解答： 解：由于|x﹣1|+|x+2|表示数轴上的x对应点到1和﹣2 的距离之和， 而﹣3和 2对应点到1和﹣2 的距离之和正好等于5， 故不等式|x﹣1|+|x+2|≥5的解集为 （﹣∞，﹣3]∪[2，+∞）， 故答案为 （﹣∞，﹣3]∪[2，+∞）．
点评： 本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，属于中档题．
三、解答题（共6小题，满分75分） 17．（13分）已知=（2cosx+2
sinx，1），=（cosx，﹣y），且⊥．
（1）将y表示为x的函数f（x），并求f（x）的单调增区间；
（2）已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C对应的边长，若f（）=3，且a=2，b+c=4，求△ABC的面积．
考点： 数量积判断两个平面向量的垂直关系；两角和与差的正弦函数；正弦函数的单调性；正弦定理；余弦定理．
专题： 三角函数的图像与性质；解三角形．
分析： （1）由数量积为0可得方程，由三角函数的公式化简可得f（x），再由2kπ﹣
≤2x+≤2kπ+，可得单调递增区间；
）=3，进而可得A=
，由余弦定理可得bc=4，
（2）结合（1）可得f（）=1+2sin（A+代入面积公式S=
，计算可得答案．
解答： 解：（1）由题意可得（2cosx+2sinx）cosx﹣y=0，
2
即y=f（x）=（2cosx+2sinx）cosx=2cosx+2sinxcosx =1+cos2x+由2kπ﹣
sin2x=1+2sin（2x+≤2x+
≤2kπ+
），
≤x≤kπ+]，k∈Z ），
）=1 ，k∈Z，
，得kπ﹣
，kπ+
故f（x）的单调增区间为[kπ﹣
（2）由（1）可知f（x）=1+2sin（2x+故f（）=1+2sin（A+故可得A+
=
）=3，解得sin（A+
，
，解得A=
2
2
2
由余弦定理可得2=b+c﹣2bccosA，
222
化简可得4=b+c﹣bc=（b+c）﹣3bc=16﹣3bc， 解得bc=4，故△ABC的面积S=
=
=
点评： 本题考查三角函数的性质和余弦定理的应用，涉及向量的垂直的判断，属基础题．
18．（13分）已知动圆过定点A（2，0），且在y轴上截得的弦长|MN|=4． （Ⅰ）求动圆圆心C的轨迹方程；
（Ⅱ）若过点（1，0）的直线l交圆心C的轨迹于点A，B，且|AB|=5，求直线AB的方程．
考点： 轨迹方程．
专题： 综合题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析： （Ⅰ）设圆心C（x，y），点C到y轴的距离为d，则d=|x|，利用勾股定理求动圆圆心C的轨迹方程；
（Ⅱ）分类讨论，设直线AB的方程为y=k（x﹣1）（k≠0）与抛物线方程联立，利用韦达定理，结合|AB|=5，求直线AB的方程． 解答： 解：（Ⅰ）设圆心C（x，y），点C到y轴的距离为d，则d=|x|
由
2
即（x﹣2）+y=4+|x|
222
化简得y=4x，即为所求轨迹方程． （Ⅱ）焦点F（1，0），设A（x1，y1），B（x2，y2）．
若AB⊥x轴，则|AB|=2p=4＜5，所以直线AB的斜率k存在． 设直线AB的方程为y=k（x﹣1）（k≠0） 由
消去y得：kx﹣（2k+4）x+k=0
2222
|AB|=∴k=±2
所以直线AB的方程为y=2（x﹣1）或y=﹣2（x﹣1）．
点评： 本题考查直线与圆的位置关系，考查直线与抛物线的位置关系，正确运用韦达定理是关键．
19．（13分）已知函数f（x）=﹣x+mx在（0，1）上是增函数 （1）求实数m的取值集合A．
（2）当m取值集合A．中的最小值时，定义数列{an}；满足a1=3，且an＞0，
，求数列{an}的通项公式
（3）若bn=nan，数列{bn}的前n项和为Sn，求证：Sn
