+极坐标与参数方程+高考题的几种常见题型

极坐标与参数方程高考题的几种常见题型

一、极坐标方程与直角坐标方程的互化

例1(2007海南宁夏)⊙O1和⊙O2的极坐标方程分别为??4cos?，???4sin?．

(I)把⊙O1和⊙O2的极坐标方程化为直角坐标方程； (II)求经过⊙O1，⊙O2交点的直线的直角坐标方程．

解： (I)x??cos?，y??sin?，由??4cos?得??4?cos?．所以x?y?4x． 即x?y?4x?0为⊙O1的直角坐标方程．同理x?y?4y?0为⊙O2的直角坐标方程

2222222?x2?y2?4x?0(II)解:由?2,两式相减得－4x-4y=0,即过交点的直线的直角坐标方程为y=－x． 2?x?y?4y?0二、已知曲线的极坐标方程,判断曲线类型

例2(2014贵州贵阳高三适应性监测考试, 23)以直角坐标系的原点为极点，轴非负半轴为极轴，在两种坐标系中取相同单位的长度. 已知直线的方程为

，

曲线的参数方程为，点是曲线上的一动点.

（Ⅰ）求线段的中点的轨迹方程； (Ⅱ) 求曲线上的点到直线的距离的最小值.

[解析]（Ⅰ）设中点的坐标为，依据中点公式有（为参数），

这是点轨迹的参数方程，消参得点的直角坐标方程为. （5分）

（Ⅱ）直线的普通方程为，曲线的普通方程为，

表示以为圆心，以2为半径的圆，故所求最小值为圆心到直线 的距离减去半.因此曲线

上的点到直线

径，设所求最小距离为d，则

的距离的最小值为.

三、求曲线的交点坐标

例3（2010东北三校第一次联合考试）在极坐标系下，已知圆O:??cos??sin?和

直线l:?sin(???4)?2。(1)求圆O和直线l的直角坐标方程；当??(0,?)时，求直线l22于圆O公共点的极坐标。

解：（1）圆O:??cos??sin?，即???cos???sin?

圆O的直角坐标方程为：x?y?x?y，即x?y?x?y?0

22224y?x?1，即x?y?1?0。

(?直线l:?sin??)?2，即?sin???cos??1则直线的直角坐标方程为：2?x2?y2?x?y?0?x?0?（2）由?得? 故直线l与圆O公共点的一个极坐标为(1,)。

2y?1??x?y?1?0四、根据条件求直线和圆的极坐标方程

例4(2009辽宁)在直角坐标系xOy中，以O为极点，x正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为?cos（???3）=1，M,N分别为C与x轴，y轴的交点。

（1）写出C的直角坐标方程，并求M,N的极坐标； （2）设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程。 ?s()?1得解：（Ⅰ）由?co??313x?y?1即x?3y?222??0时，??2，所以M(2,0)?(co??s123si?)n?1 C2直角方程为

23) 3（Ⅱ）M点的直角坐标为（2，0）N点的直角坐标为(0,???2时，??2323?，所以N(,)332P点的直角坐标为

(1.323?),则P点的极坐标为(,),?336直线OP极坐标方程为???,??(??,??)

五、参数方程的问题

例5(2014山西忻州一中、康杰中学、临汾一中、长治二中四校高三第三次联考，23)在直角

坐标系中，曲线的参数方程为（

的极坐标方程为

为参数），以原点

为极点，轴

正半轴为极轴建立极坐标系，曲线

（1）求曲线的普通方程与曲线的直角坐标方程；

（2）设为曲线上的动点，求点到上点的距离的最小值，并求此时点的坐标.

[解析]（1）由曲线： 得两式两边平方相加得：即

曲线的普通方程为： 由曲线：得：

所以 即曲线的直角坐标方程为:

(2) 由（1）知椭圆与直线无公共点，椭圆上的点到直线

的距离为

所以当时，的最小值为，此时点的坐标为

1. (2014山西太原高三模拟考试（一），23) 在平面直角坐标系中，曲线C1的参数方程为

，且曲线C1上的点M（2，

以O为极点， 圆，射线 （Ⅱ）若

）对应的参数 . 且

轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2是圆心在极轴上且经过极点的

. （I）求曲线C1的普通方程，C2的极坐标方程；

的值.

与曲线C2交于点

[ 是曲线C1上的两点，求

2.(2014福州高中毕业班质量检测, 21(2))在平面直角坐标系半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线

的极坐标方程为

中, 以为极点, 轴非负

, 直线l的参数方

程为: (为参数) ，两曲线相交于, 两点.

（Ⅰ）写曲线直角坐标方程和直线普通方程;（Ⅱ）若, 求的值．

[解析] (Ⅰ) (曲线的直角坐标方程为, 直线的普通方程. （4分）

(Ⅱ) 直线的参数方程为,

对应的参数分别为,

，则

(为参数),代入, 得到

,

3. (2014河北石家庄高中毕业班复习教学质量检测（二），23)已知直线的参数方程为：

，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲

线

的极坐标方程为

.

（Ⅰ）求曲线的参数方程；（Ⅱ）当时，求直线与曲线交点的极坐标.

[解析] （Ⅰ）由，可得

所以曲线的直角坐标方程为，标准方程为，

曲线的极坐标方程化为参数方程为（5分）

（Ⅱ）当时，直线的方程为，化成普通方程为，

由，解得或，所以直线与曲线交点的极坐标分别为

，；, .

4. (2014黑龙江哈尔滨第三中学第一次高考模拟考试，23) 已知在直角坐标系中，直

线的参数方程为坐标系，曲线

，（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极

（Ⅰ）求直线的普通方程和曲线

上的一个动点，求它到直线的距离

的取值范围.

的极坐标方程为

是曲线

的直角坐标方程；（Ⅱ）设点

[解析]（Ⅰ）直线的普通方程为，C直角坐标方程为.

（Ⅱ）设点，则，

所以的取值范围是. (10分）

5.（2014吉林实验中学高三年级第一次模拟，23）选修4—4: 坐标系与参数方程 在直角坐

标系xOy中，圆C的参数方程极轴建立极坐标系．

为参数）．以O为极点，x轴的非负半轴为

（Ⅰ）求圆C的极坐标方程；（Ⅱ）直线的极坐标方程是，射

线与圆C的交点为O、P，与直线的交点为Q，求线段PQ的长．