2016-2017学年第一学期公共课

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2016-2017学年第一学期公共课 《数学建模》期末论文题目及要求

A题： 现要举行一场山地自行车赛，为了了解环行赛道的路况，现对一选手比赛情况进行监测，该选手从A地出发向东到B，再经C、D回到A地（如下图）。现从选手出发开始计时，每隔15min（分）观测其位置，所得相应各点坐

标如下表（假设其体力是均衡分配的）：

454035302520151050-5 051015

2025303540由A→B各点的位置坐标（单位：km）

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横坐0.2 4.96 6.55 9.71 13.17 16.23 18.36 20.53 23.15 26.49 标x 纵坐6.66 5.28 4.68 5.19 2.34 6.94 5.55 9.86 5.28 3.87 标y 横坐28.23 29.1 30.65 30.92 31.67 33.03 34.35 35.01 37.5 标x 纵坐3.04 2.88 3.68 2.38 2.06 2.58 2.16 1.45 6 标y 由D→C→B各点的位置坐标（单位：km）

横坐1.8 4.90 6.51 9.73 13.18 16.20 18.92 20.50 23.23 25.56 标x 纵坐19.89 24.52 34.82 40.54 37.67 41.38 30.00 19.68 14.56 18.86 标y 横坐28.31 29.45 30.00 30.92 31.67 33.31 34.23 35.81 37.5 标x 纵坐18.55 22.66 18.28 15.06 13.42 11.86 7.68 9.45 6 标y 假设：1. 车道几乎是在平原上，但有三种路况（根据平均速度v(km/h)大致区分）：

平整沙土路（v>30）、坑洼碎石路（10

求解：1. 模拟比赛车道的曲线和选手的速度曲线；

2．估计车道的长度和所围区域的面积；

3．分析车道上相关路段的路面状况（在车道上用不同颜色标记出来）； 4．对参加比赛选手提出合理建议.

B题：一个医药公司的新药研究部门为了掌握一种新止痛剂的疗效，设计了一个药物试验，给患有同种疾病的病人使用这种新止痛剂的以下4个剂量中的某

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一个：2 g，5 g，7 g和10 g，并记录每个病人病痛明显减轻的时间（以分钟计）. 为了解新药的疗效与病人性别和血压有什么关系，试验过程中研究人员把病人按性别及血压的低、中、高三档平均分配来进行测试. 通过比较每个病人血压的历史数据，从低到高分成3组，分别记作0.25，0.50和0.75. 实验结束后，公司的记录结果见下表（性别以0表示女，1表示男）.

请你为该公司建立一个数学模型，根据病人用药的剂量、性别和血压组别，预测出服药后病痛明显减轻的时间. 病人序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 病痛减轻时间／min 35 43 55 47 43 57 26 27 28 29 22 29 19 11 14 23 20 22 13 8 2 2 2 2 2 2 5 5 5 5 5 5 7 7 7 7 7 7 10 10 3 / 6'.

用药剂量／g 性别 血压组别 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0.25 0.50 0.75 0.25 0.50 0.75 0.25 0.50 0.75 0.25 0.50 0.75 0.25 0.50 0.75 0.25 0.50 0.75 0.25 0.50 .

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3 27 26 5 10 10 10 10 0 1 1 1 0.75 0.25 0.50 0.75 C题: 某化工厂可用三种原材料甲、乙、丙混合调配出三种不同规格的空气清新剂，一种是政府用空气清新剂，另一种是工业用空气清新剂，还有一种是民用空气清新剂。政府用空气清新剂的单价是50元/公斤，工业用空气清新剂的单价35元/公斤，民用空气清新剂的单价是25元/公斤1。甲种原料纯度高但价格昂贵,乙种原料纯度低但价格低廉，丙种原料介于二者之间。由于政府对产品质量有一定的技术要求，它取决于各种原料的混合比例，根据技术要求，产品原料甲不少于50%，乙种原料不超过25%。企业用空气清新剂要求稍低，要求原料甲不少于25%，乙种原料不超过50%。民用空气清新剂对技术要求较低，因此对原料的配比没有限制。已知产品的规格要求，产品单价，每天能供应的原材料数量及原材料单价，分别见表1和表2， 表1 产品的规格要求及产品单价

产品 规格 原料甲不少于50% 原料乙不超过25% 企业用空气清新剂 原料甲不少于25% 原料乙不超过50% 民用空气清新剂 不限 25 35 单价（元/公斤） 政府用空气清新剂 50 表2 原料的单价与每天最大供应量

原料 甲 乙 日最大供应量 100 100 单价(元/公斤) 65 25 4 / 6'.

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丙 问：

60 35 （1） 如何安排生产计划使得生产利润最大？

（2）由于甲种原料的产地环境恶化，导致甲种原料大幅度减产，价格上涨，考虑原料价格上涨对利润的影响。据市场预测分析，如果下一年份甲种原料的价格比表1中的数字上涨3元，将如何影响最大利润？

（3）三种产品需要由不同的生产线来制造，由于政府对空气清新剂的需求加大，所以化工决定扩大其生产线的生产能力，但由于甲种原料的供应不足，最大供货量不超过120，最大利润将如何变化？

D 题：国内生产总值（GDP）是指在一定时期内（通常为一年），一个国家或地区的经济中所生产出的全部最终产品和劳务的价值，常被公认为衡量国家经济状况的最佳指标.它不但可反映一个国家的经济表现，还可以反映一国的国力与财富. 假设GDP以每年7% 速度增长，而国债随着GDP成比例增长.

(1) 请你建立一个描述GDP和国债的数学模型.

(2) 假设在第0年时的GDP为M0，国债为N0，求解 (1)中的数学模型.

(3) 国债是否最终会超过GDP？考虑国债与GDP之比.

(4) 自己查阅相关资料，利用你的数学模型就某一国家GDP与国债的关系加以分析.

论文要求：

1、从A题、B题、C题与 D题中选做一题.

2、论文应该思路清晰，表达简洁（正文尽量控制在20页以内，附录页数

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