对数与对数函数知识点及题型归纳总结

对数与对数函数知识点及题型归纳总结

知识点精讲

一、对数概念

ax?N(N?0)?n?logaN(a?0且a?1)，叫做以a为底N的对数.

注：①N?0，负数和零没有对数；

②loga1?0,logaa?1； ③lgN?log10N,lnN?logeN. 二、对数的运算性质

(1)loga(MN)?logaM?logaN(M,N?R?);?M?(2)loga???logaM?logaN(M,N?R?);?N?(3)logaMn?nlogaM(M?R?);(4)logab?

logcb(a?0且a?1,b?0,c?0且c?1)（换底公式）logca1(a,b?0且a?1,b?1)； logba特殊地logab?(5)logambn?(6)alogaNnlogab(a,b?0,m?0,a?1,n?R)；m?N(N?0,a?0且a?1)；

(6)logaaN?N(N?R,a?0且a?1).化常数为指数、对数值常用这两个恒等式.

三、对数函数

（1）一般地，形如y?logax(a?0且a?1)的函数叫对数函数. （2）对数函数y?logax(a?0且a?1)的图像和性质，如表2-7所示.

y?logax 图像 a?1 a?1 性质 （1）定义域：(0,??) （2）值域：R （3）图像过定点：(1,0) （4）在(0,??)上是增函数 （1）定义域：(0,??) （2）值域：R （3）图像过定点：(1,0) （4）在(0,??)上是减函数

题型归纳及思路提示

题型1 对数运算及对数方程、对数不等式 思路提示

对数的有关运算问题要注意公式的顺用、逆用、变形用等.对数方程或对数不等式问题是要将其化为同底，利用对数单调性去掉对数符号，转化为不含对数的问题，但这里必须注意对数的真数为正. 一、对数运算

例2.562log510?log50.25?（ ）

A.0

B.1

C.2

D.4

nmnm分析nlogax?mlogay?logax?logay?loga(xy).

22解析2log510?log50.25?log510?log50.25?log5(100?0.25)?log55?2

故选C.

评注熟记对数的各种运算性质是求解本类问题的前提. 变式1 已知x,y为正实数，则（ ）

A.2lgx?lgy?2lgx?2lgyB.2lg(x?y)?2lgx?2lgy C.2lgx?lgy?2lgx?2lgyD.2lg(xy)?2lgx?2lgy

变式2 (lg2)?lg4?lg5?(lg5)? ________.. 变式3 lg52?222lg8?lg5?lg20?(lg2)2? ________.. 3例2.57log2781?log48?________. . 解析log2781?log3334?所以原式?4433log33?,log48?log2223?log22?. 33224317??. 326变式1 log2(6?42?6?42)? ________.. 例2.58 5lg30?()lg0.5? ________.. 分析a?b(a,b?0)?logca?logcb. 解析5lg30?()lg0.5?x,

13131???1?则lgx?lg?5lg30?()lg0.5??lg?5lg30??lg??3???3?lg0.51?lg30?lg5?lg0.5?lg

3?(lg30?lg3)?lg5?(lg5?lg10)(lg1?lg3)?lg5?lg3?lg5?lg3?lg5?lg3

?lg15

所以x?15 二、对数方程

例2.59解下列方程：

11(1)(lgx?lg3)?lg5?lg(x?10);22 (2)logx2?1(2x2?3x?1)?1.分析利用对数的运算性质化简后求解. 解析（1）

11(lgx?lg3)?lg5?lg(x?10)，首先方程中的x应满足x?10，原方程可变形为22x25x25，得?，从而x?15或x??5（舍），经检验，lgx?lg3?2lg5?lg(x?10)，即lg?lg3x?103x?10x?15是原方程的解.

2（2）logx2?1(2x?3x?1)?1，

22??x?1?0且x?1?1，解得x?2. ??22??2x?3x?1?x?1经检验x?2是方程的解.

评注解对数方程一定要注意对数方程成立条件下x的取值范围，是检验求出的解是否为增根的主要依据.

x变式1 函数f(x)?log2(4?1)?ax.

（1）若函数f(x)是R上的偶函数，求实数a的值； （2）若a?4，求函数f(x)的零点.

三、对数不等式

例2.60设0?a?1，函数f(x)?logaa2x?2ax?2，则使f(x)?0的x的取值范围是（）

??A.(??,0)B.(0,??)

C.(??,loga3)D.(loga3,??)

分析先将对数不等式化为同底的形式，再利用单调性转化为指数不等式求解.

