此时m＞0，2m+3＞0，
∵PM＜PN，故＜﹣2m﹣3，
解得：﹣＜m＜1，而m＞0， 故0＜m＜1；
（Ⅱ）当点P在第二象限时， 2m+3＞0且m＜0，即﹣＜m＜0， ∵PM＜PN，故化简得：5（
＜2m+3﹣， ）＜3m+3，
当3m+3＞0时，即﹣1＜m＜0，
化简得：2m2+3m﹣5＜0，解得：﹣＜m＜1， 故﹣1＜m＜0； 当3m+3＜0时，
同理可得：m＞1或m＜﹣，故：无解； 综上，﹣1＜m＜0；
（Ⅲ）当点P在第三象限时， 同理可得：﹣3＜m＜﹣；
综上所述，m的取值范围为：0＜m＜1或﹣1＜m＜0或﹣3＜m＜﹣． 11．解：（1）把B（8，1）代入反比例函数y2＝，得k＝8 ∴反比例函数的关系式为y2＝， ∵点A（a，4）在y2＝图象上， ∴a＝2，即A（2，4）
把A（2，4），B（8，1）两点代入y1＝mx+n并解得：m＝﹣，n＝5， 所以直线AB的解析式为：y1＝﹣x+5；反比例函数的关系式为y2＝；
（2）由图象可得，当x＞0时，y1＞y2的解集为2＜x＜8；
（3）由（1）得直线AB的解析式为y1＝﹣x+5， 当x＝0时，y＝5， ∴C（0，5）， ∴OC＝5，
当y＝0时，x＝10， ∴D点坐标为（10，0） ∴OD＝10， ∴CD＝5
，
∵A（2，4）， ∴AD＝4
，
设P点坐标为（b，0），由题可以，点P在点D左侧，则PD＝10﹣b 由∠CDO＝∠ADP可得 ①当△COD∽△APD时，∴
，解得b＝2，
，
故点P坐标为（2，0）； ②当△COD∽△PAD时，∴
，解得b＝0，
，
即点P的坐标为（0，0）
因此，点P的坐标为（2，0）或（0，0）时，△COD与△ADP相似． 12．解：（1）过A作AC⊥OB，交x轴于点C，
∵OA＝AB，∠OAB＝90°， ∴△AOB为等腰直角三角形， ∴AC＝OC＝BC＝OB＝2，
∴A（2，2），
将x＝2，y＝2代入反比例解析式得：2＝，即k＝4， 则反比例解析式为y＝；
（2）过A作AE⊥x轴，过B作BD⊥AE， ∵∠OAB＝90°， ∴∠OAE+∠BAD＝90°， ∵∠AOE+∠OAE＝90°， ∴∠BAD＝∠AOE， 在△AOE和△BAD中，
，
∴△AOE≌△BAD（AAS）， ∴AE＝BD＝n，OE＝AD＝m， ∴DE＝AE﹣AD＝n﹣m，OE+BD＝m+n， 则B（m+n，n﹣m）；
（3）由A与B都在反比例图象上，得到mn＝（m+n）（整理得：n2﹣m2＝mn，即（）2+﹣1＝0， 这里a＝1，b＝1，c＝﹣1， ∵△＝1+4＝5， ∴＝
，
∵A（m，n）在第一象限， ∴m＞0，n＞0， 则＝
．
13．解：（1）如图1，过点E作ET⊥x轴于T．
n﹣m），
设F（4，a）， ∴B（4，3+a）， ∵BA⊥x轴， ∴ET∥AB， ∵E为OB中点， ∴OE＝EB，
∴OT＝TA，TE＝AB， ∴E（2，
），
∵反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点E，F， ∴k＝4a＝2×∴a＝1，k＝4．
（2）如图2，
，
由（1）知，a＝1，
∴E（2，2），设M（b，），则G（0，2），N（b，0）， ∴CN＝2，MN＝，
∴MC＝MN﹣CN＝﹣2，GC＝b， ∵MG∥EN，
∴∠MGC＝∠CEN，∠GMC＝∠CNE， ∴△MGC∽△NEC， ∴
＝
，
∴＝，
∴b＝1， ∴N（1，0），EN＝
＝
，
∵GC＝CE＝1，MC＝NC＝2，且MN⊥GE， ∴四边形MGNE为菱形．
（3）设P（m，m），∴Q（m，）， ∵以PQ为斜边作等腰直角三角形PQS， ∴S点的纵坐标为
，横坐标为m+
，
由题意：．
解得∴k＝18．
或（舍弃）
14．解：（1）∵A（3，4）， ∴OA＝
＝5，
∵OA＝OC＝OE， ∴OA＝OC＝OE＝5，
∴C（﹣5，0），E（5，0）， 把A、C两点坐标代入y＝ax+b得到
，
解得，
∴直线的解析式为y＝x+，
把A（3，4）代入y＝中，得到k＝12， ∴反比例函数的解析式为y＝
