高等数学
三、证明题（共 124 小题，）
1、 设 f (t) 2t
2
2 t 2
5 t
5t , 证明 f (t )
f ( ) 。 t
1
2、
设 f (x) ln
1 x
,证明 f ( y) f ( z)
1 x
2 f (
y z
) (式中 y 1, z 1).
1 yz
2)
1时有 F ( y 3、 设 F ( x) lg( x 1) , 证明当 y 4、 设 f (t)
F ( y 2) F ( y) 。
et , 证明 f ( x)
f ( y)
f ( x y) 。
5、 证明 f (x) 6、
(2
3) x (2
3) x 是奇函数 。
设f (x) arctanx
(
x
)， (x) x a ，
1 ax
( a 1，x 1)，验证： f
( x) f (x)
f (a)。
7、 证明 Sh2 x Ch 2 x 8、
Ch2x 。
验证 2Shx Chx
9、 验证 Sh( 10、 验证 Sh( 11、 验证 Ch( 12、 验证 Ch( 13、 验证 1
Sh2x。 ) ) ) ) Sh Ch
Ch Sh 。 Ch Sh 。 Sh Sh 。 Sh Sh 。
Sh Ch Ch Ch Ch Ch
th2 x
1 。
ch2 x
14、 验证 1
cth2 x
1 。 sh2 x
15、
设数列
xn yn zn xn yn
试判定：zn 是否也必是无界数列。
， 都是无界数列， ， 如肯定结论请给出证明 ，如否定结论则需举出 反例。
16、
设 ， 是两个函数，令 a
a1 b1
lim bn
n 1
an bn
b，
abn 1
nn ， 2
(n 1 2 )
，， 试证明：
lim an 存在，
存在，且 lim an
n
lim bn
n
n
n b
17、
设 x1 (0，2)， xn 1
2xn xn 2．(n 1，2， )，试证数列 xn 收敛，并求极限 lim xn．
n
18、
若在 x 的某去心邻域内 f x ) g x ，且
0
(
( )lim f x A， g x ) B 试证明 A B．
( )
lim
(
;
x x0
x x0
19、
若在 x0的某去心邻域内 f ( x)
( x)，且 lim (x) 0，试证明 lim f (x) 0
x x0
x x0
20、
试证明 limcos 不存在。 x 0
x
21、
1
设当 x
x0时， f ( x)
，g( x) A( A 0)，试证明 lim f ( x) g(x)
x x0
．
22、
设x
x0，f ( x)
，g ( x)
A，试证明 lim f ( x) g( x)
x x0
．
23、
设 x
x0时， f (x)
， g( x)
n 1
A(A是常数），试证明 lim g ( x) x x0 f ( x)
0．
24、
a
0；
an
设有数列 an 满足 an
r，0 r
1，试证明 lim an
n
0
25、
A lim g(x) B
x0
设 lim f ( x)
x x0
，
x x0
，且 的某去心邻域，使得 A B, 试证明：必存在
在该邻域为 f ( x)
g (x)．
26、
设 lim f ( x) A( A
x x0
0)，试用 \
\语言证明 lim f ( x)A ． x x0
27、
设有数列 an 满足 an
0且 lim n an
r ，(0 r
1)，试按极限定义证明：
n
lim an
0．
n
28、
a
设有数列 an 满足 an
0及 lim
n 1
1)，试证明 lim a n
ar (0 r
n
n
29、
设 lim xn
1
n
x
n
0 及 lim a 存在，试证明： ．
a 1
n
xn
30、
设当 x
x0 时， f ( x)是比 g( x)高阶的无穷小．
证明：当 x
x0 时， f ( x) g( x) 与g( x)是等价无穷小．
31、
设当 x x0 时， (x) 、 (x)是无穷小，
( x)( x) 0. 证明： ln 1
( x) ln 1
( x)
与 ( x)
(x) 是等价无穷小．
32、
设当 x
x0 时， ( x) ， ( x)是无穷小 且 ( x) ( x) 0
证明： e
( x )
e ( x)
~ ( x)
( x) ． 33、
设当 x
x0 时， ( x) 与 ( x)是等价无穷小，
且 lim f (x)
a 1， lim
f ( x)( x) A，
x x0 ( x)
x x0
g(x)
证明： lim f ( x)
A．
x x0
g( x)
( x)
34、
设 ，且 lim f (x)
A 0 ，
x
x
0
A
试证明必有 x0 的某个去心邻域存在，使得 在该邻域内1
f ( x)
有界 .
35、 n 0．
设 x x0 时， (x)与 ( x)是等价无穷小 且 lim ( x) f ( x) A
x
x0
证明： lim ( x) f ( x) A
x x0
36、
若数列a
an 适合
n 1
an r (an an 1 ) (0
r 1)
求证： ra
a2 1 ．
lim an
n
1 r
37、 设
lim ( x)
， u0 lim
f (u) f (u0 ) , 证明：
lim
f
( x) f (u0 )
x x0
u u0
x x0
38、
用极限存在的＂夹逼准 则＂证明数列的极限 lim n n
0．
n
2
39、
设数列 xn
适合 xn 1 r 1, ( r为定数）证明：lim xn
0．
xn
n
40、
设x1
，x2 1 31
， ，xn 1 3 5 ( 2n
2 2 4 2 4 6 1) ( 2n)
， (1)证明： xn
1 ；
2n 1 (2)求极限 lim xn ．
n
41、
设x1
n
1 1 1
1 1 3 1 32 1
3n ，求证：lim xn存在 .
1
n
42、
设 1 ， 为正整数
xn
1
1
2
2
1
3
2
n 2
( n
)
求证：
lim x存在．n
n
43、
设 x0 1， x1 1
x0
， ， xn 1
1
xn
．
1 x0
1 xn
证明极限 lim xn 存在，并求出此极限值。
n
44、
设 x1 0，且 x1n 1
( xn a )( 其中 a 0) ，
2 xn
证明极限 lim xn 存在，并求出此极限值．
n
。
45、
设 x1
2 ，且 xn 1
2 xn ，证明 lim xn 存在，并求出此极限值 。
n
46、
设 x1 a
0，且 xn 1
axn ，证明： lim xn 存在，并求出此极限值
．
n
47、
已知：lim f ( x) A
0，试用极限定义证明： lim f ( x)A ．
x x0
x x0
48、
lim f ( x) A，试证明：
x0
对任意给定的
0
，必存在正数 ，使得对适
含不等式 0 x1
x0 ； 0 x2 x0 的一切
x1 、x2 ，都有 f (x2 ) f ( x1 )
成立。 49、
若 lim f ( x) ，
B ，且
A lim g(x)
B
A
x x0
x
x0
证明：存在点 x0的某去心邻域，使得在 该邻域内 g ( x)
50、
设 lim
( x) u0，且 (x) u0，又 lim
f (u)
A
x x0
u u0
试证：lim f ( x) A
x x0
51、
设 lim
f ( x) A，求证： lim f ( x)
A ．
x x0
x x0
52、
设有两个数列 xn ， yn 满足
(1) lim xn
0；
n
(2) yn
M
( M 为定数 ) ．
试证明： lim( xn yn ) 0．
n
53、
设
lim xn A ，且 B
A C ．
n
试证必有正整数 N 存在，使当
n
N 时恒有 B A
2 xn
54、
用数列极限的定义证明 lim
1
0．
n!
55、
f ( x)．
A C 成立．2
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