．
3
考点： 利用导数研究函数的单调性；数列的函数特性；数列的求和；数列递推式． 专题： 导数的综合应用；等差数列与等比数列．
分析： （1）先求出导数f′（x），再由条件得f′（x）=﹣3x+m≥0在（0，1）上恒成立，分离出m后再求出m的范围；
（2）由（1）求出m的值，代入f′（x）后，再代入
进行化简得到
2
=3，结论即得到证明；
（3）根据（2）求出bn，再由通项公式的特点，利用错位相减法求出Sn，由表达式就可以证明结论．
2
解答： 解：（1）由题意得f′（x）=﹣3x+m，
3
∵f（x）=﹣x+mx在（0，1）上是增函数，
2
∴f′（x）=﹣3x+m≥0在（0，1）上恒成立，
2
即m≥3x，得m≥3，
故所求的集合A为[3，+∞）； （2）由（1）得，m=3，∴f′（x）=﹣3x+3， ∵
，an＞0，
2
∴
=3an，即
=3，
∴数列{an}是以3为首项和公比的等比数列，
n
故an=3；
n
（3）由（2）得，bn=nan=n?3，
23n
∴Sn=1?3+2?3+3?3+…+n?3 ①
234n+1
3Sn=1?3+2?3+3?3+…+n?3 ② ①﹣②得，﹣2Sn=3+3+3+…+3﹣n?3
2
3
n
n+1
=﹣n?3
n+1
化简得，Sn=
＞．
点评： 本题是有关函数和数列的综合题，考查了函数单调性与导数关系，等比数列的定义应用，以及错位相减法求出Sn，考查了分析问题和解决问题的能力．
20．（12分）已知函数f（x）=（x﹣2x）?lnx+ax+2 （1）当a=﹣1时，求f（x）在（1，f（1））处的切线方程；
（2）设函数g（x）=f（x）﹣x﹣2，若函数g（x）有且仅有一个零点时，求a的值．
考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程；函数的零点． 专题： 导数的综合应用．
分析： （1）当a=﹣1时，求函数的导数，根据导数的几何意义即可求f（x）在（1，f（1））处的切线方程；
（2）构造函数，求函数的导数，判断函数的极值即可得到结论．
22
解答： 解：（1）当a=﹣1时，f（x）=（x﹣2x）?lnx﹣x+2， 则f′（x）=（2x﹣2）lnx+（x﹣2）﹣2x， ∴f′（1）=﹣3，f（1）=1， 则f（x）在（1，f（1））处的切线方程为3x+y﹣4=0；
22
（2）由g（x）=f（x）﹣x﹣2=0，得（x﹣2x）?lnx+ax+2=x+2，
22
即a=，
设h（x）=，
则h′（x）=
令t（x）=1﹣x﹣2lnx， 则t′（x）=﹣1﹣=
，
，
∵t′（x）＜0，t（x）在（0，+∞）上是减函数，t（1）=h'（1）=0， ∴当0＜x＜1时，h′（x）＞0， 当x＞1时，h′（x）＜0，
即h（x）的最大值为h（1）=1，
∴若函数g（x）有且仅有一个零点时，则a=1．
点评： 本题主要考查导数的综合应用，考查导数的几何意义以及函数单调性与导数之间的关系，考查学生的运算能力．
21．（12分）已知椭圆
+
=1（a＞b＞0）短轴长为2，左右焦点分别为F1，F2，c为半焦
距．若以F2为圆心，b﹣c为半径作圆F2，P为椭圆上的动点，过P作此圆的切线l，切点为T． （1）当l经过原点时，l的斜率为﹣（2）若|PT|的最小值不小于
，求椭圆的方程．
（a﹣c），圆F2与x轴的右焦点为C，过点C作斜率为k（k＞
0）的直线m与椭圆交于A，B两点．与圆F2交于另一点D两点，若O在以AB为直径的圆上，求|CD|的最大值．
考点： 直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质． 专题： 计算题；直线与圆；圆锥曲线中的最值与范围问题．
分析： （1）由题意可得==，从而解出a，b，c；从而求椭圆的方程；
相关推荐：
loading