解析f(x)?logaa2x?2ax?2?0?loga1，又0?a?1，函数y?logax在(0,??)上单调递减，得

??a2x?2ax?2?1即a2x?2ax?3?0?(ax?3)(ax?1)?0，因为ax?1?0，故ax?3，又0?a?1，

所以x?loga3.故选C.

变式1 已知函数f(x)为R上的偶函数，且在?0,???上为增函数，f???0，则不等式f?log1x??0?1??3?????3的解集为 .

2例2.61设a?log54,b?(log53),c?log45,则（ ）

Aa.?c?bBb.?c?a C.a?b?cDb.?a?c

分析利用对数函数的单调性来比较对数的大小，通常借助0和1作为分界点. 解析因为y?log5x在(0,??)上单调递增，所以

log53?log54?1,且log45?1?(log53)2?log53?log54?1?log45?b?a?c

故选D.

2变式1 设a?lge,b?(lge),c?lge，则（ ）

Aa.?b?c C.c?a?b

B.a?c?b Dc.?b?a

log30.3?1?变式2 设a?5log23.4,b?5log43.6,c????5?，则（ ）

Aa.?b?c C.a?c?b

Bb.?a?c Dc.?a?b

?12变式4 （2012大纲全国理9）已知x?ln?,y?log52,z?e，则（）

A.x?y?z C.z?y?x

B.z?x?y D.y?z?x

题型2 对数函数的图像与性质

思路提示研究和讨论题中所涉及的函数图像与性质是解决有关函数问题最重要的思路和方法.图像与性质问题是数和形结合的护体解释.它为研究函数问题提供了思维方向. 一、对数函数的图像

例2.62如图2-15所示，曲线C1,C2,C3,C4是底数分别为a,b,c,d的对数函数的图像，则曲线C1,C2,C3,C4对应的底数a,b,c,d的取值依次为（）

11A.3,2,,32 11C.2,3,,23

11B.2,3,,

3211D.3,2,,

23分析给出曲线的图像，判定C1,C2,C3,C4所对应的a,b,c,d的值，可令y?1求解.

解析如图2-16所示，作直线y?1交C1,C2,C3,C4于A,B,C,D，其横坐标大小为0?c?d?1?a?b，那么C1,C2,C3,C4所对应的底数a,b,c,d的值可能一次为2,3,,11.故选B. 32

评注对数函数在同一直角坐标系中的图像的相对位置与底数大小的关系如图2-16所示，则

0?c?d?1?a?b.y?logax(a?0且a?1)在第一象限的图像，a越大，图像越靠近x轴；a越小，

图像越靠近y轴.

?x变式1 若函数f(x)?a(a?0且a?1)是定义域为R的增函数，则函数f(x)?loga(x?1)的图像大

致是（ ）

?1??1?a变式2 设a,b,c均为正数，且2?log1a,???log1b,???log2c，则（）

?2??2?22bcAa.?b?cB.c?b?a

C.c?a?bDb.?a?c

例2.63函数y?loga(x?1)?2的图像必过定点.

分析对数函数y?logax(a?0且a?1)的图像过定点(1,0)，即loga1?0.

解析因为y?logax(a?0且a?1)恒过点(1,0)，故令x?1?1,即x?0时，y?loga(x?1)?0，故

y?loga(x?1)?2恒过顶点(0,2).

变式1 函数y?loga(x?2)?2x?1的图像过定点. 二、对数函数的性质（单调性、最值（值域））

例2.64 设a?1，函数f(x)?logax在区间?a,2a?上的最大值与最小值之差为分析本题考查对数函数的单调性和最值.

解析因为对数函数的底a?1，所以函数f(x)?logax在区间?a,2a?上单调递增，故

1，则a?（ ） 2f(x)max?loga2a,f(x)min?logaa?1,loga2a?1?11，即loga2?解得a?4故选D. 22变式1 若函数f(x)?logax(0?a?1)在区间?a,2a?上的最大值是最小值的3倍，则a等于（ ）

A.24

B.22

2C.

14

1D. 2例2.65设2(log1x)?7log1x?3?0,求f(x)??log222??x??x??log??2?的最大值和最小值. 2??4?2解析2(log1x)2?7log1x?3?0?(2log1x?1)?(log1x?3)?0

2221??3?log1x??解得2?x?8.

222又f(x)?(log2x?1)(log2x?2)?(log2x)?3log2x?2.

令t?log2x??,3?，则f(x)?g(t)?t?3t?2

2当t??1???231,即x?22时，f(x)min??;当t?3,即x?8时,f(x)max?2. 242变式1 已知f(x)?2?log3x(x??1,9?)，求函数g(x)??f(x)??f(x2)的最大值与最小值.

?log2x(x?0)?例2.66若函数f(x)??log(?x)(x?0)，且f(a)?f(?a)则实数a的取值范围是.