（2）把A向左平移5个单位得A1（﹣2，4），作B关于x轴的对称点B1， 则有|BO′﹣AE′|＝|BO′﹣A1O′|＝B1O′﹣A1O′|≤A1B1， 直线AC：y＝x+，双曲线：y＝
， ．
可得B（﹣8，﹣），B1（﹣8，）， ∴A1B1＝∴直线A1B1：y＝
＝
，
x+， ，
令y＝0，可得x＝﹣∴O′（﹣
，0）．
∴|BO′﹣AE′|的最大值为
，此时点O′的坐标（﹣，0）．
（3）∵直线OA的解析式为y＝x，设平移后直线MN的解析式为y＝x+b，设M（m，则有∴b＝
＝m+b， ﹣m，
﹣m，
），
∴直线MN的解析式为y＝x+令y＝0，得到x＝m﹣，
∴N（m﹣，0）．
①当MN与NE为菱形的邻边时，MN＝NE，（5﹣m+）2＝（）2+（整理得：（5﹣m）2﹣18?（5﹣m）?﹣∴（5﹣m+∴5﹣m+
）（5﹣m﹣）＝0， ＝0，解得m＝8或﹣3（舍弃）
＝0，
）2，
或5﹣m﹣＝0，解得m＝2或3（都不符合题意舍弃）， ∴m＝8，
∴M（8，），此时G（2，）．
②当EN与EM为菱形的邻边时，EN＝EM，（5﹣m+）2＝（m﹣5）2+（整理得：2m2﹣10m+7＝0，解得m＝∴M（或（
，
，
）或（
）．
）2＝（m﹣5）2+（
）2，
，
，
）．此时G（
，
）
）2，
③当MN与ME为菱形的邻边时，MN＝ME，（）2+（解得m＝∴M（
，或
（舍弃）， ）．此时G（
，
），
，
）．
）或
综上所述，满足条件的点G的坐标为（2，（
，
）或（
，
）或（
15．解：（1）在矩形ABCO中，∵OA＝BC＝4，OC＝AB＝3， ∴B（3，4）， ∵OD＝DB， ∴D（，2），
∵y＝经过D（，2）， ∴k＝3，
∴反比例函数的解析式为y＝．
（2）如图①中，连接OE，OF．
由题意E（，4），F（3，1）， ∴S△OEF＝S．
（3）观察图象可知：在第一象限内，关于x的不等式kx+b≤的解集为：0＜x＜或x＞3．
故答案为：0＜x＜或x＞3．
（4）如图②中，作NJ⊥BD于J．HK⊥BD于K．
矩形ABCO﹣S△AOE﹣S△OCF﹣S△EFB＝12﹣×4×﹣×3×1﹣×3×（3﹣）＝
由题意OB＝OH＝5， ∴CH＝OH﹣OC＝5﹣3＝2， ∴BH＝∴sin∠CBH＝∵OM⊥BH，
∴∠OMH＝∠BCH＝90°，
∵∠MOH+∠OHM＝90°，∠CBH+∠CHB＝90°， ∴∠MOH＝∠CBH， ∵OB＝OH，OM⊥BH， ∴∠MOB＝∠MOH＝∠CBH， ∴sin∠JOD＝
， ＝＝
，
＝2
，
∴NJ＝ON?sin∠NOD＝∴NH+
ON，
ON＝NH+NJ，
ON的值最小，最小值
根据垂线段最短可知，当J，N，H共线，且与HK重合时，HN+＝HK的长，
∵OB＝OH，BC⊥OH，HK⊥OB， ∴HK＝BC＝4， ∴HN+
ON是最小值为4．
16．解：（1）由题意AB＝OC＝8cm，AO＝BC＝6cm，∠B＝90°，
∵PA＝2t，BQ＝t， ∴PB＝8﹣2t，
∵△BPQ的面积为4cm2， ∴?（8﹣2t）?t＝4， 解得t＝2，
∴t＝2s时，△PBQ的面积为4．
（2）①当△BPQ∽△BAC时，∴
＝，
．
＝
， ＝
，
解得t＝
②当△BPQ∽△BCA时，∴
＝，
，
解得t＝∴t为
s或s时，以B、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似．
（3）由题意P（2t，6），Q（8，6﹣t），
∵反比例函数y＝的图象恰好同时经过P、Q两点， ∴12t＝8（6﹣t）， 解得t＝∴P（∴m＝
， ，6）， ，
．
∴反比例函数的解析式为y＝
17．（1）证明：设P（m，n），由题意mn＝， ∴S矩形OMPN＝mn＝＝定值．
（2）证明：过点E、F分别作y轴、x轴的垂线，垂足为D、C， 则△AOB，△FCA，△DBE为等腰直角三角形， 设P（x0，y0），则FC＝y0，DE＝x0，AF＝∴AF?BE＝又y0＝
y0，BE＝x0，
y0?
