华师大版九年级上册数学期末试卷及其规范标准答案

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24.解：（1）猜想CD∥EB． 证明：连接DE．

∵中国结挂件是四个相同的菱形，每相邻两个菱形均成30°的夹角，菱形的锐角为60° ∴∠CDE=60°÷2×2+30°=90°， ∴∠BED=60°÷2×2+30°=90°， ∴∠CDE=∠BED， ∴CD∥EB．

（2）如图2，连接AD、BD． 由（1）知，∠BED=90°， ∵BE=DE，

∴∠EDB=∠EBD=45°， 同理，∠ADC=45°

又由（1）知，∠CDE=90°，

∴∠ADC+∠CDE+∠EDB=180°， ∴点A、D、B三点共线．

BE=2OE=2×10×cos30°=10√3cm， 同理可得，DE=10√3cm， 则BD=10√6cm，

同理可得，AD=10√6cm， AB=BD+AD=20√6≈49cm．

答：A，B两点之间的距离大约为49cm．

25.

解：（1）PN=√3PM，

理由：如图1，作PF⊥BC， ∵∠ABC=90°，PE⊥AB， ∴PE∥BC，PF∥AB， ∴四边形PFBE是矩形， ∴∠EPF=90° ∴P是AC的中点， ∴PE=1

1

2BC，PF=2AB，

∵∠MPN=90°，∠EPF=90°， ∴∠MPE=∠NPF， ∴△MPE∽△NPF， ∴????

????

????????=????=????， ∵∠A=30°，

在RT△ABC中，cot30°=????

????=√3，

∴????=√3，

????

即PN=√3PM．

（2）解；①PN=√6PM，

如图2 在Rt△ABC中，过点P作PE⊥AB于E，PF⊥BC于点F ∴四边形BFPE是矩形， ∴△PFN∽△PEM ∴????=????，

又∵Rt△AEP和Rt△PFC中，∠A=30°，∠C=60° ∴PF=√PC，PE=2PA

23

1

????

????

∴????=????=√

????????

3????

????

∵PC=√2PA ∴????=√6，

????

即：PN=√6PM

②如图3，成立．

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