1??2解析依题意，函数f(x)的图像如图2-17所示，知f(x)为奇函数，由f(a)?f(?a)的得f(a)?0，解得

a?(?1,0)U(1,??).

变式1 已知函数f(x)?lgx，若0?a?b，且f(a)?f(b)，则a?2b的取值范围是（ ）

A.(22,??)B.?32,?? ??C.(3,??)D.?3,???

变式2 定义区间?x1,x2?(x1?x2)的长度为x2?x1，已知函数f(x)?log1x的定义域为?a,b?，值域为

2?0,2?，则区间?a,b?的长度的最大值与最小值的差为 .

题型3 对数函数中的恒成立问题 思路提示

（1）利用数形结合思想，结合对数函数的图像求解；

（2）分离自变量与参变量，利用等价转化思想，转化为函数的最值问题.

1?2x?a?4x例2.67 已知函数f(x)?lg，若x????,1?时有意义，求a得取值范围.

31?2x?a?4x1?2x?a?4x?0在???,1?上恒成立. 解析因为f(x)?lg在x????,1?上有意义，即

33??1?x?1?x?所以a?????????在???,1?上恒成立.

???4??2?????1?x?1?x?令g(x)?????????,x????,1?.

???4??2????1??1?因为y???与y???在???,1?上为减函数，故g(x)在???,1?上为增函数，所以对任意的

?4??2?3x????,1?时，g(x)?g(1)??.

4??1?x?1?x?3因为a?????????在???,1?上恒成立，所以a??.

4???4??2???所以a的取值范围是??xx?3?,???. ?4?评注为了求a的取值范围，把a进行了分离，若g(x)存在最大值，则g(x)?a恒成立等价于g(x)max?a；若g(x)不存在最大值，设其值域为g(x)??m,n?，则g(x)?a恒成立等价于a?n. 变式1 当x?(1,2)时，不等式?x?1??logax恒成立，则a的取值范围是（）

2?1?A.(0,1)B.(1,2)C.?1,2?D.?0,?

?2?变式2 函数f(x)?loga(x?3a)(a?0且a?1)，当点P(x,y)是函数y?f(x)图像上的点时，点

Q(x?2a,?y)是函数y?g(x)图像上的点.

（1）写出函数y?g(x)的解析式；

（2）当a??a?2,a?3?时，恒有f(x)?g(x)?1，试确定a的取值范围.

最有效训练题

?1?1.设a?log12,b?log13,c???，则（ ）

?2?220.2Aa.?b?c

B.a?c?b

C.b?c?a

Db.?a?c

?log2(x?1)(x?2)?2.设函数f(x)???1?x，若f(x0)?1，则x0的取值范围是（ ）

?1(x?2)?????2?A.(??,0)U(2,??)

B.(0,2)

C.(??,?1)U(3,??)

D.(?1,3)

3.设定义在区间(?b,b)上的函数f(x)?lg1?ax是奇函数(a,b?R且a?2)，则ab的取值范围是（ ） 1?2x

A.1,2??

?

B.0,2??

?C.(1,2)

D.(0,2)

4.已知y?loga(2?ax)在?0,1?上是x的减函数，则a的取值范围是（ ）

A.(0,1)

B.(1,2)

C.(0,2)

D.(2,??)

x5.已知lga?lgb?0，则函数f(x)?a与函数g(x)??logbx的图像可能是（ ）

6.已知函数f(x)是R上的偶函数，且f(1?x)?f(1?x)，当x??0,1?时，f(x)?x，则函数

2y?f(x)?log5x的零点个数是（ ）

A.3

B.4

C.5

D.6

7.设函数f(x)?ln(x?1)，若?1?a?b且f(a)?f(b)，则a?b的取值范围是________. 8.已知lgx?lgy?2lg(2x?3y)，则log2??y???________. x?3?29.若函数y?loga(x?ax?1)在?1,2?上为增函数，则实数a的取值范围是________..

210.已知函数f(x)?log2x，正实数m,n满足m?n，且f(m)?f(n)，若f(x)在区间??m,n??上的最

大值为2，则m?n?________.

11.设f(x)?log1?（1）求a的值；

（2）证明：f(x)在区间(1,??)内单调递增；

?1?ax??为奇函数，a为常数. x?1?2??1?（3）若对于区间?3,4?上的每一个x值，不等式f(x)????m恒成立，求实数m的取值范围.

?2?212.已知集合P??,2?，函数y?log2(ax?2x?2)的定义域为Q.

2x?1???（1）若PIQ??，求实数a的取值范围；

2（2）若方程log2(ax?2x?2)?2在P内有解，求实数a的取值范围.