，
x0＝2x0y0，
即2x0y0＝1， ∴AF?BE＝1；
（3）解：平行于AB的直线l的解析式为y＝﹣x+b，设l与双曲线的唯一公共点Q坐标为（x，y）， 联立
，得2x2﹣2bx+1＝0，
（﹣
舍去），
由△＝4b2﹣8＝0，得b＝∴x＝
，y＝
， ，
即Q点的坐标为（），连接OQ交AB于T．
由题意直线OQ的解析式为y＝x， 由
，
解得，
∴T（，）， ∴OQ＝1，OT＝
，
∴TQ＝1﹣，
．
∴动点P到直线AB的最短距离为1﹣18．解：（1）∵A（∴k＝∴
（2）∵A（∴OC＝
．
，1）在反比例函数y＝的图象上，
，1），AB⊥x轴于点C，
，AC＝1，
∵OA⊥OB，OC⊥AB， ∴∠A＝∠COB， ∴tan∠A＝
＝tan∠COB＝
，
∴OC2＝AC?BC，即BC＝3， ∴AB＝4， ∴
设点P的坐标为（m，0）， ∴
，解得
，
，
，
∵P为x轴的负半轴上的点， ∴m＝﹣
，
）．
∴点P的坐标为（
（3）将线段BA绕点B逆时针旋转60°得到线段BE，则BE的解析式为y＝﹣x﹣2，
由，消去y得到x2+6x+3
＝0，
∵△＝62﹣4?
?3＝0，
∴直线BE与反比例函数只有一个交点，此时α＝60，
观察图象可知当90＜α＜180时，直线BE与反比例函数只有一个交点，
综上所述，满足条件的α：90＜α＜180或α＝60．
19．解：（1）如图1中，作AH⊥x轴于H．
∵A（1，），
，OA＝＝
，
＝2，
∴OH＝1，AH＝∴tan∠AOH＝
∴∠AOH＝60°，
∴点A绕点O逆时针旋转30°得到点B，点B在y轴上， ∴B（0，2）．
（2）如图1中，由题意AE＝3，若点O绕点A顺时针旋转60°得到点C′，则C′（﹣1，），则E的坐标为E1（4，
）或E2（﹣2，
），可得m＝4
或﹣2
；
若点O绕点A逆时针旋转60°得到点C，则C（2，0），利用相似易求E的坐标为E4（，
）或E3（
，
），可得m＝
．
综上所述，m＝4
，﹣2，或．
（3）由题意，线段BD平移后的坐标B′（1，2），D′（4．﹣1），
当反比例函数的图象经过点B′时，n＝2， 当反比例函数的图象经过点D′时，n＝﹣4，
当反比例函数的图象与直线B′D′相切于F（，）时，n＝，
观察图象可知：当﹣4≤n＜0或0＜n＜2或n＝时，线段B′D′与反例函数y＝的图象有且仅有一个公共点． 20．解：（1）由题意，∵x＞0， 4x+即4x+∴4x+
≥2≥， 的最小值为，
且x＞0，
，
此时4x＝
解得x＝， 故答案为，．
（2）设C（n，﹣），则：D（n，n+1）， ∴CD＝n+1+≥2∴CD最短为5，
+1＝5，当n＝，即x＝4时，CD取最小值5．
此时C（4，﹣2），D（4，3）， ∵A（﹣2，0）， ∴S△ACD＝×5×6＝15．
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