第八讲 含字母系数的方程、绝对值方程
一、知识要点
1. 关于x的方程ax?b有： (1)当a?0时，方程有唯一解x?b；(2)当a?0,b?0时，方程无解； a方法总结： (3)当a?0,b?0时，方程有无数多个解，且解为任意数。
以上结论，反过也是正确的。 2.含有绝对值符号的方程，应去掉绝对值符号而转化为一个或几个一元一次方程。
含绝对值方程的解法：
含绝对值方程指的是绝对值符号内含有未知数的方程，最简单的绝对值方程是x?a，它的解的情况是：
(1)当a＞0时，方程的解为x?a或x??a； (2)当a?0时，方程的解为x?0； (3)当a＜0时，方程无解。
二、知识运用典型例题
例1:当b?1时，关于x的方程a(3x?2)?b(2x?3)?8x?7有无数多个解，则
a等于（ ）
2A.2 B.?2 C.? D.不存在
3
例2:方程5x?6?6x?5的解是_______________。
例3:解关于x的方程
11(1)m(x?n)?(x?2m) (2)mnx?n2?mn?m2x
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例4:若x?
abc，试求x的值。 ??b?ca?ca?b方法总结：
例5:解方程：x?4?x?2?x?1。
例6: 是否存在整数x，使x?3?x?2?x?2?x?4?11?如果存在，求出所有整数x；如果不存在，请说明理由。
例7:有12个方格，每个方格都有一个数字，已知任何相邻三个数的和都是20，求x的值。 x G H I 10 5 A B C D E F
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第八讲 知识运用课后训练 等级
1.已知关于x的方程2a(x?1)?(5?a)x?3b有无数多个解，那么a?___, b?____。 2.方程x?2x?1?4的解是______________.
3. 已知关于x的方程(3a?8b)x?7?0无解，则ab是（ ）
A.正数 B.非正数 C. 负数 D.非负数
c4.已知a?2?b?2??2001，且a?b?c?2001k，那么k的值为（ ）
211A. B.4 C.? D.?4 445.方程x?5?x?5?0的解的个数为（ ）
A.不确定 B.无数个 C. 2个 D.3个
6.(1)解关于x的方程a2(1?x)?ax?1 (2)解方程： x?3?x?1?x
7.若abc?1，试解关于x的方程
xxx???2001。
1?a?ab1?b?bc1?c?ac你在学习中还有什么没有弄懂的问题吗？ 家长签字：
家长意见：
中国古代著名数学家及其主要贡献
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▲张丘建--<张丘建算经> 《张丘建算经》三卷，据钱宝琮考，约成书于公元466～485年间.张丘建,北魏时清河(今山东临清一带)人,生平不详。最小公倍数的应用、等差数列各元素互求以及“百鸡术”等是其主要成就。“百鸡术”是世界著名的不定方程问题。13世纪意大利斐波那契《算经》、15世纪阿拉伯阿尔·卡西<<算术之钥》等著作中均出现有相同的问题。
▲朱世杰：《四元玉鉴》 朱世杰（1300前后），字汉卿，号松庭，寓居燕山（今北京附近），“以数学名家周游湖海二十余年”，“踵门而学者云集”。朱世杰数学代表作有《算学启蒙》（1299）和《四元玉鉴》（1303）。《算学启蒙》是一部通俗数学名著，曾流传海外，影响了朝鲜、日本数学的发展。《四元玉鉴》则是中国宋元数学高峰的又一个标志，其中最杰出的数学创作有“四元术”（多元高次方程列式与消元解法）、“垛积法”（高阶等差数列求和）与“招差术”（高次内插法） ▲贾宪：〈〈黄帝九章算经细草〉〉 中国古典数学家在宋元时期达到了高峰，这一发展的序幕是“贾宪三角”（二项展开系数表）的发现及与之密切相关的高次开方法（“增乘开方法”）的创立。贾宪，北宋人，约于1050年左右完成〈〈黄帝九章算经细草〉〉，原书佚失，但其主要内容被杨辉（约13世纪中）著作所抄录，因能传世。杨辉〈〈详解九章算法〉〉（1261）载有“开方作法本源”图，注明“贾宪用此术”。这就是著名的“贾宪三角”，或称“杨辉三角”。〈〈详解九章算法〉〉同时录有贾宪进行高次幂开方的“增乘开方法”。
贾宪三角在西方文献中称“帕斯卡三角”，1654年为法国数学家 B·帕斯卡重新发现。 ▲秦九韶：〈〈数书九章〉〉 秦九韶（约1202～1261），字道吉，四川安岳人，先后在湖北、安徽、江苏、浙江等地做官，1261年左右被贬至梅州（今广东梅县），不久死于任所。秦九韶与李冶、杨辉、朱世杰并称宋元数学四大家。他早年在杭州“访习于太史，又尝从隐君子受数学”，1247年写成著名的〈〈数书九章〉〉。〈〈数书九章〉〉全书共18卷，81题，分九大类（大衍、天时、田域、测望、赋役、钱谷、营建、军旅、市易）。其最重要的数学成就——“大衍总数术”（一次同余组解法）与“正负开方术”（高次方程数值解法），使这部宋代算经在中世纪世界数学史上占有突出的地位。
▲李冶：《测圆海镜》——开元术 随着高次方程数值求解技术的发展，列方程的方法也相应产生，这就是所谓“开元术”。在传世的宋元数学著作中，首先系统阐述开元术的是李冶的《测圆海镜》。 李冶（1192～1279）原名李治，号敬斋，金代真定栾城人，曾任钧州（今河南禹县）知事，1232年钧州被蒙古军所破，遂隐居治学，被元世祖忽必烈聘为翰林学士，仅一年，便辞官回家。1248年撰成《测圆海镜》，其主要目的就是说明用开元术列方程的方法。“开元术”与现代代数中的列方程法相类似，“立天元一为某某”，相当于“设x为某某”，可以说是符号代数的尝试。李冶还有另一部数学著作《益古演段》（1259），也是讲解开元术的。
▲刘徽： 《海岛算经》 《九章算术注》 《九章重差图》263年左右，刘徽发现当圆内接正多边形的变数无限增加时，多边形的面积则可无限逼近圆面积，即所谓“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣。”刘徽采用了以直代曲、无限趋近、“内外夹逼”的思想，创立了“割圆术”《重差》原为《九章算术注》的第十卷，即后来的《海岛算经》，内容是测量目标物的高和远的计算方法。重差法是测量数学中的重要方法。 ▲祖冲之：（公元429年─公元500年）是我国杰出的数学家，科学家。南北朝时期人，汉族人，字文远。他当时就把圆周 率 精确到小数点后7位(3.1415926<圆周率<3.1415927)，比西方领先了1500年，并得出355/113的密率，22/7的约率。写书《缀术》，记载了他计算圆周率的方法，不过已经失传。
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